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3 - FORMULE, REGOLE E PRINCIPI INTERESSANTI
3 .1 - La formula di Gauss per la somma dei primi n interi positivi
Diversi anni fa domandai per gioco al mio amico Ernesto P. se sapeva dirmi di quante partite (incontro “secco”, niente rivincita) è composto un torneo a 10 squadre. Nella mia mente mi figuravo il ragionamento che avrebbe condotto a rispondere correttamente: “tante quante sono le coppie non ordinate costruibili con 10 oggetti, ovvero (1 0 9) / 2⋅ = 45 ”. Banale, per chi avesse qualche conoscenza di Calcolo Combinatorio … non era però il caso del buon Ernesto. Che tuttavia, dopo una breve riflessione, fu in grado di darmi, sorprendendomi alquanto, la risposta esatta; determinata, comunque, con una strategia completamente diversa dalla mia. Ernesto aveva considerato la sequenza a → b → c → d → e → f → g → h → i → l e aveva pensato: “la squadra a gioca con tutte e 9 le squadre scritte alla sua destra; la squadra b gioca con tutte e 8 le squadre alla sua destra … dunque si avranno 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45 partite”.
L’amico era stato davvero bravo e svelto. Così io subito, perfidamente, gli riformulai il quesito con riferimento a 100 squadre. E quando lui obiettò che ci sarebbe voluto molto tempo per svolgere il calcolo 99+98+97+…+3+2+1, gli feci presente che un bambino di otto anni era stato capace di determinare quella somma in pochi minuti. E rnesto ci si mise dunque “sotto” con impegno ... dopo un po’, tuttavia, rinunciò per noia.
Non avevo bluffato. Quel bambino era il piccolo Gauss (1777-1855), destinato a diventare uno dei più grandi matematici della Storia. Nella sua classe il maestro aveva dato da svolgere agli alunni, per farli stare un po’ bravi, la somma 1+2+3+ … +99, e lui ci riuscì in un tempo incredibilmente breve, dopo aver scritto lo schema S 1 2 3 ................... 97 98 99 S 99 98 97 ................... 3 2 1 2S 100 100 100 ................... 100 100 100 [99 addendi, tutti 2S 99 100 uguali a 100] 99 100 9900 S 4950 2 2
Generalizzando il procedimento alla somma 1+2+3+…+n dei primi n interi positivi, avremo S 1 2 3 ............ (n 2) (n 1) n S n (n 1) (n 2) ............ 3 2 1 2S (n 1) (n 1) (n 1) ............ (n 1) (n 1) (n 1) [n addendi, tutti 2S n (n 1) uguali a (n^ 1)] n (n 1) S 2
= ⋅ +^ +
Resta così acquisita l’importante
FORMULA (DI GAUSS) per la somma dei primi n numeri interi positivi:
n(n + 1) 1 + 2 + 3 + ... + n = 2
3 .2 - Q uanti sono i sottoinsiemi di un insieme di n elementi?
Se un insieme I contiene n elementi, quanti elementi ha il suo insieme delle parti P(I)? Insomma, quanti sono i sottoinsiemi di un insieme di n elementi?
Risposta: 2 n
Un modo per provare questo asserto è il seguente.
Immaginiamo di ordinare, in un modo qualsiasi, gli elementi di I: a, b, c, d, ...
Ora, se vogliamo costruire un sottoinsieme di I, potremo passare in rassegna questi elementi “schierati” come dei soldatini, per scegliere quali inserire nel nostro sottoinsieme e quali invece non inserire.
- Per a abbiamo 2 possibilità: SI’ (inserirlo nel sottoinsieme che stiamo costruendo) o NO (non inserirlo).
- Per b abbiamo 2 possibilità (SI’ o NO) …
- Per c abbiamo 2 possibilità (SI’ o NO) …
- … In definitiva, la costruzione di un sottoinsieme di I può avvenire in 2 nmodi diversi.
Pertanto, i sottoinsiemi di I sono in numero di 2 n.
Ad esempio, quindi, l’insieme dei 12 Apostoli ha 212 = 4096 sottoinsiemi.
3 .3 - Regola della somma
Se A e B sono due insiemi finiti DISGIUNTI ( = privi di intersezione = la cui intersezione è l’insieme vuoto = privi di elementi comuni), allora
n (A ∪ B) = n (A) + n (B) [ n (A ∪B)indica il numero degli elementi di A ∪B, ecc.]
E lo stesso vale se gli insiemi finiti di cui facciamo l’unione sono 3 o più e sono a due a due disgiunti.
3 .4 - Principio di Inclusione/Esclusione (PIE)
Se A e B sono due insiemi finiti QUALSIASI , allora n (A ∪ B) = n (A) + n (B) − n (A ∩ B) In effetti, se per calcolare n (A ∪B)noi determinassimo la somma n (A) + n (B) , sbaglieremmo in quanto ci ritroveremmo a CONTARE 2 VOLTE gli elementi di A ∩ B: se un elemento è comune ad A e a B, facendo n (A) + n (B) lo si conta una prima volta come elemento di A e poi una seconda volta come elemento di B. P er cui basterà, partendo da n (A) + n (B), sottrarre n (A ∩B), per avere il n° esatto degli elementi di A ∪B.
Per tre insiemi finiti A, B, C la formula è un po’ più complicata :
n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) − n (A ∩ B) − n (A ∩ C) − n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C).
Prova tu stesso a cercare la giustificazione di questa uguaglianza!
I n generale, per contare il numero degli elementi dell’unione di N insiemi finiti A , A , ... , A 1 2 N , la formula è
1 2 1
1 1 1 1
A A ... A
A (^) i A (^) i A (^) j A (^) i A (^) j A (^) k ... ( 1) A ... A
N N N i N i j N i j k N
n n n n − n ≤ ≤ ≤ < ≤ ≤ < < ≤
Esempio 1 - Quanti sono i numeri, da 1 a 1 milione, divisibili per 2 o per 3?
Risposta : posto AB^ =^ ={{ numeri da^ numeri da^ 11 aa 10000001000000 divisibili perdivisibili per 3}2}, per il PIE avremo
n (A ∪ B) = n (A) + n (B) − n (A ∩ B) = 500000 + 333333 − 166666 = 666667
3 .5 - Regola del complementare
A volte, se ci si trova all’interno di un insieme universo finito U, e l’obiettivo è di contare il numero degli elementi di un suo sottoinsieme A, risulta invece più agevole contare il numero degli elementi del complementare di A, dopodiché si sottrarrà:
n (A) = n (U) − n (A).
Questo “passaggio al complementare” è particolarmente utile, di norma, quando l’insieme A è definito come l’insieme degli elementi di Uche soddisfano ad ALMENO UNA fra due o più condizioni. Il complementare A di A sarà infatti, in questo caso, l’insieme degli elementi di U che non verificano NESSUNA delle condizioni in gioco. E di norma calcolare il numero degli elementi di questo A sarà più semplice, perché la determinazione diretta del numero di elementi di A, per via della parola “almeno”, comporterebbe una laboriosa distinzione di casi.
Esempio 2 - Quanti sono i numeri di 3 cifre che presentano almeno una volta la cifra “1”?
(numeri di 3 cifre che presentano almeno un "1") (numeri di 3 cifre) (numeri di 3 cifre che non presentano NESSUN "1") 900 8 9 9 900 648 252
Risposta : n
n n
3 .6 - Regola del prodotto cartesiano
Ricordiamo che il prodotto cartesiano A ×Bdi due insiemi A, B
è l’insieme i cui elementi sono le coppie ordinate ( , a b )nelle quali a ∈ A e b ∈ B.
Bene, il numero degli elementi di A × B, essendo A, B due insiemi finiti,
è semplicemente dato dal risultato della moltiplicazione n (A) ⋅ n (B). E la stessa regola si estende al prodotto cartesiano di tre o più insiemi.
Ad esempio, in un torneo andata-e-ritorno con 12 squadre, detto S l’insieme di queste squadre, l’insieme di tutte le partite coincide sostanzialmente col prodotto cartesiano S × S, PRIVATO però delle coppie i cui due elementi coincidono (perché evidentemente una squadra non gioca contro sé stessa). Quindi il numero di partite del torneo è dato da 12 ⋅ 12 − 12 = 144 − 12 = 132 (risultato, questo, che si poteva ricavare anche con altre modalità di ragionamento).
