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Matematica per le Applicazioni Economiche I, 12 Gennaio 2017
Testo d’esame A
La prova ha la durata di due ore. Spiegate con molta cura le vostre risposte.
Esercizio 1 (6 punti) (a) Si scrivano le definizioni di insieme aperto e di insieme chiuso. (b) Si stabilisca quali dei seguenti insiemi sono aperti, quali sono chiusi e quali sono né aperti né chiusi:
= [0 1] ∪ { 2 } = (0 1) ∪ { 2 } = −
Esercizio 2 (8 punti) Sia ∈ R un parametro. Si consideri la funzione definita a tratti come segue:
: R → R () =
^ se ≥ 0 − se 0
(a) Si stabilisca per quali valori di ∈ R la funzione è continua. (b) Si tracci il grafico di corrispondente al valore = 0 e quello corrispondente al valore = 1. (c) Si ricavi l’insieme −^1 () con = { 1 } nel caso = 0 e nel caso = 1.
Esercizio 3 (8 punti) (a) Sia scriva la definizione di lim → 0
(b) Utilizzando la definizione del punto (a), si dimostri che
lim → (^12)
ln
¯^ −^
¯ =^ −∞
(c) Si calcoli
lim →+∞
| 1 − | − ^2 +
| 2 ^ − ln |
Esercizio 4 (12 punti) Si studi () =
ln ( − 1)
e si disegni il suo grafico tralasciando lo studio della derivata seconda.
Esercizio 5 (6 punti) Sia data la funzione : R → R () =
^2
(a) Si scriva la definizione di funzione derivabile in un punto e si dica se è derivabile in 0 ; (b) Si scriva la definizione di retta tangente al grafico di una funzione in un punto e si calcoli l’equazione della retta tangente al grafico di nel punto del grafico ( 0 ( 0 )) per il quale ( 0 ) = 1 e 0 0.
Soluzioni Testo d’esame A
Esercizio 1 (a) Un insieme ⊆ R si dice aperto se ogni suo punto è punto interno per . Un insieme ⊆ R si dice chiuso se il suo insieme complementare è aperto. (b) è chiuso, e’ né chiuso né aperto; = { 0 1 } è chiuso. Esercizio 2 (a) Questa funzione e’ continua in ogni punto 0 6 = 0 poiche’ = ^ e = − sono funzioni continue. Relativamente al punto 0 = 0 si ha
(0) = 1, lim → 0 +^
() = lim → 0 +^
^ = 1, lim → 0 −^
() = lim → 0 −
Dunque è continua in 0 = 0 (e quindi in R) se e solo se = 1. (b)
grafico di quando = 0 :
-4 -3 -2 -1 0 1 2
2
4
6
8
x
y
grafico di quando = 1 :
-4 -3 -2 -1 0 1 2
2
4
6
8
x
y
(c) I grafici al punto (b) rivelano che −^1 ({ 1 }) = {− 1 0 } se = 0, −^1 ({ 1 }) = { 0 } se = 1.
Esercizio 3 (a) Data : → R, se 0 e’ un punto di accumulazione per allora si dice che lim→ 0 () = −∞ se per ogni 0 esiste ( 0 ) tale che per ogni ∈ (( 0 ) − { 0 }) ∩ vale () −. (b) Si noti che l’insieme di definizione di ln
2
¯ (^) è = R−{ 1 2 }, per cui^ ^0 =^
1 2 e’ un punto di accumulazione per . Per dimostrare che lim→ 12 ln
2
¯ (^) = −∞ in base alla definizione, consideriamo la disequazione
ln
¯^ −^
¯ ^ −
che e’ equivalente (per 6 = 12 ) a
2
¯ (^) −^ e ha per soluzione l’insieme ( 1 2 −^
2 +^
− (^) ). Dunque
ln
2
¯ (^) − se e solo se ∈ ¡( 1 2 −^
2 +^
, e ( 12 ) = ( 12 − −^ 12 + −^ ) soddisfa la definizione (anche un qualsiasi altro intorno di 12 che sia sottoinsieme di ( 12 − −^ 12 + −^ ) soddisfa la definizione). (c) Si ha lim →+∞
| 1 − | − ^2 +
| 2 ^ − ln |
= lim →+∞
−1 + − ^2 +
2 ^ − ln
e sia al numeratore che al denominatore compaiono termini che hanno per limite +∞ o −∞. Risulta che ^ e’ l’infinito di ordine superiore al numeratore, ^2 ^ e’ l’infinito di ordine superiore al denominatore. Dunque
lim →+∞
| 1 − | − ^2 +
| 2 ^ − ln |
= lim →+∞
2 ^
Matematica per le Applicazioni Economiche I, 12 Gennaio 2017
Testo d’esame B
La prova ha la durata di due ore. Spiegate con molta cura le vostre risposte.
Esercizio 1 (6 punti) (a) Si scrivano le definizioni di insieme aperto e di insieme chiuso. (b) Si stabilisca quali dei seguenti insiemi sono aperti, quali sono chiusi e quali sono né aperti né chiusi:
= [0 2] ∪ { 3 } = (0 2) ∪ { 3 } = −
Esercizio 2 (8 punti) Sia ∈ R un parametro. Si consideri la funzione definita a tratti come segue:
: R → R () =
ln se ≥ 1 − se 1
(a) Si stabilisca per quali valori di ∈ R la funzione è continua. (b) Si tracci il grafico di corrispondente al valore = 0 e quello corrispondente al valore = 1. (c) Si ricavi l’insieme −^1 () con = { 1 } nel caso = 0 e nel caso = 1.
Esercizio 3 (8 punti) (a) Sia scriva la definizione di lim → 0
(b) Utilizzando la definizione del punto (a), si dimostri che
lim → 0
1 ^2 = +∞
(c) Si calcoli
lim →+∞
| 5 − | − ^3 +
|^ − 2 ln |
Esercizio 4 (12 punti) Si studi () =
ln ( − 2)
e si disegni il suo grafico tralasciando lo studio della derivata seconda.
Esercizio 5 (6 punti) Sia data la funzione : R → R () =
^2
(a) Si scriva la definizione di funzione derivabile in un punto e si dica se è derivabile in 0 ; (b) Si scriva la definizione di retta tangente al grafico di una funzione in un punto e si calcoli l’equazione della retta tangente al grafico di nel punto del grafico ( 0 ( 0 )) per il quale ( 0 ) = 1 e 0 0.
Soluzioni Testo d’esame B
Esercizio 1 (a) Un insieme ⊆ R si dice aperto se ogni suo punto è punto interno per . Un insieme ⊆ R si dice chiuso se il suo insieme complementare è aperto. (b) è chiuso, e’ né chiuso né aperto; = { 0 2 } è chiuso.
Esercizio 2 (a) Questa funzione e’ continua in ogni punto 0 6 = 1 poiche’ = ln e = − sono funzioni continue. Relativamente al punto 0 = 1 si ha
(1) = 0, lim → 1 +^
() = lim → 1 +^
ln = 0, lim → 1 −^
() = lim → 1 −
Dunque è continua in 0 = 1 (e quindi in R) se e solo se = 1. (b)
grafico di quando = 0 :
-4 -2 2 4 6
1
2
3
4
x
y
grafico di quando = 1 :
-4 -2 2 4 6
1
2
3
4
x
y
(c) I grafici al punto (b) rivelano che −^1 ({ 1 }) = {− 1 } se = 0, −^1 ({ 1 }) = { 0 } se = 1.
Esercizio 3 (a) Data : → R, se 0 e’ un punto di accumulazione per allora si dice che lim→ 0 () = +∞ se per ogni 0 esiste ( 0 ) tale che per ogni ∈ (( 0 ) − { 0 }) ∩ vale () .
(b) Si noti che l’insieme di definizione di
1 ^2 è = R − { 0 }, per cui 0 = 0 e’ un punto di accumulazione
per . Per dimostrare che lim→ 0
1 ^2 = +∞ in base alla definizione, consideriamo la disequazione (con 0 e grande)
1 ^2
che e’ equivalente a (^) ^12 ln , ovvero a (per 6 = 0, e dato 1 , dato che 0 e’ grande) (^) ln^1 ^2 e
ha per soluzione l’insieme (−
q 1 ln
q 1 ln ). Dunque^ ^
1 ^2 se e solo se ∈
q 1 ln
q 1 ln )^ −^ {^0 }
, e
(0) = (−
q 1 ln
q 1 ln )^ soddisfa la definizione (anche un qualsiasi altro intorno di^0 che sia sottoinsieme di
(−
q 1 ln
q 1 ln )^ soddisfa la definizione). (c) Si ha lim →+∞
| 5 − | − ^3 +
|^ − 2 ln |
= lim →+∞
−5 + − ^3 +
^ − 2 ln
con 0 ( 0 ) = 23 − 0 1 ^3. Il punto 0 0 tale che ( 0 ) = 1 soddisfa ^20 3 = 1, quindi 0 = ± 1 , ma poiche’ 0 0 si deduce che 0 = 1. Poiche’ 0 (1) = 23 , la retta tangente al grafico di in (1 1) ha equazione
Matematica per le Applicazioni Economiche I, 12 Gennaio 2017
Testo d’esame C
La prova ha la durata di due ore. Spiegate con molta cura le vostre risposte.
Esercizio 1 (6 punti) (a) Si scrivano le definizioni di insieme aperto e di insieme chiuso. (b) Si stabilisca quali dei seguenti insiemi sono aperti, quali sono chiusi e quali sono né aperti né chiusi:
= (1 2) ∪ { 0 } = [1 2] ∪ { 0 } = −
Esercizio 2 (8 punti) Sia ∈ R un parametro. Si consideri la funzione definita a tratti come segue:
: R → R () =
−^ se ≥ 0 − se 0
(a) Si stabilisca per quali valori di ∈ R la funzione è continua. (b) Si tracci il grafico di corrispondente al valore = 0 e quello corrispondente al valore = 1. (c) Si ricavi l’insieme −^1 () con = {− 1 } nel caso = 0 e nel caso = 1.
Esercizio 3 (8 punti) (a) Sia scriva la definizione di lim →+∞
(b) Utilizzando la definizione del punto (a), si dimostri che
lim →+∞ ln = +∞
(c) Si calcoli lim →+∞
| − 1 | + ^2 −
| 2 ^ − ln |
Esercizio 4 (12 punti) Si studi () =
ln ( + 1)
e si disegni il suo grafico tralasciando lo studio della derivata seconda.
Esercizio 5 (6 punti) Sia data la funzione : R → R () = 7
^4
(a) Si scriva la definizione di funzione derivabile in un punto e si dica se è derivabile in 0 ; (b) Si scriva la definizione di retta tangente al grafico di una funzione in un punto e si calcoli l’equazione della retta tangente al grafico di nel punto del grafico ( 0 ( 0 )) per il quale ( 0 ) = 1 e 0 0.
Esercizio 4 Un numero reale appartiene all’insieme di definizione di se e solo se + 1 0 e ln( + 1) 6 = 0. Quindi = (− 1 0) ∪ (0 +∞), e in tale insieme e’ derivabile (perche’ e’ il quoziente di funzioni derivabili), dunque continua. Il numeratore di () e’ positivo per ogni ∈ , dunque il segno di () coincide con il segno del denomi- natore. Quindi () 0 se e solo se ln( + 1) 0 , ovvero se e solo se 0 ; () 0 se e solo se ln( + 1) 0 , ovvero se e solo se ∈ (− 1 0); () 6 = 0 per ogni ∈ . I limiti da calcolare sono
−∞ , dunque^ lim→−^1 +^ ^ () = 0
- lim→ 0 − () = (^01) − , quindi lim→ 0 − () = −∞ e la retta verticale = 0 (cioe’ l’asse delle ) e’ asintoto verticale per ;
- lim→ 0 + () = (^01) + , quindi lim→ 0 + () = +∞;
- lim→+∞ () = + +∞∞ e lim→+∞ () = +∞ per la gerarchia tra infiniti (dopo aver applicato la sosti- tuzione = + 1).
La derivata prima di e’
ln ( + 1) − ( + 1) (^) +1^1 (ln ( + 1))^2
ln ( + 1) − 1 (ln ( + 1))^2
e (ln ( + 1))^2 0 per ogni ∈ , dunque il segno di 0 () coincide con il segno di ln ( + 1) − 1 in . Risulta che ln ( + 1) − 1 0 se e solo se − 1 , e ln ( + 1) − 1 0 se e solo se ∈ (− 1 − 1) − { 0 } (si ricordi che 0 non appartiene ad ). Pertanto e’ monotona strettamente decrescente nell’intervallo (− 1 0) e nell’intervallo (0 − 1); e’ monotona strettamente crescente nell’intervallo ( − 1 +∞).
Grafico di :
2 4 6
2
4
x
y
Dai limiti sappiamo che sup = +∞, inf = −∞, dunque non esistono max ne’ min . Esiste un punto di minimo locale, = − 1 , tale che ( − 1) = .
Esercizio 5 (a) Data : → R e dato 0 ∈ punto di accumulazione per , si dice che e’ derivabile in
0 se lim→ 0 ^ (^0 + )− ^ (^0 )esiste ed e’ finito.
Per () = 7
^4 , il calcolo del limite del rapporto incrementale in 0 = 0 e’
lim → 0
= lim → 0
= lim → 0
^4 ^7
= lim → 0
^3 ^7
e questo limite non esiste: lim→ 0 + (^) 31 7 = +∞, lim→ 0 − (^) 31 7 = −∞. Dunque non è derivabile in 0 = 0. (b) Se una funzione e’ derivabile in un punto 0 , allora la retta di equazione = ( 0 ) + 0 ( 0 )( − 0 ) si dice retta tangente al grafico di in ( 0 ( 0 )). La funzione considerata e’ derivabile in ogni punto 0 6 = 0,
con 0 ( 0 ) = 47 − 0 3 ^7. Il punto 0 0 tale che ( 0 ) = 1 soddisfa ^40 7 = 1, quindi 0 = ± 1 , ma poiche’ 0 0 si deduce che 0 = 1. Poiche’ 0 (1) = 47 , la retta tangente al grafico di in (1 1) ha equazione
Matematica per le Applicazioni Economiche I, 17 Febbraio 2017
Testo d’esame A
La prova ha la durata di due ore. Spiegate con molta cura le vostre risposte.
Esercizio 1 (3 punti) Si scrivano le seguenti definizioni: funzione continua in un punto, funzione iniettiva, funzione concava.
Esercizio 2 (7 punti) Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false. Si motivino le risposte "vero" for- nendone una dimostrazione, la quale può basarsi su definizioni, proposizioni e teoremi contenuti nel programma del corso. Si motivino le risposte "falso" esibendo un controesempio all’affermazione.
(2a) Se : [0 3] → R è continua e (0) (3), allora Im( ) = [ (0) (3)].
(2b) Se : [0 3] → R è iniettiva, allora è monotona strettamente crescente o monotona strettamente decres- cente.
(2c) Se : [0 3] → R è concava e (0) (3), allora 0 è punto di minimo globale per .
Esercizio 3 (6 punti) Si calcolino i seguenti limiti
lim → 4
^2 − 3 − 4
, lim → 0
(^ − 1)
(sin(2))(ln(1 + ))
Esercizio 4 (5 punti) Data la funzione () = 2^5 ln(),
(4a) si determini l’insieme di definizione di ;
(4b) si calcolino la derivata prima e la derivata seconda di ;
(4c) si determinino gli intervalli di concavità/convessità di in .
Esercizio 5 (9 punti) Si consideri l’insieme
= { ∈ R : ^2 − 5 + 4 ≥ 0 } ∩ { ∈ R : ^2 − 8 0 }
(5a) si esprima come unione di intervalli disgiunti;
(5b) si determinino l’insieme dei maggioranti e l’estremo superiore dell’insieme ;
(5c) si determinino l’insieme dei punti interni per e l’insieme dei punti di accumulazione per .
Esercizio 6 (10 punti) Si studi la funzione
() =
e si disegni il suo grafico tralasciando lo studio della derivata seconda.
(5b) L’insieme dei maggioranti per è [8 +∞), quindi sup = 8. (5c) L’insieme dei punti interni per è (0 1) ∪ (4 8). L’insieme dei punti di accumulazione per è [0 1] ∪ [4 8].
Esercizio 6 L’insieme di definizione di è = { ∈ R : 4 + 3 6 = 0} = (−∞ − 34 ) ∪ (− 34 +∞). Per studiare il segno di () è utile osservare che ^ 0 per ogni ∈ , dunque il segno di () coincide con il segno di (^4) +3. Poiché 4 + 3 0 per ∈ (−∞ − 34 ) e 4 + 3 0 per ∈ (− 34 +∞), risulta che () 0 per
∈ (−∞ − 34 ), () 0 per ∈ (− 34 0), (0) = 0, () 0 per ∈ (0 +∞). non è pari, né dispari, né periodica. Per calcolare lim→−∞ () è utile notare che lim→−∞ (^4) +3 = 14 e lim→−∞ ^ = 0, quindi lim→−∞ () = 0.
lim→− 3 4
− () = −^
(^34) − 3 4 0 −^ , quindi^ lim→− 34 −^ ^ () = +∞.
lim→− 3 4
+ () = −^
(^34) − 3 4 0 +^ , quindi^ lim→− 34 +^ ^ () =^ −∞. Per calcolare lim→+∞ () è utile notare che lim→+∞ (^4) +3 = 14 e lim→+∞ ^ = +∞, quindi lim→+∞ () = +∞. La derivata prima di è
(^ + )(4 + 3) − 4
(4 + 3)^2
= (4^2 + 3 + 3)
(4 + 3)^2
Al fine di studiarne il segno in , è utile osservare che (4+3)^2 ^0 per ogni^ ^ ∈^ , e quindi il segno di^ ^
coincide con il segno di 4 ^2 + 3 + 3. Poiché 4 ^2 + 3 + 3 0 per ogni ∈ , si deduce che è monotona strettamente crescente nell’intervallo (−∞ − 34 ) ed è monotona strettamente crescente anche nell’intervallo (− 34 +∞). Pertanto non esistono per questa funzione punti di max/min locali/globali; inf = −∞, sup = +∞. Il grafico di è
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
6
8
x
y
Matematica per le Applicazioni Economiche I, 17 Febbraio 2017
Testo d’esame B
La prova ha la durata di due ore. Spiegate con molta cura le vostre risposte.
Esercizio 1 (3 punti) Si scrivano le seguenti definizioni: funzione continua in un punto, funzione iniettiva, funzione concava.
Esercizio 2 (7 punti) Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false. Si motivino le risposte "vero" for- nendone una dimostrazione, la quale può basarsi su definizioni, proposizioni e teoremi contenuti nel programma del corso. Si motivino le risposte "falso" esibendo un controesempio all’affermazione.
(2a) Se : [1 4] → R è continua e (1) (4), allora Im( ) = [ (4) (1)].
(2b) Se : [1 4] → R è iniettiva, allora è monotona strettamente crescente o monotona strettamente decres- cente.
(2c) Se : [1 4] → R è concava e (1) (4), allora 4 è punto di minimo globale per .
Esercizio 3 (6 punti) Si calcolino i seguenti limiti
lim → 9
^2 − 7 − 18
, lim → 0
sin() (^ − 1)(ln(1 + 3))
Esercizio 4 (5 punti) Data la funzione () = 3^4 ln(),
(4a) si determini l’insieme di definizione di ;
(4b) si calcolino la derivata prima e la derivata seconda di ;
(4c) si determinino gli intervalli di concavità/convessità di in .
Esercizio 5 (9 punti) Si consideri l’insieme
= { ∈ R : ^2 − 7 + 10 ≥ 0 } ∩ { ∈ R : ^2 − 9 0 }
(5a) si esprima come unione di intervalli disgiunti;
(5b) si determinino l’insieme dei maggioranti e l’estremo superiore dell’insieme ;
(5c) si determinino l’insieme dei punti interni per e l’insieme dei punti di accumulazione per .
Esercizio 6 (10 punti) Si studi la funzione
() =
e si disegni il suo grafico tralasciando lo studio della derivata seconda.
(5b) L’insieme dei maggioranti per è [9 +∞), quindi sup = 9. (5c) L’insieme dei punti interni per è (0 2) ∪ (5 9). L’insieme dei punti di accumulazione per è [0 2] ∪ [5 9].
Esercizio 6 L’insieme di definizione di è = { ∈ R : 2 + 5 6 = 0} = (−∞ − 52 ) ∪ (− 52 +∞). Per studiare il segno di () è utile osservare che ^ 0 per ogni ∈ , dunque il segno di () coincide con il segno di (^2) +5. Poiché 2 + 5 0 per ∈ (−∞ − 52 ) e 2 + 5 0 per ∈ (− 52 +∞), risulta che () 0 per
∈ (−∞ − 52 ), () 0 per ∈ (− 52 0), (0) = 0, () 0 per ∈ (0 +∞). non è pari, né dispari, né periodica. Per calcolare lim→−∞ () è utile notare che lim→−∞ (^2) +5 = 12 e lim→−∞ ^ = 0, quindi lim→−∞ () = 0.
lim→− 5 2
− () = −^
(^52) − 5 2 0 −^ , quindi^ lim→− 52 −^ ^ () = +∞.
lim→− 5 2
+ () = −^
(^52) − 5 2 0 +^ , quindi^ lim→− 52 +^ ^ () =^ −∞. Per calcolare lim→+∞ () è utile notare che lim→+∞ (^2) +5 = 12 e lim→+∞ ^ = +∞, quindi lim→+∞ () = +∞. La derivata prima di è
(^ + )(2 + 5) − 2
(2 + 5)^2
= (2^2 + 5 + 5)
(2 + 5)^2
Al fine di studiarne il segno in , è utile osservare che (2+5)^2 ^0 per ogni^ ^ ∈^ , e quindi il segno di^ ^
coincide con il segno di 2 ^2 + 5 + 5. Poiché 2 ^2 + 5 + 5 0 per ogni ∈ , si deduce che è monotona strettamente crescente nell’intervallo (−∞ − 52 ) ed è monotona strettamente crescente anche nell’intervallo (− 52 +∞). Pertanto non esistono per questa funzione punti di max/min locali/globali; inf = −∞, sup = +∞. Il grafico di è
-4 -2 2
2
4
6
x
y
Matematica per le Applicazioni Economiche I, 17 Febbraio 2017
Testo d’esame C
La prova ha la durata di due ore. Spiegate con molta cura le vostre risposte.
Esercizio 1 (3 punti) Si scrivano le seguenti definizioni: funzione continua in un punto, funzione iniettiva, funzione convessa.
Esercizio 2 (7 punti) Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false. Si motivino le risposte "vero" for- nendone una dimostrazione, la quale può basarsi su definizioni, proposizioni e teoremi contenuti nel programma del corso. Si motivino le risposte "falso" esibendo un controesempio all’affermazione.
(2a) Se : R → R è continua e lim→−∞ () = 7, lim→+∞ () = 12, allora Im( ) = (7 12).
(2b) Se : [2 5] → R è iniettiva, allora è monotona strettamente crescente o monotona strettamente decres- cente.
(2c) Se : [2 5] → R è convessa e (2) (5), allora 5 è punto di massimo globale per .
Esercizio 3 (6 punti) Si calcolino i seguenti limiti
lim → 1
^2 + 6 − 7
, lim → 0
ln(1 + ) (^4 ^ − 1)(sin())
Esercizio 4 (5 punti) Data la funzione () = 5^3 ln(),
(4a) si determini l’insieme di definizione di ;
(4b) si calcolino la derivata prima e la derivata seconda di ;
(4c) si determinino gli intervalli di concavità/convessità di in .
Esercizio 5 (9 punti) Si consideri l’insieme
= { ∈ R : ^2 − 9 + 18 ≥ 0 } ∩ { ∈ R : ^2 − 7 0 }
(5a) si esprima come unione di intervalli disgiunti;
(5b) si determinino l’insieme dei maggioranti e l’estremo superiore dell’insieme ;
(5c) si determinino l’insieme dei punti interni per e l’insieme dei punti di accumulazione per .
Esercizio 6 (10 punti) Si studi la funzione
() =
e si disegni il suo grafico tralasciando lo studio della derivata seconda.
Esercizio 5 (5a) Per la disequazione ^2 − 9 + 18 ≥ 0 l’insieme delle soluzioni è (−∞ 3] ∪ [6 +∞). Per la disequazione ^2 − 7 0 l’insieme delle soluzioni è (0 7). Pertanto = ((−∞ 3] ∪ [6 +∞)) ∩ (0 7) = (0 3] ∪ [6 7). (5b) L’insieme dei maggioranti per è [7 +∞), quindi sup = 7. (5c) L’insieme dei punti interni per è (0 3) ∪ (6 7). L’insieme dei punti di accumulazione per è [0 3] ∪ [6 7].
Esercizio 6 L’insieme di definizione di è = { ∈ R : 3 + 2 6 = 0} = (−∞ − 23 ) ∪ (− 23 +∞). Per studiare il segno di () è utile osservare che ^ 0 per ogni ∈ , dunque il segno di () coincide con il segno di (^3) +2. Poiché 3 + 2 0 per ∈ (−∞ − 23 ) e 3 + 2 0 per ∈ (− 23 +∞), risulta che () 0 per
∈ (−∞ − 23 ), () 0 per ∈ (− 23 0), (0) = 0, () 0 per ∈ (0 +∞). non è pari, né dispari, né periodica. Per calcolare lim→−∞ () è utile notare che lim→−∞ (^3) +2 = 13 e lim→−∞ ^ = 0, quindi lim→−∞ () = 0.
lim→− 2 3
− () = −^
(^23) − 2 3 0 −^ , quindi^ lim→− 23 −^ ^ () = +∞.
lim→− 2 3
+ () = −^
(^23) − 2 3 0 +^ , quindi^ lim→− 23 +^ ^ () =^ −∞. Per calcolare lim→+∞ () è utile notare che lim→+∞ (^3) +2 = 13 e lim→+∞ ^ = +∞, quindi lim→+∞ () = +∞. La derivata prima di è
(^ + )(3 + 2) − 3
(3 + 2)^2
= (3^2 + 2 + 2)
(3 + 2)^2
Al fine di studiarne il segno in , è utile osservare che
(3+2)^2 ^0 per ogni^ ^ ∈^ , e quindi il segno di^ ^
coincide con il segno di 3 ^2 + 2 + 2. Poiché 3 ^2 + 2 + 2 0 per ogni ∈ , si deduce che è monotona strettamente crescente nell’intervallo (−∞ − 23 ) ed è monotona strettamente crescente anche nell’intervallo (− 23 +∞). Pertanto non esistono per questa funzione punti di max/min locali/globali; inf = −∞, sup = +∞. Il grafico di è
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
6
x
y
Matematica per le Applicazioni Economiche I, 12 giugno 2017
Testo d’esame A
La prova ha la durata di due ore. log() o ln() indicano il logaritmo in base .
Esercizio 1. (8 punti) Si studi
() = ln () −
2 ^2
e si disegni il suo grafico. NON si tralasci lo studio della derivata seconda di . Si tralasci lo studio del segno di [Dominio: punti 1; limiti: punti 2; argomentazioni sulla eventuale continuità/derivabilità sul dominio: punti 1; monotonia: punti 2; concavità/convessità: punti 1; grafico: punti 1]
Esercizio 2. (8 punti) Sia data
: R\ {− 1 } → R () =
a. [punti 3] Si dica se la funzione è iniettiva e si determini Im( ) b. [punti 2] Si calcoli l’espressione di = ◦ , cioè l’espressione di () = ( ()) c. [punti 3] Si determini la funzione inversa −^1 e si disegnino i grafici di e −^1
Esercizio 3. (8 punti) a. [punti 3] Usando la definizione di limite si verifichi che
lim → 16
b. Si calcolino
[punti 3] lim → 0
^ (1 − ) − 1
2(sin ())^2
[punti 2] lim →+∞
μ 2 +
Esercizio 4. (8 punti) Si dica, giustificando la risposta, se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. [punti 2] Sia : R → R una funzione continua e tale che lim→−∞ () = −∞ e (−3) = 2. Allora esiste 0 0 tale che ( 0 ) = 0. b. [punti 2] La funzione : R → R data da
^2 + 2 se 0 ^2 se ≥ 0
è derivabile nel punto 0 = 0 c. [punti 2] La funzione : R → R data da
^ se 0 − 1 se = 0 + 1 se 0
è continua nel punto 0 = 0 d. [punti 2] Se una funzione è strettamente crescente sul suo dominio allora è anche continua.
Esercizio 5. (8 punti) Un agente finanziario avente a disposizione una certa somma di denaro deve scegliere tra due opportunità di investimento in titoli. Il suo obiettivo è quello di fare la scelta che minimizzi il rischio di perdita di denaro. L’opportunità 1 consiste nell’acquisto di due titoli e comporta un rischio stimato in 1 () = 32 ^2 − + 556 , dove ∈ [0 1] rappresenta la proporzione della somma di denaro investita nel primo dei due titoli. In alternativa, l’opportunità 2 consiste nell’acquisto di due titoli, diversi dai precedenti, e comporta un rischio stimato in 2 () = 2^2 − 6 + 11, dove ∈ [0 1] rappresenta la proporzione della somma di denaro investita nel primo dei due titoli. Determinare a. [punti 3] il valore di che minimizza 1 () b. [punti 3] il valore di che minimizza 2 () c. [punti 2] su quale opportunità ricade la scelta dell’investitore e con quale proporzione.
