Codifica delle informazioni: Rappresentazione analogica e digitale, Dispense di Informatica

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CODIFICA DELLE

INFORMAZIONI

RAPPRESENTAZIONE

ANALOGICA E DIGITALE

Un calcolatore deve poter di memorizzare ed elaborare

diversi tipi di informazioni: numeri, testi, immagini, suoni, e

così via.!

Un modo semplice (per un calcolatore!) per manipolare ed

elaborare informazioni di natura così diversa è quello di

rappresentarle tutte in maniera numerica (o digitale)!

numero = digit

RAPPRESENTAZIONE

ANALOGICA E DIGITALE

Un procedimento digitale rappresenta un fenomeno traducendolo in sequenze di cifre! La necessità di effettuare una osservazione / conversione / rappresentazione dell’informazione, rende il processo discontinuo! Esempio: in un orologio digitale a cristalli liquidi, un intervallo temporale viene misurato mediante una successione di scatti.! Contrariamente a quanto si potrebbe credere, la differenza tra i due tipi di procedimento non è in alcun modo legata alla precisione dello strumento, ma solo alla modalità di rappresentazione delle informazioni.

CONVERSIONE ANALOGICO DIGITALE Occorre innanzitutto effettuare un campionamento del segnale di origine, analogico: questa operazione consiste nell’intercettazione dei valori di tale segnale in corrispondenza di precisi istanti separati tra loro da un intervallo costante ed opportunamente piccolo! Maggiore è la frequenza di campionamento, più accurato sarà il segnale digitale

RAPPRESENTAZIONE BINARIA La scelta della rappresentazione binaria per informazioni nei calcolatori è principalmente dovuta alla facilità di rappresentazione! Ogni cifra, o bit (abbreviazione dell’inglese binary digit, ossia cifra binaria), può assumere solo due valori, e questi valori possono essere fisicamente realizzati in diversi modi in base alla tecnologia utilizzata! presenza / assenza del foro in una scheda perforata! apertura /chiusura di un interruttore elettrico! presenza / assenza di corrente elettrica in un conduttore! presenza / assenza di segnale luminoso! presenza / assenza di un valore minimo di magnetismo! ecc.

RAPPRESENTAIONE BINARIA Ma “quanta” informazione si riesce a memorizzare in questo modo?! 1 bit: due diversi valori, pari a 2 = 2 1 ;! 2 bit: quattro diversi valori, pari a 2*2 = 2 2 ;! 3 bit: otto diversi valori, pari a 2 * 2 * 2 = 2 3 ;! n bit: 2 n valori.!

2 bit Valore Bit 1 Bit 2 0 0 0 1 0 1 2 1 0 3 1 1 3 bit Valore Bit 1 Bit 2 Bit 3! 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 3 0 1 1 4 1 0 0 5 1 0 1 6 1 1 0 7 1 1 1

UN PO’ DI ESEMPI

Tutto il testo della Bibbia è contenuto in circa 7 MB.! Il cervello umano si stima possa contenere circa 50 GB di dati (memoria).! Per registrare un partita di calcio in alta definizione occorrono circa 13 GB.! Il film “Avatar” è giunto ad occupare 1 PB durante l’elaborazione software degli effetti speciali ed il montaggio delle scene.! Contenuto di Internet è stimato oggi in oltre 3 PB! Youtube smaltisce un traffico mensile di oltre 27 petabyte

PROBLEMA DELLA PRECISIONE I calcolatori eseguono operazioni su numeri la cui precisione è finita e fissa: tra due numeri consecutivi rappresentabili in forma binaria nella memoria di un computer c’è un intervallo finito, laddove nell’insieme matematico R dei numeri reali, comunque si scelgano due numeri vicini, tra essi ci sono infiniti altri numeri.! Si indica con precisione il numero di cifre frazionarie che si riescono a rappresentare senza troncamenti.! Un calcolatore ci forza a gestire solo numeri con un numero fisso di cifre cioè numeri a precisione finita .! Si noti che non è necessario andare alla ricerca di valori “improbabili”! Esempio: il numero decimale 0.1 ha un numero infinito di cifre nella rappresentazione binaria (0.0001100110011001100...).

PROBLEMI DOVUTI ALLA PRECISIONE FINITA

Tra le altre particolarità dell’algebra dei numeri a precisione finita rispetto a

quella tradizionale c’è la non validità della proprietà associativa per la somma

algebrica!

Supponiamo di avere a disposizione tre cifre decimali per la rappresentazione

di numeri interi positivi!

Le due espressioni algebriche 500+(600 - 500) e (500 + 600) - 500

forniscono valori diversi!

La prima espressione viene valutata correttamente (600)!

La seconda fornirà un risultato dipendente dalla macchina utilizzata ma

comunque errato, non essendo possibile ottenere 1100 come risultato

dell’addizione.

PROBLEMI DOVUTI ALLA PRECISIONE FINITA

Notiamo che gli errori definiti sopra non sono errori di

progettazione, ma errori insiti nella natura dell’algebra dei

numeri a precisione finita, che può portare un calcolatore a

fornire risultati errati anche se funziona perfettamente

ESEMPI “STORICI”

Durante la guerra del golfo, il 25 Febbraio 1991, uno Scud Iracheno riuscì a superare il sistema antimissile Patriot e colpì una caserma uccidendo 28 persone.! Per seguire il movimento dello Scud il sistema doveva determinare l'intervallo fra due valori di misurazione sottraendo due valori di un timer.! Il tempo in decimi di secondo era contenuto in registri di interi.! Per calcolare l'intervallo, i valori nei registri dovevano essere convertiti in reali moltiplicando per 0.1. I registri utilizzati erano a virgola fissa a 24 bit.! Un decimo non ha una rappresentazione binaria finita, di conseguenza l'intervallo fu calcolato con errore: il numero 1/10 corrisponde in base 2 a 0.0001100110011001100…! Il registro nel Patriot memorizzava un valore con errore di 9.5E-08.! Dopo 100 ore l’errore era diventato! 0.000000095 * 100 * 60 * 60 * 10 = 0.34 secondi

SISTEMI DI NUMERAZIONE La scelta di 10 come base per l’esponenziazione normalmente usata nei calcoli scientifici è dovuta al fatto che usiamo numeri decimali, ossia in base 10.! La motivazione più attendibile l’avete alla fine delle braccia! Con i calcolatori le basi più usate sono invece 2, 8 e 16; i sistemi di numerazione basati su queste basi sono binario, ottale ed esadecimale.! In generale un sistema di numerazione in base K richiede K simboli diversi, da 0 a K - 1, per la rappresentazione dei numeri.! Esempio:! Binario: 0 - 1! Ottale: 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7! Decimale: 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9! Esadecimale: 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - A - B - C - D - E - F

UN ESEMPIO

Il numero: 1234 in base dieci significa:! 1 migliaia! 2 centinaia! 3 decine! 4 unità! possiamo anche scrivere:! (1 * 1000) + (2 * 100) + (3 * 10) + (4 * 1)! oppure usando le potenze di 10:! (1 * 10 3 ) + (2 * 10 2 ) + (3 * 10 1 ) + (4 * 10 0 )! Se usassimo la base 8 il suo significato sarebbe:! (1 * 8 3 ) + (2 * 8 2 ) + (3 * 8 1 ) + (4 * 8 0 ) = 24+32+24+4=

CONVERSIONI DI BASE

Per i numeri reali si distinguono una parte intera ed una

frazionaria:!

Si suppone che il numero R nella base B sia composto da n

cifre intere e m cifre frazionarie.!

La comprensione della notazione posizionale consente

l’applicazione di un metodo molto semplice per la

conversione da una qualsiasi base alla base 10.