codifica & floating-point, Slide di Elementi di Informatica

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Corso di

Architettura degli Elaboratori

a.a. 2015/

Codifica dell'informazione: Numeri a Virgola Mobile, Immagini e Suoni

Numeri in virgola mobile

In un calcolo

astronomico

è necessario esprimere:

la massa dell’elettrone:

9 × 10

-28^ grammi^ 0.

la massa del sole:

2 × 10

33 grammi^2000000000000000000000000000000000

Quante cifre occorre usare? 62 cifre: 34 alla sinistra della virgola e 28 a destra^ 0000000000000000000000000000000000.0000000000000000000000000009^ 2000000000000000000000000000000000.0000000000000000000000000000 Problema

: anche se la gamma dei numeri necessari è molto grande, i numeri significativi sono pochi…… Soluzione

: notazione scientifica

Numeri in virgola mobile

Esempi: 3,

= 0,314 × 10

1

= 3,14 × 10

0 = 314 × 10

= - 5 × 10

-^

= - 0,5 × 10

= 127 × 10

6

= 1,27 × 10

8

La rappresentazione non è unica; esistono convenzioni che permettono diottenere una rappresentazione unica, ad es. imponendo che la prima cifrasignificativa della mantissa si trovi immediatamente a destra della virgola;queste forme si dicono

rappresentazioni normalizzate

:

= 0,314 × 10

1

= - 0,5 × 10

= 0,127 × 10

9

Numeri in virgola mobile

Pensando ad una utilizzazione per il calcolatore si possono stabilireulteriori convenzioni: ƒ fissare la lunghezza

della mantissa ad un valore costante

ƒ^ limitare l’esponente

ad opportuni intervalli

ƒ^ utilizzare un

esponente

convenzionale che lo renda

sempre positivo

(notazione in eccesso) ƒ disporre i tre elementi: <segno, esponente, mantissa> in un ordine stabilito

segno

esponente

mantissa

Numeri in virgola mobile

Esempio di rappresentazione floating point binaria su 32 bit il primo bit rappresenta il segno della mantissa (0 per +, 1 per -) 7 bit successivi rappresentano l’esponente (espresso in base 2) in notazione eccesso 64 (esponente effettivo tra -64 e +63) gli ultimi 24 bit rappresentano la mantissa normalizzata Esempio:

204,

rappresentazione binaria:

11001100,

rappresentazione normalizzata

0,110011000010110010000111 × 10

1000

-^ bit di segno:

0

-^ esponente eccesso 64:

1001000

-^ mantissa:

110011000010110010000111

(^10010000)

110011000010110010000111

(^0) × 2 (^8) × 2 Spostando

la virgola

a^ sinistra (dividere

per^

la base)^

si^ aumenta di 1 l’esponente (simoltiplica

per^

la base) mantenendol’uguaglianza

Numeri in virgola mobile

La^

gamma (range)

è determinata dal numero di

cifre dell’esponente e la

precisione

dal numero di

cifre della mantissa.

ATTENZIONE!!

Con i numeri floating-point si può “simulare” ilsistema dei numeri reali, pur con grandi differenze:^ i numeri reali hanno la potenza del continuo^ i numeri floating point sono in numero finito

Numeri in virgola mobile

ƒ^ “Spazio” tra numeri adiacenti non costante ƒ^ Arrotondamento ƒ^ Il numero di cifre della mantissa determina la densità deipunti, cioè la

precisione

delle approssimazioni

ƒ^ Il numero di cifre dell’esponente determina la

dimensione

degli intervalli

dei numeri rappresentabili

• 0,999 x 10

99

0,999 x 10

99

-100 -

-100 10 0

Overflow negativo

Numeri negativi rappresentabili

Numeri positivi rappresentabili

Underflow negativo

Underflow positivo zero

Overflow positivo

Standard IEEE 754

Ogni produttore aveva un suo formato floating-point Fine anni '70 la

IEEE

costituisce un comitato al fine

di^ standardizzare

l'aritmetica floating-point

Tre formati:

singola precisione

(32 bit),

doppia

precisione

(64 bit),

precisione estesa

(80 bit)

Base 2

per mantissa,

notazione in eccesso

per

esponente Mantissa

normalizzata

: la parte intera

è^ sempre 1,

questo bit

è^ nascosto quindi la mantissa si

compone della sola parte frazionaria

Standard IEEE 754

0 segno

1 0 0 0 0 1 1 1^ Esponente^ eccesso 127

8 bit

1 0 1 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

23 bit^ mantissa

432

0 216

0 108

0 54

0 27

1 13

1 6

0 3

1 1

1

⎢^10

⎢^2

x^2

8

x 2

x^2

8

Standard IEEE 754

Numeri normalizzati e denormalizzati Formati speciali per identificare infinito e NaN(Not a Number, esempio se dividiamo infinitoper infinito)

esp^

mantissa M

valore v

Numero normalizzato Numero denormalizzato Zero Infinito NaN

0 <^ esp

< 255 esp^ = 0 esp^ = 0 esp^ = 255 esp^ = 255

qualunque^ M^

≠^^0 M = 0 M = 0 M ≠^^0

v^ = (-1)

s(1, M

esp-127) v^ = (-1)

s(0, M

-126) v^ = (-1)

s^0 v^ = (-1)

s∝ v^ = NaN

Il codice ASCII: alcuni caratteri^ ASCII

Simb.

ASCII

Simb.

ASCII

Simb.

00101010

*****^

00111001

9

01000111

G

00101011 +

00111010

:^

01001000

H

00101100 ,

00111011

;^

01001001

I

00101101 -

00111100

<^

01001010

J

00101110.

00111101

=^

01001011

K

00101111 /

00111110

>^

01001100

L

00110000 0

00111111

?^

01001101

M

00110001 1

01000000

@^

01001110

N

00110010 2

01000001

A^

01001111

O

00110011 3

01000010

B^

01010000

P

00110100 4

01000011

C^

01010001

Q

00110101 5

01000100

D^

01010010

R

00110110 6

01000101

E^

01010011

S

00111000 8

01000110

F^

01010100

T

Il codice ASCII

Sebbene 7 bit siano sufficienti per codificare l’insieme di caratteri diuso comune, il codice ASCII standard utilizza 8 bit, il primo (più asinistra) dei quali è sempre 0 Esempio: codifica della parola

cane

Problema inverso: quale testo è codificato da una datasequenza?^ ƒ^ si divide la sequenza in gruppi di otto bit (un byte);^ ƒ^ si determina il carattere corrispondente ad ogni byte^011010010110110000100000010100000110111100101110

c^

a^

n^

e

Numeri: ASCII vs binario

I^ numeri possono essere codificati in due modi:^ ƒ^ ASCII

:^

(2 byte)

ƒ^ BINARIO

:^^37

(1 byte)

Il primo modo è usato per le comunicazioni con l'esterno(input/output) Il secondo modo è usato all'interno; per fare i calcoli non è possibileusare direttamente le codifiche ASCII (Esistono dei programmi diconversione che trasformano i numeri da una codifica all'altra) Esempio^ 3 + 2 = e

(vi ricordate? Una codifica dove la somma delle rappresentazioni restituisce la rappresentazione della somma) (in ASCII:

La codifica UNICODE

8 52 lettere alfabetiche maiuscole e minuscole, 10 caratteri chedenotano le cifre (0, 1, 2, …, 9), segni di punteggiatura (,. ; :! ”? ’ ^ \ …), simboli matematici (+, -,

×^ , ±, {, [, >, …),

caratteri di alfabeti nazionali (à, è, ì, ò, ù, ç, ñ, ö, ...), altrisegni grafici (©,

↑,^

8 16 bit per carattere: la codifica di quelli presenti in ASCII è lastessa sugli 8 bit meno significativi (gli 8 più significativi sonoa 0). Ad esempio: il carattere

K^ è codificato in:

9 ASCII come

^01001011

9 UNICODE come

8 Il carattere

é^ invece (non presente in ASCII) è codificato

come

8 Le lingue di tutto il mondo utilizzano all’incirca 200000simboli: UNICODE non sufficiente