Scarica Calcolo integrale e derivata e più Formulari in PDF di Matematica solo su Docsity!
1. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
Equazioni esponenziali
Dato
a R , un'equazione esponenziale elementare si scrive come a b
x
1° caso: se b 0 l'equazione non ha soluzione
2° caso: se b > 0 e a 1 l'equazione ha una ed una sola soluzione, che vale x = (^) log a ( b )
3° caso: se b > 0 , b 1 e a = 1 l'equazione non ha soluzione
4° caso: se b = 1 e a = 1 l'equazione è soddisfatta per ogni x R
Nel caso particolare in cui l'equazione sia della forma
( ) ()
f x gx a a 1
a R , dato che le basi sono
uguali basta risolvere l'equazione f ( x )= g ( x ).
Equazioni logaritmiche
Dati 1
a R , b R e x 0 , un'equazione logaritmica elementare è della formalog a ( x )= b
ed ha una ed una sola soluzione che, per definizione di logaritmo, vale
b x = a. Se un'equazione logaritmica
si presenta nella forma log (^) a f ( x ) =log a g ( x )dove i logaritmi hanno la stessa base,
per determinare la soluzione è sufficiente risolvere il sistema
f x g x
g x
f x
Proprietà dei logaritmi
Notazioni: un logaritmo naturale, cioè in base e (numero di Nepero) lo si indica con ln mentre un
logaritmo in base 10 con Log .
log a 1 = 0 log^ a a^ ^1 a^ b
a b
log( )
Somma, prodotto e quoziente di logaritmi
log (^) a ( b 1 (^) b 2 )=log a (| b 1 |)log a (| b 2 |) log =log (| 1 |) log (| 2 |) 2
(^1) b b
b
b a (^) a a
log ( b )= n log a (| b |)
n a log (| |)
log ( )= b n
b (^) a
n a
1 2
2 1
log (^) a log a
b b
b b
log (^) a log a b b
Cambiamento di base
log log = log
c a c
b b a
log log
a b
b a
log (^) a b log (^) a c log cb
Segno del logaritmo
log (^) ax 0 x 1 se a 1 log (^) ax 0 0 x 1 se 0 a 1
log (^) ax 0 0 x 1 se a 1 log (^) ax 0 x 1 se 0 a 1
Equazioni irrazionali
Dato n N 0 , un'equazione irrazionale si scrive come n f ( x )= g ( x )
1° caso: se n è dispari, allora l'insieme di definizione D coincide con l'insieme in cui sono ben definite
f ( x ) e g ( x )
2° caso: se n è pari, allora l'insieme di definizione D coincide con l'insieme delle x R tali per cui f ( x ) e
g ( x ) risultano ben definite e inoltre f ( x ) 0, g ( x ) 0
Determinato D , si elevano ambo i membri alla pontenza n -esima, ottenendo f ( x )= g ( x )
n
L’insieme soluzione dell'equazione è l'insieme delle x appartenenti a D tali che f ( x )= g ( x )
n .
Disequazioni esponenziali
Dati 1
a R e b R , una disequazione esponenziale in forma elementare si può esprimere come
a b
x o a b
x
Caso a b
x
Se b 0 la disequazione è sempre soddisfatta
Se b 0 a 1 la disequazione è soddisfatta per x log ab
Se b 0 0 a 1 la disequazione è soddisfatta per x log ab
Caso a b
x
Se b 0 la disequazione è sempre soddisfatta
Se (^) b 0 a 1 la disequazione è soddisfatta per x log ab
Se (^) b 0 0 a 1 la disequazione è soddisfatta per x log ab
Disequazioni logaritmiche
Dati 1
a R , b R e x 0 , una disequazione esponenziale in forma elementare si può esprimere come
log a ( x ) b^ o log a ( x ) b
Caso log a ( x ) b
Se a 1 la disequazione è soddisfatta per
b x a
Se 0 a 1 la disequazione è soddisfatta per
b 0 x a
Caso log a ( x ) b
Se a 1 la disequazione è soddisfatta per
b 0 x a
Se 0 a 1 la disequazione è soddisfatta per
b x a
Disequazioni irrazionali
Dato n N 0 , una disequazione irrazionale si può scrivere in una di queste quattro forme
n (^) f ( x ) g ( x ) n (^) f ( x ) g ( x ) n (^) f ( x ) g ( x ) n (^) f ( x ) g ( x )
Caso n dispari
Le disequazioni saranno soddistatte da
n (^) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) n n^ f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
n
n (^) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) n n^ f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
n
con le restrizioni dovute agli insiemi di definizione delle funzioni f x , g x.
Caso n pari
Le disequazioni saranno soddistatte da
n f ( x ) g ( x )
f x g x
g x
g x
f x n f (^ x )^ g ( x )
n
f x g x
gx
g x
f x n
n f ( x ) g ( x )
f x g x
g x
f x
n
n f ( x ) g ( x )
f x g x
g x
f x
n
Anche in questo caso vanno considerate le restrizioni dovute agli insiemi di definizione delle funzioni
f x , g x.
Asse radicale di una circonferenza
è la retta che si ottiene imponendo t 1 nel fascio di circonferenza di equazione
1 1 1 = 0
2 2 2 2 x y ax by c tx y ax by c nel caso in cui a a 1 b b 1 , ed è perpendicolare
alla retta che congiunge i centri delle circonferenze stesse: a a 1 x b b 1 y c c 1 0
Se le due circonferenze si intersecano in A e B, punti base del fascio, l’asse radicale è la retta AB.
Se le due circonferenze sono tangenti l’asse radicale è la retta passante per T e ivi tangente ad ogni
circonferenza del fascio.
Circonferenza passante per tre punti x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3
det
2 3
2 3 3 3
2 2
2 2 2 2
2 1
2 1 1 1
2 2
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
Parabola
La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta
direttrice.
Parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y
Equazione y ax bx c
2 = con a , b , c R e a 0.
Fuoco
a
b ac
a
b F 4
2 direttrice a
b ac y 4
2
Asse di simmetria a
b x 2
= vertice
a
b ac
a
b V 4
2
Concavità:
se a 0 la parabola ha concavità verso l'alto, si dice convessa , ha minimo nel vertice;
se a 0 la parabola ha concavità verso il basso, si dice concava, ha massimo nel vertice.
Parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x
Equazione x ay by c
2 = con a , b , c R e a 0.
Fuoco
a
b
a
b ac F 2
2 direttrice a
b ac x 4
2
Asse di simmetria a
b y 2
= vertice
a
b
a
b ac V 2
2
Concavità: se a 0 concavità verso destra, se a 0 concavità verso sinistra.
Ellisse
Un'ellisse è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti
fuochi.
Equazione canonica: 2 = 1
2
2
2
b
y
a
x dove a , b > 0
Se a b l'asse focale è parallelo all'asse x , se a b l'asse focale è parallelo all'asse y.
Se a = b si ottiene l'equazione di una circonferenza con centro nell'origine e raggio a.
Equazione dell'ellisse traslata rispetto al punto( x 0 , y 0 ) = 1
2
2 0 2
2 0
b
y y
a
x x
Equazione parametrica , [0,2 ) = sin()
= cos()
0
0
t b t x
x a t x
Data un'ellisse di equazione 2 = 1
2
2
2
b
y
a
x , le coordinate dei vertici sono
Vertici: A 1 =( a ,0) A 2 (^) =( a ,0) B 1 =(0, b ) B 2 (^) =(0, b )
Asintoti: x a
b y =
Asse focale:
se a b l’asse focale è A 1 A 2 , l’asse minore è B 1 B 2
se a b l’asse focale è B 1 B 2 l'asse minore è A 1 A 2
se a > b la lunghezza dell'asse focale è 2 a
se a b la lunghezza dell'asse focale è 2 b
Fuochi
Posto = | |
2 2 c a b , le coordinate dei fuochi sono
se a b F 1 =( c ,0) F 2 (^) =( c ,0)
se a b F 1 =(0, c ) F 2 (^) =(0, c )
Eccentricità
Data un'ellisse di equazione 2
2
2
2
b
y
a
x , e posto = | |
2 2 c a b
se a b l'eccentricità vale a
c e = ,
se a b l'eccentricità vale b
c e =
Se a , b 0 , con a b , risulta 0 e 1. Se a = b , ossia per la circonferenza, risulta e = 0.
Iperbole
L'iperbole è il luogo dei punti del piano per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti
fuochi.
Iperbole con i fuochi sull'asse x e simmetrici rispetto all'origine 2 = 1
2
2
2
b
y
a
x con
(^) a , b R.
Iperbole con i fuochi sull'asse y e simmetrici rispetto all'origine 2 = 1
2
2
2 b
y
a
x
Equazione parametrica , [0,2 ) = sinh()
= cosh()
t y b t
x a t o
, [0,2 )\
cos()
cos()
sin()
t
t
b y
t
t x a
Vertici:
se 2 = 1
2
2
2
b
y
a
x i vertici sono A 1 =( a ,0) A 2 (^) =( a ,0)
se 2 = 1
2
2
2 b
y
a
x i vertici sono B 1 =(0, b ) B 2 (^) =(0, b )
Asintoti: x a
b y =
Fuochi: posto
2 2 2 c = a b
se appartenenti all’asse x hanno coordinate F 1 =( c ,0) F 2 (^) =( c ,0)
se appartenenti all’asse y hanno coordinate F 1 =(0, c ) F 2 (^) =(0, c )
Eccentricità
Se i fuochi appartengono all'asse x l'eccentricità vale a
c e =
Se i fuochi appartengono all'asse y l'eccentricità vale b
c e =.
Iperbole equilatera
Trasformazioni geometriche
Traslazioni nel piano
Y y b
X x a
=
Rotazioni nel piano di centro O in senso antiorario di un angolo
cos sin 1 0 sin cos
cos sin con = sin cos
= cos sin 2 2
Y x y
X x y
Rototraslazioni nel piano di centro C a , b in senso antiorario di un angolo
cos sin 1 0 sin cos
cos sin con = sin cos sin cos
= cos sin cos sin 2 2
Y x y b a b
X x y a a b
Affinità con 0
ad cb c d
a b
Y cx dy n
X ax by m
Similitudine diretta con 0
2 2
a b b a
a b
Y bx ay n
X ax by m
Similitudine indiretta con 0
2 2
a b b a
a b
Y bx ay n
X ax by m
Il numero
2 2 k a b è detto rapporto di similitudine.
Isometria diretta con 1
2 2
a b b a
a b
Y bx ay n
X ax by m
Isometria indiretta con 1
2 2
a b b a
a b
Y bx ay n
X ax by m
Omotetia di centro O e rapporto k 0 0
con
2
^
k k
k
Y ky
X kx
Dilatazione di centro O con 0
^
h,k Y hy
X kx
Simmetria rispetto all’asse delle ascisse
Y y
X x
Simmetria rispetto all’asse delle ordinate
Y y
X x
Simmetria rispetto alla retta y k è
Y y k
X x
2
Simmetria rispetto alla retta x h è
Y y
X x 2 h
Simmetria rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante
Y x
X y
Simmetria rispetto alla bisettrice del 2° e 4° quadrante
Y x
X y
Simmetria rispetto all’origine
Y y
X x
Simmetria rispetto al punto C a , b è
Y y b
X x a
2
3. GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA
Prima relazione fondamentale sin cos 1
2 2
Con
2 2 sin 1 cos ,cos 1 sin
Seconda k , k Z 2
cos
sin
tan
Terza , k , k Z sin
cos
cot
oppure k , k Z
tan
cot
Quarta k , k Z 2
cos
sec
Quinta , k , k Z sin
cosec
Archi associati
cos =cos sin =sin tan =tan
cos =cos sin =sin tan =tan
= sin 2
cos (^)
=cos 2
sin (^)
= cot 2
tan (^)
=sin 2
cos (^)
=cos 2
sin (^)
=cot 2
tan (^)
Formule di addizione e sottrazione
sin sincoscossin cos coscossinsin
k k Z
1 tan tan
tan tan tan
k k Z
cot cot
cot cot 1
cot
Formule per la duplicazione
sin 2 2 sincos cos 2 cos sin 1 2 sin 2 cos 1
2 2 2 2
k k k Z
1 tan
2 tan tan (^22)
k k Z
2 cot
cot 1 cot 2
2
Formule di triplicazione
sin 3 = 3 sin (^4) sin
3 cos 3 = (^4) cos 3 cos
3
k k Z
(^13) tan
3 tan tan tan 3 = 2
Formule per la bisezione
1 cos sin 2 2
1 cos
2
cos
^ k ^ k Z
1 cos
1 cos
2
tan
k k Z
1 cos
1 cos
2
cot
Formule parametriche
k k Z
1 tan
2 tan
sin 2
k k Z
1 tan
1 tan
cos 2
2
Archi notevoli
(radianti)
(gradi) sin cos tan cot
0
0 0 1 0 non esiste
15 4
18 4
2
2
90 1 0 non esiste 0
Triangolo rettangolo
b = a sin = a cos , c = a sin()= a cos
b = c tan = c cot , c = b tan = b cot
Teorema della corda
Sia R il raggio della circonferenza, e sia l'ampiezza dell'angolo alla
circonferenza sotteso dalla corda AB , allora la lunghezza di AB è
AB = 2 R sin( )
Triangolo qualsiasi
Area del triangolo
sin 2
sin = 2
sin = 2
A = ab bc ac
oppure
sin
sin sin
2
sin
sin sin
2
sin
sin sin
2
A a b c
Teorema dei seni sin
sin
sin
a b c
Teorema del coseno (o di Carnot)
= 2 cos
2 2 2 a b c bc = 2 cos
2 2 2 b a c ac = 2 cos
2 2 2 c a b ab
Teorema delle proiezioni a = b cos c cos b = a cos c cos c = a cos b cos
Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo di area A e semiperimetro p
(^)
= tan 2
= tan 2
= = tan
p a p b p c p
A
r
Raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo A
a b c abc R 4
2 sin
2 sin
2 sin
Raggio della circonferenza exinscritta tangente, rispettivamente, ai lati di misura a , b , c :
a =^ b =^ c =
A A A
r r r p a p b p c
Lunghezza della mediana relativa, rispettivamente, ai lati di misura a , b , c :
2 2 2 2 2 2
ma = b c a
2 2 2 2 2 2
mb = a c b
2 2 2 2 2 2
mc = a b c
Lunghezza della bisettrice relativa, rispettivamente, agli angoli di ampiezza , , :
b c
bc
b
2 cos
=
a c
ac
b
2 cos
=
a b
ab
b
2 cos
=
Teorema delle tangenti o di Nepero
tan
cot
tan
tan
a b
a b
Significato trigonometrico della pendenza di una retta
m coefficiente angolare della retta e misura dell’angolo tra retta e asse delle ascisse: m tan
Angolo tra due rette
m , m ' coefficienti angolari delle rette, misura dell’angolo tra le rette. Si ha
tan mm
m m
4. ANALISI
Limiti
Proprietà dei limiti
Se f x l R x x
0 1
lim ( ) = e g x l R x x
0 2
lim ( ) = , allora
f x l R x x
lim ^ ( )= 1 ,^
0
1 2 0
lim f ( x ) g ( x )^ = l l x x
1 2 0
lim f ( x ) g ( x )^ = l l x x
lim (^1) 0 1
l x x f x l
lim (^2) 2
1
0
l l
l
g x
f x
x x
Se f x l R x x
lim ( )= 0
e
lim ( )= 0
g x x x
, allora
lim ( ) ( )^ = 0
f x g x x x
lim ( ) ( )=^ 0
f x g x x x
Se
lim ( )=lim ( )= 0 0
f x g x x x x x
, allora
lim ( ) ( )^ = 0
f x g x x x
lim ( ) ( )^ = 0
f x g x x x
Se lim ( )= / 0 0
f x l R x x
e
lim ( )= 0
g x x x
, allora
lim ( ) ( )= 0 se l
se l f x g x x x
lim 0 g x
f x
x x
Se lim ( )
0
f x x x
non esiste, ma (^) f ( x )è una funzione limitata, e se lim ( )= 0 0
g x x x
, allora
lim ( ) ( )=^0 0
f x g x x x
Se lim ( )
0
f x x x
non esiste, ma f ( x )è una funzione limitata, e se
lim ( ) 0
g x x x
, allora
lim ( ) ( )^ = 0
f x g x x x
lim 0 g x
f x
x x
Tavola dei limiti notevoli
Razionali 1 1 0 1 1 0
lim^ =
se e 0; se e 0; se ; 0 se
n n n n m m x (^) m m
n n n
m m m
a x a x a
b x b x b
a a a n m n m n m n m b b b
(^)
Esponenziali e logaritmici
e x
x
x
^
lim 1
a
x
x
e x
a
lim 1
ab
bx
x
e x
a
lim 1
x e
x
x
x
lim (^)
a x x
ax e
1
0
lim 1
1
ln 1 lim 0
(^) x
x
x
/ 1 ln
log
log 1 lim 0
a R a
e x
x a
a x
a x
x
a
x
lim 0
ln , / 1
lim 0
a a R x
a
x
x
lim 0
(^) x
e
x
x
limlog (1, ) 0
ax^ a x
limlog 0 , 1 0
ax^ a x
lim log a^ x x
a (1,) lim log a^ x x
a 0 , 1
lim 1 0
x x
a lim 0 (1,)
a a
x x
lim 0 , 1
a a
x x
lim (1,)
a a
x x
lim 0 0 , 1
a a
x x
lim 0 , 0
x b
b x
lim x b 0 ,
b x
x (^) ax a R r R
r x
lim log 0 / 1 , 0
a r R x
x r
a x
log lim 0
a r R x
x r
a x
log lim 0
lim lim / ^1
x a= a , b R , a R
x
x
b x
x
x a a b R
x
x
b x
x
lim| | =lim^ ,
lim =lim , / ^1
a b R , a R x
a (^) x
x
b
x
x
lim =lim , / ^1
a b R , a R a
x (^) x
x
x
b
x
e x b R
x b
x
lim =^ 0,
Goniometrici e iperbolici
sin lim 0
(^) x
x
x n
m
nx
mx
x
sin lim 0
1 cos lim 0
(^) x
x
x 2
1 cos 1 lim (^2) 0
(^) x
x
x
tan lim 0
(^) x
x
x n
m
nx
mx
x
tan lim 0
arcsin lim 0
(^) x
x
x n
m
nx
mx
x
arcsin lim 0
arctan lim 0
(^) x
x
x n
m
nx
mx
x
arctan lim 0
sinh lim 0
(^) x
x
x
tanh lim 0
(^) x
x
x
sin 1 lim (^3) 0
(^) x
x x
x
tanh lim 0
(^) x
x
x
settsinh( ) lim (^0) x
x
x
setttanh( ) lim (^0) x
x
x
x x
lim tan
2
x x
lim tan
2
limarctan
x x 2
limarctan
x x
x x
lim cot 0
x x
lim cot
x x
lim arccot lim arccot 0
x x
Punti di discontinuità
Discontinuità di prima specie
Sia f : X R con X R e x (^) 0 X di accumulazione per X (a sinistra e a destra) e siano l R , l 1 R.
Derivate delle funzioni elementari
D costante 0
1
Dx x
D sin x cos x D cos x sin x
x x
D x
2 2 1 tan cos
tan x x
D x
2 2 1 cot sin
cot
D a a a
x x ln
x x D e e
x a
e x
D (^) a x a ln
log
log x
D x
ln
D sinh x cosh x D cosh x sinh x
x
D x 2 cosh
tanh x
D x 2 sinh
coth
2 1
settsinh( ) x
D x
1
settcosh( ) 2
x
D x
(^2) 1
setttanh( ) x
D x
(^2) 1
settcoth( ) x
D x
2 1
arcsin x
D x
2 1
arccos x
D x
(^2) 1
arctan x
D x
(^2) 1
arc cot x
D x
Teoremi sulle derivate
Teorema di Fermat
Condizione necessaria ma non sufficiente affinché un punto sia di massimo o minimo relativo.
Sia f : X R con X R e x (^) 0 X di accumulazione per X (a sinistra e a destra) con f derivabile in x 0 ,
allora x 0 è un punto di massimo o minimo relativo per f f ' x 0 0
Teorema di Rolle
Sia f : a , b R con f continua in a , b e derivabile in a , b tale che f a f b , allora
c a , b | f ' c 0
Significato geometrico del teorema di Rolle
Se il grafico di una funzione è dotato di tangente (cioè è derivabile) in tutti i punti interni all’intervallo a , b
ed assume lo stesso valore agli etsremi dell’intervallo, allora esiste un punto in cui la tangente è orizzontale
(la funzione ha un massimo o un minimo).
Teorema di Lagrange o del valor medio
Sia con f continua in a , b e derivabile in a , b , allora
b a
f b f a c ab f c
Significato geometrico del teorema di Lagrange
Se un arco di curva continua in a , b è dotato di tangente in tutti i punti dell’intervallo a , b esclusi al più
gli estremi, allora esiste un punto interno all’arco in cui la tangente è parallela alla corda congiungente gli
estremi dell’arco di curva.
1° Corollario del teorema di Lagrange
Sia f : a , b R
f x a,b
f x a,b
f x f x x a,b
f x a,b
f x ab
èdecrescent e
ècrescente
2 ) derivabilein
1 ) continuain ,
2° Corollario del teorema di Lagrange
Sia f : a , b R
f x a,b
f x x a,b
f x a,b
f x ab
è costante
3 ) ' 0
2 ) derivabilein
1 ) continuain ,
3° Corollario del teorema di Lagrange
Sia f : a , b R
èascissadimassimoassolutoper in a,b
èascissadiminimoassolutoper in a,b
' 0 e ' 0 ,
3 ) ' 0 e ' 0 ,
2 ) derivabilein
1 ) continuain ,
c f
c f
f x x a,c f x x cb
f x x a,c f x x cb
f x a,b
f x ab
Teorema di Cauchy o degli incrementi finiti
Siano con f : a , b R , g : a , b R continue in a , b e derivabili in a , b tali che g' x 0 x a , b ,
allora
g b g a
f b f a
g c
f c c ab
Teorema di De L’Hospital
Se f x , g x sono definite in un intorno Ix 0 del punto x 0 (finito o infinito), escluso al più il punto x 0 , se
g x
f x
x x 0
lim
si presenta nella forma indeterminata
, se g ' x 0 x Ix 0 x 0 e se esiste
g x
f x
x x '
lim 0
allora
g x
f x
gx
f x
x x x x '
lim lim 0 0
Integrali
Definizione di primitiva. Si dice che una funzione F ( x )è una primitiva di f : I R ( I è un intervallo e
f è continua) se e solo se F ( x )= f ( x )per ogni x I.
Proprietà dell'integrale
Linearità additività f x gx dx f xdx gxdx
b
a
b
a
b
a (^ ) ( ) = ( ) ( )
Omogeneità f xdx f xdx
b
a
b
a
(^) ( ) = ( ) con R
Additività rispetto all’intervallo di integrazione
f xdx f xdx g xdx
b
c
c
a
b
a
dove c a , b : a b c
Convenzione f xdx f xdx
a
b
b
a
se a b
Monotonia o teorema del confronto
Se f x g x in a , b allora f xdx g xdx
b
a
b
a (^ ) ( )
Valore assoluto f xdx f x dx
b
a
b
a (^ ) ( )
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Se f x è continua in a , b ed F x una prmitiva di f x in a , b , allora f xdx F b F a
b
a ( )
Teorema della media
Se f : a , b R è continua, allora c a , b tale che f xdx b a
f c
b
a
x xdx x x n x xdx
n n n sin( ) = cos( ) cos( )
1
ln( x^ ) dx = x ln( x ) x c
log b^ ( x^ ) dx = x log b ( x ) x log b ( e ) c e^ dx e c
x x
ln
c a
a a dx
x x
arcsin
2 2
c a
x dx a x
arctan
2 2 c a
x
a
dx a x
dx x^ c
x
=settsinh
2
arctan
2 2 c a
x
a
dx a x
dx x^ c
x
=settsinh
2
dx x c
x
=settcosh
2
x x a c
a x a
x
x^ a dx ln(| |)
2 2
2 2 2 2 2
c x a
x a
a
dx a x
ln
2 2 dx x c x
=arccos( )
2
arcsin 2
x a x c a
x a x dx a
ln
2 2
dx x x a c x a
c
x dx x
lntan sin
c
x dx x
lntan cos
c
x x xdx (^)
sin 2
2
sin
2 c
x x xdx (^)
sin 2
2
cos
2
sinh^ xdx^ cosh x c cosh^ xdx^ sinh x c
tanh cosh
2 dx x c x
coth
sinh
2 dx x c x
tanh x^ dx^ =lncosh^ x ^ c coth x^ dx^ =ln|^ sinh x |^ c
sech x^^ dx =setttanhsinh^ x ^ c ^ c
x dx (^)
cosechx =ln tanh
settsinh ^ x^ dx^ = x settsinh x^ x ^1 c
2
settcosh ^ x^ dxdx^ = x settcosh x^ x ^1 c
2
c
x x dx x x
ln 1 setttanh = setttanh
2
Integrazione per parti. Se in un intervallo f , g sono due funzioni continue con derivata continua, allora
f^ (^ x )^ g '( x ) dx = f ( x ) g ( x ) f '( x ) g ( x ) dx
Integrazione per sostituzione. Se f è una funzione continua su a , b e g una funzione invertibile e
derivabile con derivata continua su c , d , allora
^
^
d
xgt c
b
a
x gt
f xdx f gt g t dt
f xdx f gt g tdt
con c g a , d g b.
Lunghezza di una curva
Data la curva di equazione y f x con x a , b ed f x continua e derivabile in a , b , la lunghezza
dell’arco di curva grafico della funzione y f x relativamente ad a , b è
b
a
L f x dx
2 1 '
Calcolo di aree
L’area della regione di piano delinitata dal grafico di y f x e y g x e dalle rette x a , x b con
f x , g x continue in a , b e tali che f x g x x a , b è data da
b
a
A f x gx dx
Calcolo di volumi
Se (^) y f x una funzione continua in (^) a , b , il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno
all’asse delle ascisse del trapeziode delimitato dal grafico della funzione, dall’asse x e dalle rette x a , x b
è dato da
b
a
V f x dx
2
Integrali impropri
Funzioni non limitate
Se f : a , b R è continua e ^
lim f ( x )= o x b
, allora f xdx f xdx
bt
t a
b
a
( ) =lim ( ) 0
Intervalli illimitati
f xdx f xdx
f xdx f xdx
f xdx f xdx
t
t t
b
a a
b
b
a b a
( ) =lim ( )
( ) = lim ( )
( ) =lim ( )
^
Integrali notevoli
2
0
e dx
^ x
^ (integrale di Gauss) =^2
2
2
e dx
^ x
(integrale di Eulero)
2
0
dx e
x x
3 4
0
dx e
x x
sin dx x
x
4
sin
3
dx x
x
ln 2 2
lncos lnsin
2
0
2
0
x dx x dx
ln 1 2 cos 2 ln 0
2
x dx
2
cos = sin =
x^ dx x^ dx
(integrale di Fresnel)
