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SOLUZIONI DI ALCUNI COMPITI DI MATEMATICA DISCRETA
COMPITO 1
1.a) Sia Ai = {x: x N, x ≥i}. Si determinino Ai, i Z, Ai, i Z.
b) Dimostrare con il principio d’induzione che: 1+2+2^2 …+2 n^ =2n+1-1 per ogni n ≥0. c) Calcolare (3a+2b)^19 in Z19. ( per ridurre 3^19 e 2^19 in Z 19 utilizzare il piccolo Teorema di Fermat ).
Sol: a) Ai = {x: x N, x ≥i} =N per ogni i in Z negativo, invece Ao = {x: x N,
x ≥ 0 }=N, A 1 = {x: x N, x ≥ 1 } =N - { 0 }, A 2 = {x: x N, x ≥2 } =N - {0, 1}, A 3 = {x:
x N, x ≥3 } =N - {0,1,2}, e così via. Allora Ai =N e Ai = ( insieme
vuoto). Dimostriamo con la doppia in clusione l’ultima uguaglianza: è
contenuto in ogni insieme e quindi anche in Ai. Viceversa, per essere
^ Ai contenuta n ell’insieme vuoto deve essere priva di elementi. Infatti, se^ ci
fosse un elemento x=j in Ai , dovrebbe stare in ogni Ai , con i Z, in
particolare j dovrebbe stare in Aj+1 = N-{ 0,1,2,…, j}, che è assurdo e da qui l’asserto. b) indichiamo con p(n) : 1+2+2^2 …+2 n^ =2n+1- 1 per ogni n ≥ 0. Allora: p(0) è vera , infatti: 20 = 21 - 1. Dimostriamo che p(n) vera implica p(n+1) vera. Calcoliamo p(n+1): 1+2+2^2 …+2 n^ + 2 n+1^ =2n+1+1- 1 poiché 1+2+2^2 …+2 n^ =2n+1- 1 è vera , sostituendo a primo membro otteniamo: 2 n+1^ - 1+ 2 n+1=2 2 n+1^ - 1= 2 n+2-1, che coincide con il secondo membro in p(n+1). Pertanto p(n) è vera per ogni n N. c) essendo 19 primo allora (3a+2b)^19 ( 3 a)^19 + ( 2 b)^19 319 a^19 + 219 b^19. Per il piccolo teorema di Fermat 319 3 ( mod 19) , 219 2 ( mod 19) , a^19 a ( mod 19), b 19 b ( mod19) e per le proprietà delle congruenze otteniamo: 3 19 a 19 3 a ( mod 19) e 219 b^19 2 b( mod 19) ed anche 319 a^19 + 219 b^19 3a+2b (mod 19). Pertanto in (3a+2b)^19 =3a +2b in Z 19
- Per quali valori interi di a la congruenza ax 75 ( mod 315) non ha soluzioni? Sol: la congruenza ax75 ( mod 315) non ha soluzioni se MCD(a, 315) non divide 75. Poiché 315=7·5·3^2 e 75= 5·5·3. I valori di a per cui MCD(a, 315) non divide 75 sono i multipli interi di 7:a=h·7 o i multipli interi di 9: a=h·9,
con h Z.
- Si consideri l’anello Z 2079 delle classi resto modulo 2079.^. Decidere se è un campo. Decidere se la classe 4 è invertibile: in caso positivo determinare l’inversa. Sol: Z 2079 non è un campo in quanto 2079 non è primo, infatti 2079=3^3 · 7 ·11. Poiché MCD(4, 2079)=1, allora la classe 4 è invertibile. Per determinare la classe inversa di 4 : [x] =[4]-^1 , bisogna risolvere la congruenza lineare: 4x1 (mod 2079) o l’equivalente equazione diofantea: 4x+2079y= 1. Tale equazione ha soluzione in quanto MCD(4, 2079)/1. Per risolverla, a pplichiamo l’algoritmo euclideo delle divisioni successive a 2079 e 4 , ottenendo: 2079= 4·519+3 , 4=3·1+1 , da cui ricavando i resti: 3=2079- 4· 1=4-3·1. A questo punto possiamo utilizzare due metodi per determinare x : 1 ° metodo : poniamo 2079= a e 4 =b, pertanto le uguaglianze di sopra diventano: 3=2079- 4·519 = a-519 b 1=4-3·1 = b-(a-519 b) = b-a+519 b In definitiva: 1= - a +520 b = - 2079 + 520· Dal confronto con l’equazione diofantea : 4x+2079y= 1 otteniamo che x= 520 , pertanto : [4]-^1 =[520]. 2 ° metodo : si possono fare direttamente le sostituzioni nei resti così come segue: 1=4-(2079-4·519)= 4-2079+4·519 =520·4 - 2079 , che in termini di congruenza mod 2079 diventa 4 ·5201 (mod 2079) da cui ne segue che :[4]-^1 =[520]. COMPITO 2
- Si dimostri con il procedimento d’induzione che: n^3 - n è un multiplo di 3 per ogni n N. Sol: Sia p(n): n^3 - n= h3, con h Z. Allora p(0): 0=h3 è vera , basta scegliere h=0. Dimostriamo che p(n) vera implica p(n+1) vera. Consideriamo p(n+1):(n+1)^3 - (n+1)= n^3 +3n^2 +3n+1-n-1= n^3 +3n^2 +2n. Poiché p(n) è vera , allora n^3 = h3+n; sostituendo nella precedente espressione otteniamo: n^3 +3n^2 +2n=h3+n+3n^2 +2n=h3+3n+3n^2 = 3(h+n+n^2 ). Se indichiamo (h+n+n^2 ) con k, otteniamo che (n+1)^3 - (n+1)=3k con k Z, pertanto p(n+1) è vera e quindi p(n) è vera per ogni nN.
COMPITO 3
- SiaFn la successione dei numeri di Fibonacci, con F 0 =0, F 1 =1, Fn=Fn- 1 +Fn- 2 , per n>1. D eterminare F, l’insieme dei numeri di Fibonacci con 3 cifre e calcol are F∩P dove P= {2, 3, 5,7, 11,…} = l’insieme dei numeri primi. Sol: Poiché Fn =0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,… }, l’insieme F è dato dall’insi eme {144, 233, 377, 610, 987}. Di questi numeri solo il 233 è primo : infatti 144 e 610 sono multipli di 2, 377= 13· 29, 987 = 3 · 7· 47, pertanto F∩P = 233 .
- Si dimostri, usando il principio di induzione , che per ogni naturale n: 8+16+ 24+…+ 8n=4n(n+1). Sol: Sia p(n): 8+16+ 24+…+ 8n=4n(n+1). Allora p(1) è vera in quanto 8= 4(2). Verifichiamo che p(n) vera implica p(n+1) vera: p(n+1): 8+16+ 24+…+ 8n+ 8(n+1)=4(n+1)(n+1+1)= 4(n+1)(n+2). Poiché p(n) è vera , possiamo sostituire al primo membro in p(n+1) al posto di 8+16+ 24+…+ 8n ,4n(n+1). Pertanto al primo me mbro otteniamo 4n(n+1)+8(n+1)= (n+1)(4n+8)=4(n+1)(n+2) che coincide con il secondo membro , pertanto p(n+1) è vera, da cui ne segue che p(n) è vera per ogni n in N.
- a)Supponiamo che per un sistema crittografico RSA, un utente abbia scelto come chiave pubblica la coppia ( n,e)= ( 123,7). Determinare la chiave segreta d. ( d è la soluzione della congruenza lineare 7x 1 ( mod φ(123) ), dove φ è la funzione di Eulero. Se 123= p·q con p,q primi, φ(123)= (p - 1)(q-1) ); Sol: 123= 41· 3, pertanto φ(123)= 40 · 2= 80. Per determinare d bisogna risolvere la congruenza lineare 7x1 ( mod 80 ) che equivale a risolvere l’equazione diofantea:7x+80y=1(). Tale equazione* ha soluzioni intere in quanto MCD(80,7)=1/1. Per risolvere l’equazione (), applichiamo l’algoritm* o euclideo delle divisioni successive a 80 e 7 ottenendo: 80=7· 11+ 7= 3· 2+ 3= 1· 3+0 da cui ricavando i resti si ha: 3=80-7· 11 1=7-3· 2
Pertanto 1=7-3· 2= 7-(80-7· 11)2=7-2·80+22·7= 23·7 - 2·80. Se confrontiamo 1= 23·7 - 2·80 con la (*) otteniamo che x=23, in definitiva la chiave segreta d= x= 23. 3 .b) Qual’e’ il legame tra φ(123) e U(Z 123 )= insieme di tutti gli invertibili di Z 123? Sol: φ(123) è la cardinalità dell’insieme U(Z 123 ). In sostanza il numero degli elementi invertibili in Z 123 è 80= φ(123). COMPITO 4 1.Si dimostri, usando il principio di induzione , che per ogni naturale n: 1+3+ 3^2 +…+ 3 n=(3n+1-1)/ Sol: Sia p(n): 1+3+ 3^2 +…+ 3 n= (3n+1-1)/2. Allora p(0) è vera , infatti: 30 =1=(30+1-1)/2=1. Dimostriamo che p(n) vera implica p(n+1) vera. p(n+1): 1+3+ 3^2 +…+ 3 n+3n+1=(3n+1+1-1)/2 =(3n+2-1)/2. Poiché p(n) è vera , sostituiamo a primo membro di p(n+1), 1+3+ 3 2 +…+ 3 n con ( n+
- 1)/ ottenendo: (3n+1-1)/2+3n+1^ = (3n+1- 1+ 2∙ 3 n+1)/2 = (3·3n+1^ - 1)/2 = ( 3 n+2-1)/2 che è proprio il 2° membro di p(n+1). Pertanto p(n+1) è vera e p(n) è vera per ogni n in N.
- Dire se Z 1491 è un campo (giustificare la risposta). Determinare (nel caso siano invertibili) le classi inverse delle seguenti classi : [21], [14], [5]. Sol: Zn è un campo se n è primo. Nel nostro caso n=1491= 71·7·3 non è primo, pertanto Z 1491 non è un campo. 21= 3·7 non è coprimo con 1491, quindi [21] non è invertibile in Z 1491 come anche [14]. L’unica classe inver tibile è [5]. Per trovare la sua inversa si deve risolvere la congruenza : 5x1( mod 1491); dalla 1491=5·298+1 si deduce 1=1491+5(-298) che ci dice che la classe inversa della classe [5] è la classe [-298] che coincide con la classe [1193].
- a)Supponiamo che per un sistema crittografico RSA, un utente abbia scelto come chiave pubblica la coppia (n, e)= (77, 19). Determinare la chiave segreta d. ( d è la soluzione della congruenza lineare 19x 1 ( mod φ(77) ), dove φ è la funzione di Eulero. Se 77= p·q con p,q primi, φ(77)= (p - 1)(q-1) ); Sol: 77= 11· 7, pertanto φ(77)= 10 · 6= 6 0. Per determinare d bisogna risolvere la congruenza lineare 19x1 ( mod 6 0 ) che equivale a risolvere l’equazione diofante a:19x+60y=1(*). Tale equazione ha soluzioni intere in
COMPITO 5
- Sia A un insieme con 8 elementi e sia P(A)= {X: X A }, l’insieme delle parti di A. Determinare: i) A ∩ P(A) ii) la cardinalità di P(A). iii) Quanti sono i possibili sottoinsiemi di A con 4 elementi? E con 5 elementi? Sol: i) A ∩ P(A) = ( insieme vuoto) ii) la cardinalità di P(A)= 2 8 = 256 iii) I possibili sottoinsiemi di A con 4 elementi sono tanti quante sono le combinazioni di 8 elementi di classe 4: dalla formula del coefficiente binomiale : n!/ k! (n-k)! otteniamo: 8! / 4! ( 8-4)! = 70 ; in modo analogo si ottiene il numero dei sottoinsiemi di A con 5 elementi : 8! / 5! ( 8-5)! = 56.
- Sia Fn la successione dei numeri di Fibonacci, con F 0 =0, F 1 =1, Fn=Fn- 1 +Fn- 2 per n>1. Si dimostri, usando il principio di induzione , che per ogni naturale n: F 2 +F 4 +F 6 + … +F 2n = F2n+1 - 1. Sol: Sia p(n) : F 2 +F 4 +F 6 + … +F 2n = F2n+1 - 1. Allora p(0) è vera in quanto F 0 = F 1 - 1. Dimostriamo che p(n) vera implica p(n+1) vera: Sia F 2 +F 4 +F 6 + … +F 2n + F 2 (n+1) ; poiché per l’ipotesi d’induzione p(n) è vera possiamo sostituire a F 2 +F 4 +F 6 + … +F 2n , F2n+1 - 1 ottenendo: F 2 +F 4 +F 6 + … +F 2n + F2(n+1) = F2n+1 - 1 + F2n+2. Poiché F 2 n+3 =F2n+2 + F 2 n+1 abbiamo: F 2 +F 4 +F 6 + … +F 2n + F2(n+1) = F2n+3 - 1 che è proprio p(n+1). Poiché p(n+1) è vera , allora p(n) è vera per ogni n. 3.a) Quanti sono gli elementi invertibili in Z 187? Dire se le seguenti classi sono invertibili in Z 187 : [121], [34], [5]. b) Supponiamo che per un sistema crittografico RSA, un utente abbia scelto come chiave pubblica la coppia ( n, e)= ( 187, 7). Determinare la chiave segreta d ( d è la soluzione della congruenza lineare 7x 1 ( mod φ(187) ), dove φ è la funzione di Eulero. Se 187= p·q con p , q primi, φ(187)= (p - 1)(q-1) ) Sol: a) il numero degli elementi invertibili in Z 187 è uguale a φ(187), dove φ è la funzione di Eulero. Poiché 187= 11·17 , φ(187)= (11 - 1) (17-1) =. Poiché MCD(121, 187)=1 1≠ 1, la classe [121] n on è invertibile e così anche la classe [34] non è invertibile in quanto MCD(34, 187)=17. Invece la classe [5] è invertibile in quanto : MCD(5, 187) = 1. b) per determinare la chiave segreta d si deve risolvere la congruenza lineare : 7x 1 ( mod φ(187) )→ 7x1 ( mod 160 )
che equivale a risolvere l’equazione diofantea :7x+ 1 60y=1 (). Tale equazione ha soluzioni intere in quanto MCD(160, 7 )=1/1. Per risolvere l’equazione (), applichiamo l’algoritmo euclideo delle divisioni successive a 160 e 7 ottenendo: 160=7·22+ 7= 6· 1+ 6 = 1· 6+ da cui ricavando i resti e ponendo 160= a e 7= b otteniamo: 6 = a- 22 b 1=7- 6 = b - (a-22b) = - a + 23b, da cui sostituendo ad a=160 e a b= otteniamo: 1= - 160 + 23 · 7. Dal confronto con la (*) otteniamo x = 23, in definitiva la chiave segreta d= x= 23. COMPITO 6
- Si dimostri, usando il principio di induzione , che per ogni naturale n: 2 2n^ 1 ( mod 3). Sol: Indichiamo con p(n) : 2 2n^ 1 ( mod 3) per ogni n ≥0. Allora: p(0) è vera , infatti: 20 1 ( mod 3). Dimostriamo che p(n) vera implica p(n+1) vera. Calcoliamo p(n+1): 2 2(n+1)^ 1 ( mod 3). A primo membro abbiamo: 2 2(n+1) = 2 2n ∙ 2 2 . Poiché per l’ipotesi d’induzione, p(n) : 2 2n 1 ( mod 3) è vera , 2 2n^ = 1 + h∙3 ; sostituendo nel primo membro di p(n+1) , otteniamo: 2 2(n+1)= 2 2n ∙2^2 = ( 1 + h∙3)∙ 22 =2^2 + (h∙3) 22 Poiché 22 + (h∙3) 22 - 1 = 3+ (h∙3) 22 è un multiplo di 3 , è verificato che : 2 2(n+1)^ =( 22 + (h∙3) 22 ) 1 ( mod 3) , cioè p(n+1) è vera, pertanto p(n) è vera
per ogni n N.
- Si consideri l’anello (Z n ,+, · ), dove n≡ 221 (mod 15). i) Dire se si tratta di un campo. ii) Determinare , se esiste , l’inversa della classe [4]. Sol: i) Poiché 221=15∙14+11 , n≡221 (mod 15)→ n=11 ( mod 15) ed essendo 11 numero primo, Z 11 è un campo ; ii) ogni elemento non nullo di Z 11 è invertibile, allora esiste [4]-^1 che si ottiene risolvendo la congruenza lineare: 4 x1 ( mod 11 ) : la soluzione cercata è : [x]=[3]= [4]-^1
Sol: Indichiamo con p(n) : 33 n^ 1 ( mod 13) per ogni n ≥0. Allora: p(0) è vera , infatti: 30 1 ( mod 1 3). Dimostriamo che p(n) vera implica p(n+1) vera. Calcoliamo p(n+1): 33 (n+1)^ 1 ( mod 1 3). A primo membro abbiamo: 33 (n+1)= 33 n ∙ 33. Poiché, per l’ipotesi d’induzione, p(n) : 33 n^ 1 ( mod 1 3) è vera , e 33 =271 ( mod 13) è vera , essendo 27- 1=26= 2∙13 , per le proprietà delle congruenze otteniamo: 3 3n^ 1 ( mod 13) 33 =27 1 ( mod 13) → 3 3n ∙ 3^3 1 ( mod 13) → 3 3(n+1)^ 1 ( mod 13) , per cui p(n+1) è vera e quindi p(n) è vera per ogni n.
- Si conside ri l’anello (Z 1568 , +, · ) : i) dire se si tratta di un campo; ii) determinare il numero delle classi invertibili di Z 1568. Sol: i) Poiché 1568= 25 ·7^2 non è primo, Z 1568 non è un campo. ii) il numero degli elementi invertibili in Z 1568 è uguale a φ(1568), dove φ è la funzione di Eulero. Poiché 1568= 25 · 72 , φ(1568)= (2^5 - 24 ) ( 72 - 7) = 16·42= 672
- Supponiamo che per un sistema crittografico RSA, un utente abbia scelto come chiave pubblica la coppia ( n, e)= ( 703, 7). Determinare la chiave segreta d ( d è la soluzione della congruenza lineare 7x 1 ( mod φ(703 ) ), dove φ è la funzion e di Eulero. Se 703= p·q con p , q primi, φ(703)= (p - 1)(q-1) ). Sol: 703= 19· 37, pertanto φ(703)= 18 · 36= 648. Per determinare d bisogna risolvere la congruenza lineare 7x1 ( mod 648 ) che equivale a risolvere l’equazione dio fantea:7x+648y=1(). Tale equazione ha soluzioni intere in quanto MCD(648, 7)=1/1. Per risolvere l’equazione (), applichiamo l’algoritmo euclide o delle divisioni successive a 648 e 7 ottenendo: 648=7· 92 + 7 = 4· 1+ 3 4= 3· 1+ 1 3= 1· 3+ 0 da cui ricavando i resti e ponendo 648= a e 7= b otteniamo: 4 = 648 - 92 · 7 = a - 92 b 3 = 7 - 4 = b - (a-92b) = - a+93b
1= 4 - 3 =a-92b - (-a+93b) = 2 a - 185 b =2· 648 + (- 185)∙ 7. Dal confronto di : 1=2· 648 + (- 185)∙ 7 con la (*) otteniamo x = - 185. Considerando che : 648= 463+185 e che ragionando mod 648 → 0=463+185 → 463 = - 185 , ne segue che la chiave segreta d= x= 463 ( mod 648). COMPITO 8 1.a) Sia Fnla successione dei numeri di Fibonacci, con: F 0 =0, F 1 =1, Fn=Fn- 1 +Fn- 2 , per n>1. Determinare F, l’insieme dei num eri di Fibonacci x tali che: 50 00<x<11000. Calcolare F ∩ A dove A= {2, 3, 5, 7, 11,…} = l’insieme dei numeri primi e calcolare P(F), l’insieme delle parti di F. b) Provare per induzione su n che per ogni nN vale la seguente formula : p(n) : 1+7+7^2 +7^3 +…+7 n^ = ( 7 n+1^ - 1) /. c) Calcolare 2021^3203 (mod 1000). Sol: a) Poiché Fn =0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,4181, 6765,10946,… }, l’insieme F è dato dall’insieme {6765, 10946 }. Poiché 6765 e 10946 non sono numeri primi, si ha che: F ∩ A = . L’insieme delle parti di F , cioè l’insieme di tutti i sottoinsiemi di F è: P(F) ={ , F, {6765}, { 10946} }. b) Si dimostri, usando il principio di induzione , che per ogni naturale n: 1+7+ 7^2 +…+ 7 n=(7n+1-1)/ Sol: Sia p(n): 1+7+ 7^2 +…+ 7 n= (7n+1-1)/6. Allora p(0) è vera , infatti: 70 =1=(70+1-1)/6=1. Dimostriamo che p(n) vera implica p(n+1) vera. p(n+1): 1+7+ 7^2 +…+ 7 n+7n+1=(7n+1+1-1)/6 =(7n+2-1)/6. Poiché p(n) è vera , sostituiamo a primo membro di p(n+1), 1+7+ 7^2 +…+ 7 n^ con (7n+1-1)/ ottenendo: (7n+1-1)/6 + 7 n+1^ = ( 7 n+1-1+ 6 ∙ 7 n+1)/6 = (7·7n+1^ - 1)/6 = ( 7 n+2-1)/6 che è proprio il 2° membro di p(n+1). Pertanto p(n+1) è vera e p(n) è vera per ogni n N. c) per calcolare 20213203 (mod 1000) , essendo 2021 > 1000, si deve prima ridurre la base (=2021) mod (1000). Per ridurre la base di deve dividere 2021 per 1000 : 2021= 1000 · 2+21 → 2021 - 21 = 1000 · 2 → 2021 21 ( mod 1000). Per la proprietà delle congruenze che afferma che se
anche la classe [4] è un divisore dello zero. Infatti [4] ≠ [0] ed esiste una classe non nulla , la classe [16], tale che : [4] ·[16] =[64]=[0]
- Alice vuole inviare a Bob il messaggio m= 117 con il sistema crittografico RSA. Alice utilizza come chiave pubblica la coppia (n, e) = ( 1003, 3). a)Quale sarà il messaggio in codice che Bob riceverà? ( si deve calcolare c = me^ (mod 1003) ) b) Determinare la chiave segreta d ( d è la soluzione della congruenza lineare 3x 1 ( mod φ(1003) ) , dove φ è la funzion e di Eulero); c) come farà Bob a decodificare il messaggio? ( scrivere la formula che utilizzerà Bob senza effettuare i calcoli). Sol: a)Bob riceverà il messaggio : c = me^ (mod 1003) → c= 117^3 ( mod 1003). Si deve pertanto calcolare 117^3 ( mod 1003) ; 1173 =1601613 = 1596 ∙1003 + 825 → 1173 825 ( mod 1003) → c= 825 ( mod 1003) = messaggio che riceverà Bob. b) Poiché 1003 = 17· 59 → φ(1003 ) = 16 ∙ 58 =. Per determinare d bisogna risolvere la congruenza lineare 3x1 ( mod 928) che equivale a risolvere l’equazione dio fantea:3x+ 928y=1(). Tale equazione ha soluzioni intere in quanto MCD( 928, 3) =1/1. Per risolvere l’equazione (), applichiamo l’algoritmo euclide o delle divisioni successive a 928 e 3 , ottenendo: 928=3· 309 + 3= 3 ∙1 + → 1 = 928 - 3 ∙ 309 → 3 ( - 309) 1 ( mod 928) → x = - 309 → [d] = [-309]= [n - 309] = [619 ]. La chiave segreta è d = 619. c) Per decodificare il messaggio , Bob deve calcolare cd= 825 619 ( mod 1003). COMPITO 9
- Sia A un insieme con 10 elementi e sia P(A)= {X: X^ A }, l’insieme delle parti di A. Determinare: i) quanti sono i possibili sottoinsiemi di A con 2 elementi? E con 5 elementi? ( utilizzare i coefficienti binomiali) ; ii ) la cardinalità dell’insieme: P(A) – {{a,b}: a,b A, a ≠ b}.
Sol: i) I possibili sottoinsiemi di A con 2 elementi sono tanti quante sono le combinazioni di 10 elementi di classe 2: dalla formula del coefficiente binomiale : n!/ k! (n-k)! otteniamo: 10! / 2! ( 10-2)! = 45; in modo analogo si ottiene il numero dei sottoinsiemi di A con 5 elementi : 10! / 5! ( 10-5)! = 252. ii) |P(A)| = 210 = 1024. La cardinalità dell’insieme {{a,b}: a,b A, a ≠ b} = 45: è infatti uguale al numero di tutti i possibili sottoinsiemi di A con 2 elementi ed è stata calcolata nel punto i). In definitiva | P(A) – {{a,b}: a,b A, a ≠ b} | = | P(A) | – |{{a,b}: a,b A, a ≠ b}|=1024 - 45 =979.
- Si consideri l’anello (Z 2821 ,+, · ) : a) dire se si tratta di un campo; b) determinare il numero delle classi invertibili Z 2821 ; c) determinare il numero dei divisori dello zero; d) dire se le classi [49], [62] e [5] sono invertibili in Z 2821. Nel caso di risposta affermativa determinare la classe inversa. Sol: a) Zn è un campo se n è primo. Nel nostro caso n = 2821 = 31·13 ·7 non è primo, quindi Z 2821 non è un campo. b) Il numero delle classi invertibili in Z 2821 è uguale a φ(2821 ), dove φ è la funzione di Eulero. Poiché 2821 = 31·13 ·7 , φ(2821 )= (31-1) (13-1) (7-1) =30·12·6 = 2160, quindi esistono 1176 classi invertibili in Z 1247. c) Ogni classe non nulla di Z 2821 o è invertibile oppure è un divisore dello zero. Pertanto il numero dei divisori dello zero di Z 2821 si ottiene sottraendo dalla cardinalità di Z 2821 il numero delle classi invertibili e la classe nulla. In definitiva il numero dei divisori dello zeri è dato da: 2821 - φ(2821) - 1= 2821- 2160 - 1 = 660. d) 49= 7· 7 e 62 = 2· 31 non sono coprimi con 2821 = 31·13 ·7, quindi [49] e [62] non sono classi invertibili in Z 2821. Poiché MCD(5, 2821)=1, allora la classe [5] è invertibile. Per determinare la classe inversa di 6 : [x] =[5]-^1 , bisogna risolvere la congruenza lineare: 5 x1 (mod 2821 ) o l’equivalente equazione diofantea: 5x+2821y= 1. Tale equazione ha soluzione in quanto MCD(5, 2821)/1. Per risolverla , applichiamo l’algoritmo euclideo d elle divisioni successive a 2821 e 5 , ottenendo: 2821 = 5 · 564+ da cui ricavando i resti: 1= 2821 - 5· 564 Dal confronto con l’equazione diofantea : 5x+2821y= 1 otteniamo che x= - 564 , pertanto :
- Alice vuole inviare a Bob un messaggio con il sistema crittografico RSA. Alice utilizza come chiave pubblica la coppia ( n, e)= ( 341, 133). Determinare la chiave segreta d. Sol: la chiave segreta d è la soluzione della congruenza lineare 133 x 1 ( mod φ(341) ) , dove φ è la funzion e di Eulero ;poiché n=341=11· 31, φ(341)=(11 - 1) (31-1)= 10 · 30= 300. Risolvere la congruenza lineare : 133 x 1 ( mod 300 ) equivale a risolvere l’equazione dio fantea: 133x+ 300y=1(). Tale equazione ha soluzioni intere in quanto: MCD( 300, 13 3) =1/1. Per risolvere l’equazione (), applichiamo l’algoritmo euclide o delle divisioni successive a 300 e 13 3 , ottenendo: 300 = 13 3· 2 + 133 = 34 ∙3 + 34 = 31 ∙1 + 31 = 3 ∙10 + da cui ricavando i resti e ponendo 300 = a e 133 = b otteniamo: 34= a - 2b 31= 133 - 3· 34 = b – 3(a-2b) = - 3a+ 7b 3= 34 - 31 = a-2b – (-3a+7b) = 4a - 9b 1= 31 - 10· 3 = - 3a+7b - 10(4a - 9 b) = - 3 a+ 7 b + (- 40 a+ 90 b)= - 43 a+ 97 b. Poiché: 300 = a e 133 = b, sostituendo, otteniamo: 1 = - 43 · 300 + 97 · 133 e dal confronto con la (*): 1= 133x+ 300y , si deduce che x= d = 97 : la chiave segreta è d = 97. COMPITO 1 0
1. Sia Fn la successione dei numeri di Fibonacci, con: F 0 =0, F 1 =1, Fn=Fn- 1 +Fn- 2 , per n>1. Determinare F, l’insieme dei numeri di Fibonacci dispari con 3 cifre. Calcolare : i) P(F) , l’insieme delle parti di F; ii) F∩P dove P= {2,3,5,7,11,…} = l’insieme dei numeri primi.
Sol: F = {2 33 , 3 77, 987} ; i) P(F) ={ , F, {233}, { 377}, { 987}, { 233, 377}, { 233, 987}, { 377, 987} }. ii) 233 è primo mentre 377= 13∙ 29 e 987 = 3∙ 7 ∙ 47 non sono primi per cui risulta: F∩P = {2 33 }.
2. Si consideri l’anello (Z 36 ,+, · ) : a) dire se si tratta di un dominio d’integrità; b) determinare quante e quali sono le classi invertibili di Z 36 ; c) determinare il numero dei divisori dello zero. Sol: a) Zn è un dominio d’integrità se non ha divisori dello zero. Nel nostro caso n = 36 e [4]e [9] sono divisori dello zero in Z 36 , in quanto sono 2 classi non nulle il cui prodotto mi dà classe [0] : [4][9]= [36]=[0]. Poiché in Z 36 ci sono divisori dello zero, Z 36 non può essere un dominio d’integrità. b) Il numero delle classi invertibili in Z 36 è uguale a φ(36 ), dove φ è la funzione di Eulero. Poiché 36 = 22 · 32 , φ(36 )= (2^2 - 2) (3^2 - 3) = 2·6 = 12, quindi esistono 12 classi invertibili in Z 36. Le classi invertibili sono tutte quelle che hanno il rappresentante più piccolo di 36 e primo con 36 e precisamente: [1], [5], [7], [11], [13], [17], [19], [23], [25], [29], [31], [35]. c) Ogni classe non nulla di Z 36 o è invertibile oppure è un divisore dello zero. Pertanto il numero dei divisori dello zero di Z 36 si ottiene sottraendo dalla cardinalità di Z 36 il numero delle classi invertibili e la classe nulla. In definitiva il numero dei divisori dello zeri è dato da: 36 - φ(36) - 1= 36 - 12 - 1 = 23. Esistono 23 divisori dello zero in Z 36. 3. Determinare la classe [ 542876325 ] in Z 7 e la sua opposta. Sol: Essendo 542876 > 7, si deve prima ridurre la base (= 542876) mod (7). Per ridurre la base di deve dividere 542876 per 7 : 542876 = 7· 7755 3 + 5 → 542876 - 5 = 7 · 77553 → 542876 5 ( mod 7 ). Per la proprietà delle congruenze che afferma che se:
a b (mod n) → a i^ bi^ (mod n), per ogni i N, ponendo: a= 542876, b= 5 , i=
325, n= 7 , otteniamo che : 542876 5 ( mod 7 ) → 542876^325 5325 (mod 7). Pertanto calcolare 542876 325 ( mod 7) equivale a calcolare 5325 ( mod 7). Poiché 7 è primo e MCD(5, 7) =1, possiamo applicare teorema di Eulero , ottenendo che : 5 φ(7 )^ 1 ( mod 7) → 5 6 1 ( mod 7). Per calcolare 5325 (mod 7 ) , d obbiamo dividere l’esponente 325 per 6 , ottenendo : 325 =6 ∙ 54 + 1, pertanto : 5325 = 5 (6 ∙ 54^ + 1)=(5 6 )^54 ∙ 5. Poiché 5 6 1 ( mod 7) → (5 6 )^54 154 1 ( mod 7 )
COMPITO 1 1 1 .Sia Fn la successione dei numeri di Fibonacci, con F 0 =0, F 1 =1, Fn=Fn- 1 +Fn- 2 , per n>1. Siano A= Fn : 10< Fn <100 e P(A), l’insieme delle parti di A. Determinare: i) gli elementi di A; la cardinalità di A e di P(A)-{ , A }. ii) il numero Bn di tutte le partizioni di A , dove n = la cardinalità di A: A tal fine, utilizzare la seguente formula dei numeri di Bell : con B 0 = B 1 = 1 , B 2 = 2 , B 3 = 5 , B 4 = 15. Sol: i) A={13, 21, 34, 55, 89} , |A|= 5 , |P(A) - { , A}|= |P(A)|- |{ , A}|= 2^5 - 2 =. ii) Nella formula compatta dei numeri di Bell , n rappresenta la cardinalità dell’insieme A che è 5. Ponendo nella formula n=5 si deve esplicitare la somma per k variabile da 0 a n-1=5-1=4. Dopo aver calcolato i coefficienti binomiali si ottiene : B 5 = 1 ∙B 0 + 4·B 1 +6∙ B 2 + 4·B 3 +1∙ B 4 = 1+4+6 ∙2+ 4∙ 5+15 =52 ; pertanto esistono 52 partizioni di A. 2. Si consideri l’anello (Z 2444 , +, · ) : a) dire se si tratta di un campo; b) determinare il numero delle classi invertibili di Z 2444 ; c) determinare il numero dei divisori dello zero; d) dire se le classi [26] e [17] sono invertibili in Z 2444. Nel caso di risposta affermativa determinare la classe inversa. Sol: a) Zn è un campo se n è primo. Nel nostro caso n =2444 = 22 ·13 ·47 non è primo, quindi Z 2444 non è un campo.
b) Il numero delle classi invertibili in Z 2444 è uguale a φ(2444), dove φ è la funzione di Eulero. Poiché 2444 = 22 ·13 ·47 , φ(2444)= (2^2 - 2) (13-1) (47-1) = 2·12·46 = 1104, quindi esistono 1104 classi invertibili in Z 2444. c) Ogni classe non nulla di Z 2444 o è invertibile oppure è un divisore dello zero. Pertanto il numero dei divisori dello zero di Z 2444 si ottiene sottraendo dalla cardinalità di Z 2444 il numero delle classi invertibili e la classe nulla. In definitiva il numero dei divisori dello zeri è dato da: 2444 - φ(2444) - 1= 2444- 1104 - 1 = 1339 d) 26= 2· 13 non è coprimo con 2444 = 22 ·13 ·47, quindi [26] non è invertibile in Z 2444. Poiché MCD(17, 2444)=1, allora la classe [17] è invertibile. Per determinare la classe inversa di 17 : [x] =[17]-^1 , bisogna risolvere la congruenza lineare: 17x 1 (mod 2444) o l’equivalente equazione diofantea: 17x+2444y= 1. Tale equazione ha soluzione in quanto MCD(17, 2444)/1. Per risolverla , applichiamo l’algoritmo euclideo delle divisioni successive a 2444 e 17 , ottenendo: 2444 = 17 · 143 + 17 = 13 · 1+ 13 = 4 · 3 + 1 da cui ricavando i resti e sostituendo a 2444= a e a 17=b otteniamo: 13 = 2444 - 17· 143 = a-143b 4= 17 – 13 = b – (a - 143 b) = - a+144b 1= 13 - 3· 4 = a - 143 b - 3 (-a+ 144 b) = 4a - 575b da cui segue: 4 ∙244 4 - 575 ·17= Dal confronto con l’equazione diofantea : 17 x+2444 y= 1 otteniamo che x = - 575 , pertanto : [17]-^1 =[x]=[- 575]= [ 2444-575] = [1869].
- Determinare il resto della divisione per 97 di 1 547193. Sol: Per determinare il resto della divisione per 97 di 1 547193 si deve calcolare 1547193 (mod 97) ; essendo 1547> 97, si deve prima ridurre la base (= 1547) mod (97). Per ridurre la base di deve dividere 1547 per 97 : 1547 = 97·15 + 92 → 1547 - 92 = 97 · 15 → 1547 92 ( mod 97). Per la proprietà delle congruenze che afferma che se:
a b (mod n) → a i^ bi^ (mod n), per ogni i N, ponendo: a= 1547, b=92 , i=
193, n= 97 , otteniamo che : 1547 92 ( mod 97) → 1547^193 92193 (mod 97).
