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DEFINIZIONE DI DERIVATA E SUO SIGNIFICATO GEOMETRICO
Sia f(x) una funzione definita in tutto l'asse reale o in uno o più intervalli aperti.
Siano x 0 e x = x 0 + h due punti del dominio della funzione, che supponiamo definita
anche su tutti i punti dell'intervallo da essi individuata.
La differenza
∆ x = x—x 0 = (x 0 + h) - x 0 = h
si dice incremento della variabile indipendente x al passaggio dal valore x 0 al
valore x 0 + h.
La differenza
∆ y = ∆ f = f (x) - f(x 0 ) = f (x 0 + h) - f(x 0 )
si dice incremento della variabile dipendente y o della funzione f relativo
all'incremento h e al punto x 0.
II rapporto
∆y ∆f f(x)- f(x 0 ) f(x 0 +h) – f(x 0 )
________ = _______ = _________ = _________
∆ x ∆ x x—x 0 h
prende il nome di rapporto incrementale della funzione relativo al punto Xo e
all'incremento h.
Osservando la figura e ricordando che il coefficiente angolare della retta passante per
i punti P 0 (x 0 ; f(x 0 )) e P (x 0 + h; f(x 0 + h)) è
f(x 0 + h)-f(xo) m = _____________ h
possiamo affermare che il rapporto incrementale della funzione f relativo al punto x 0
e all'incremento h è il coefficiente angolare della retta passante per i punti P 0 (x 0 ;
f(x 0 )) e P (x 0 + h; f(x 0 + h))
Fissato x 0 , il rapporto incrementale varia al variare di h che pertanto risulta essere
una funzione di h.
Definizione. Una funzione f si dice derivabile nel punto x 0 se esiste ed e finito il
f(x 0 +h) - f(x 0 )
limh->0 ----------------- h
il valore di tale limite si chiama derivata della funzione f nel punto x 0.
Significato geometrico del teorema di Rolle Il grafico di una funzione continua e derivabile è dotato in ogni punto di tangente; se i punti estremi hanno la stessa ordinata, cioè f ( a ) = f ( b ) , allora esiste almeno un punto P (x 0 ; f (x 0 )) del grafico in cui la tangente è parallela all'asse x :
Teorema di Cauchy Siano f e g due funzioni continue nell'intervallo chiuso e limitato [a, b ] , derivabili in ogni punto interno a tale intervallo, e sia inoltre g ' ( x ) ≠ 0 V x € ]a, b [. Esiste, allora, almeno un punto x 0 € ]a, b [ tale che f ( b ) - f ( a ) = f ' ( x 0 ) g ( b ) — g ( a ) g'(x 0 ) Dimostrazione. Osserviamo, per prima cosa, che certamente g(b) ≠ g(a), perché, se fosse g (b ) = g (a), la funzione g verificherebbe in [a, b ] le ipotesi del teorema di Rolle; esistereb be quindi almeno un punto x € ]a, b[ tale che g' (x) = 0, contro l'ipotesi che g' (x ) ≠ 0 V x € ]a, b[. Consideriamo la funzione F così definita: F(x) = [g(b)-g(a)]f(x)-[f(b)-f(a)]g(x). Essendo F una combinazione lineare di due funzioni f e g continue in [a, b ] e derivabili in ]a, b[, è essa stessa continua in [a, b] e derivabile in ]a, b[. Inoltre si avrà: F(a) = F(b). Pertanto la funzione F verifica in [a, b] le ipotesi del teorema di Rolle; esiste perciò almeno un punto Xo € ]a, b[ in cui F' (x 0 ) = 0. Poiché F'(x) = [g(b)-g(a)]f'(x)-[f(b)-f(a)]g'(x), risulta [g(b)-g(a)]f (x 0 )-[f(b)-f(a)]g' (x 0 ) = 0, da cui si ottiene la tesi dividendo membro a membro per la quantità g' (x 0 )[g(b)—g(a)], certamente diversa da zero.
L'uguaglianza f' (x 0 )= f ( b ) - f ( a ) b—a esprime perciò il parallelismo tra la retta AB e questa tangente. Il teorema di Lagrange assicura quindi che esiste almeno un punto x 0 € ]a, b [ tale che la tangente al grafico nel punto P 0 (x 0 ;f(x 0 )) è parallela alla retta AB congiungente i punti A (a; f(a)) e B( (b; f(b)). In realtà i due teoremi, di Rolle e di Lagrange, hanno significati geometrici analoghi, poiché entrambi esprimono l'esistenza di qualche punto del grafico in cui la tangente è parallela alla retta passante per gli estremi A (a; f (a)) e B (b; f(b)). Se tali estremi hanno la stessa ordinata (nell'ipotesi cioè che sia f (a ) =f (b )) , la retta per A e B è orizzontale e il teorema di Rolle indica che c'è un punto x 0 in cui f' (x 0 ) = 0, cioè un punto in cui la tangente al grafico è orizzontale. Se A e B non hanno la stessa ordinata, il teorema di Lagrange afferma che c'è comunque qualche punto in cui la tangente è parallela alla retta per A e B , non più orizzontale.
