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1. IL SIGNIFICATO DI DERIVATA
La derivata non è altro che un numero che descrive la pendenza.
Punto sulla curva: La funzione ci dice "dove siamo".
Derivata nel punto: Ci dice "quanto è ripida" la strada in quel punto preciso.
Retta Tangente: È la retta che sfiora la curva in un punto solo.
f′(x)>0 → La retta sale (pendenza positiva).
f′(x)<0 → La retta scende (pendenza negativa).
f′(x)=0 → La retta è piatta/orizzontale.
2. REGOLE DI CALCOLO (Tabella Rapida)
Suggerimento: usa i colori per distinguere la funzione dalla sua derivata.
Se vedi la funzione (f)... La derivata (f′) diventa... Esempio
Un numero solo (es. 5) 0D(10)=0
x da sola 1D(x)=1
x con esponente (xn) L'espo ne nt e sc en de e
cala di 1
D(x3)=3x2
x con un numero davanti Moltiplica il numero per
l'esponente
D(4x2)=8x
3. PROCEDURA: Trovare la Retta Tangente
Usa questa "ricetta" quando l'esercizio chiede: "Trova la tangente in x0 "
Trov a y0 : Sostituisci il numero x0 nella funzione originale f(x).
Trov a m : Fai la derivata f′(x) e sostituisci il numero x0 .
Scrivi la formula: y−y0 =m∙(x−x0 )
Semplifica: Fai i calcoli per arrivare alla forma y=mx+q.
4. PROCEDURA: Trovare Massimi e Minimi (Punti Stazionari)
Segui questa sequenza fissa per non sbagliare:
Fai la derivata prima f′(x).
Metti la derivata uguale a zero: f′(x)=0.
Risolvi l'equazione: Le soluzioni (x1 ,x2 ...) sono i tuoi Punti Stazionari.
Studia il segno: Risolvi f′(x)>0.
Dove c'è il segno +, disegna una freccia che sale ↗.
Dove c'è il segno −, disegna una freccia che scende ↘.
Risultato visivo:
Se le frecce fanno ↗⋯↘ hai un MASSIMO ∩
Se le frecce fanno ↘⋯↗ hai un MINIMO ∪
Se le frecce non cambiano (es. ↗⋯↗) hai un FLESSO ORIZZONTALE.
5. PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE (Geometria)
Questi esercizi chiedono di trovare il valore "migliore" (massimo o minimo).
STEP 1: Disegna la figura geometrica.
STEP 2: Chiama x il lato o la dimensione che non conosci.
STEP 3: Scrivi la formula di quello che devi massimizzare (es. Area A=b∙h) usando la x.
STEP 4: Fai la derivata di quella formula.
STEP 5: Trova dove la derivata è uguale a 0. Quel valore di x è la tua risposta.
