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DERIVATA
La derivata è il limite del rapporto incrementale. Il rapporto incrementale di una funzione in un punto è il rapporto tra la variazione di ordinate e la variazione di ascisse definite a partire da un incremento h. La derivata da un punto di vista geometrico indica il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa x 0 : E l’equazione della retta tangente nel punto P 0 è: Quando il valore dell’incremento h tende a 0, il punto P1 si avvicina sempre più al punto P e la retta secante tende alla retta tangente. Allora si può dire che il valore della derivata di una funzione rappresenta il coefficiente angolare della retta rs, tangente la funzione nel punto P.
Si calcola la derivata prima per poter poi individuare la crescenza e la decrescenza della funzione ed anche i massimi ed i minimi valori che può assumere. Fatta la derivata della funzione si pone maggiore di zero: nell’intervallo dove la diseguaglianza è verificata avremo che la funzione è crescente mentre dove non è verificata la funzione sarà decrescente. ES. y=x^2 - la derivata sarà y’=2x quindi porrò 2x>0 che ha soluzione x> quindi se viene fatto il grafico del segno si vedrà che: - - - - - - - - | + + + + + + + 0 Quindi da -∞ a 0 la funzione sarà decrescente (il suo grafico andrà dall’alto verso il basso) Mentre da 0 a +∞ la funzione sarà crescente (il suo grafico andrà dal basso verso il basso).
MASSIMI E MINIMI
Il massimo è il valore più grande che una funzione assume in un intervallo. Se questo intervallo è tutto il dominio , il massimo è assoluto , se è un sottoinsieme del dominio , allora il massimo è relativo. Un punto di massimo relativo sarà un punto dove la funzione smette di salire e comincia a scendere. Il minimo è il valore più piccolo che una funzione assume in un intervallo. Se questo intervallo è tutto il dominio , il minimo sarà assoluto , se è un sottoinsieme del dominio , allora il minimo è relativo. Un putno di minimo relativo sarà un punto dove la funzione smette di scendere e comincia a risalire. Per trovare i massimi e i minimi relativi di una funzione occorre: o calcolare la derivata prima della funzione; o trovare il segno della derivata, cioè mettere la derivata maggiore/uguale a 0; o i punti in cui si annulla la derivata, cioè quando è =0 sono i punti stazionari cioè i punti di massimo o di minimo; o se il segno della derivata passa da maggiore a minore allora il punto è un massimo relativo ; o se il segno della derivata passa da minore a maggiore allora il punto è un minimo relativo. Lo studio della derivata ci porta ad una conclusione: se la derivata prima è positiva e poi negativa allora la funzione avrà dei punti di massimo e di minimo. Si calcola la derivata seconda per poter poi individuare la concavità o la convessità della funzione ed anche i punti di flesso. Ponendo la derivata seconda maggiore di zero e risolvendo la disequazione avremo gli intervalli in cui la funzione rivolge la concavità verso l’alto o verso il basso ed inoltre troveremo i punti dove cambia di concavità (punti di flesso).
ESERCIZIO SUL MASSIMO
Considero la funzione y = -3x2 - 6x - 8 Calcolo la derivata prima della funzione y' = -6x - 6 Pongo la derivata uguale a zero per cercare eventuali punti estremanti -6x - 6 = 0 -6x = 6 6x = - x = - Calcolo il valore della funzione di partenza nel punto - f(-1) = -3·(-1)2 -6·(-1) - 8 = - il punto A( -1, -5) e' un punto estremante, devo vedere se e' un massimo, un minimo o un flesso Studio il segno della derivata prima -6x - 6 > 0 -6x > 6 6x < - x < - cioe' per valori minori di -1 la derivata e' positiva Faccio un grafico (costruisco la figura dal basso verso l'alto) tracciando per y' l'orizzontale e segnando il punto x=-1; prima del punto la derivata e' positiva e scrivo +, dopo il punto e' negativa e metto -. Dove y' e' positiva traccio per la y una curva verso l'alto (crescente) mentre dove y' e' negativa traccio per la y una curva verso il basso (decrescente) ricordando che dove la derivata si annulla la curva deve essere orizzontale. Queste linee mi simulano l'andamento della funzione. Cio' che ottengo e' un punto di massimo, quindi A( -1, -5) e' un punto di Massimo per la funzione data e lo indico con M( -1, -5)
ESERCIZIO SUL MINIMO
Considero la funzione y = x2 - 6x + 4 Calcolo la derivata prima della funzione y' = 2x - 6 Pongo la derivata uguale a zero per cercare eventuali punti estremanti 2x - 6 = 0 2x = 6 x = 3
Calcolo il valore della funzione di partenza nel punto 3 f(3) = 32 -6·3 + 4 = - il punto A( 3, -5) e' un punto estremante, devo vedere se e' un massimo, un minimo o un flesso Studio il segno della derivata prima 2x - 6 > 0 2x > 6 x > 3 cioe' per valori maggiori di 3 la derivata e' positiva Faccio un grafico (costruisco la figura dal basso verso l'alto) tracciando per y' l'orizzontale e segnando il punto x=3; prima del punto la derivata e' negativa e scrivo -, dopo il punto e' positiva e metto +. Dove y' e' negativa traccio per la y una curva verso il basso mentre dove y' e' positiva traccio per la y una curva verso l'alto ricordando che dove la derivata e' nulla la curva deve essere orizzontale. Queste curve mi simulano l'andamento della funzione. Cio' che ottengo e' un punto di minimo, quindi A( 3, -5) e' un punto di minimo per la funzione data e lo indico con m( 3, -5)
ESERCIZIO SUL FLESSO ORIZZONTALE
Considero la funzione y = x3 - 2 Calcolo la derivata prima della funzione y' = 3x Pongo la derivata uguale a zero per cercare eventuali punti estremanti 3x2 = 0 x = 0 Calcolo il valore della funzione di partenza nel punto 0 f(0) = 03 - 2 = - il punto A( 0, -2) e' un punto estremante, devo vedere se e' un massimo, un minimo o un flesso orizzontale Studio il segno della derivata prima 3x2 > 0 essendo un quadrato x2 e' sempre positivo cioe' la derivata e' positiva per tutti i valori eccetto 0 per cui si annulla Faccio un grafico (costruisco la figura dal basso verso l'alto) tracciando per y' l'orizzontale e segnando il punto x=0; prima del punto la derivata e' positiva e scrivo +, dopo il punto e' positiva e metto +. Dove y' e' positiva traccio per la y una curva verso l'alto ricordando che in zero (dove si annulla la derivata prima) deve essere orizzontale Queste curve mi simulano l'andamento della funzione. Cio' che ottengo e' un flesso orizzontale ascendente, quindi A( 0, -2) e' un punto di flesso ascendente per la funzione data e lo indico con f( 0, -2)
