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dispensa sulle derivate
Tipologia: Dispense
1 / 75
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Siano
a un punto fissato interno a I
x un punto qualunque interno a I ;
relativamente al punto a, si chiamano
incremento dell’argomento la
differenza x − a ,
incremento della funzione la differenza
f ( x ) − f ( a ) ,
rapporto incrementale il rapporto
(definito per x a )
derivata di f in a il limite
x a
f x f a
x a
lim
Per indicare la derivata di f in a si
usano i simboli
f’ ( a ) , D f ( a ) ,
Derivate elementari:
D c = 0
D a
x a
x a ln
D
x e
x e
D
x a
a x ln
1 log
D
x
x
1 ln
D
1
p px
p x
3 4
4 1 4
4 Dx x x
1 1 1
0 1
1 1 1
1
Dx Dx x x
2
1 1 2 1 1
1
1
x
Dx x x
x
D
x
Dx x x
D x
2
1 / 2 1
2
1 / 2 1 1
2
1 / 2 1
D ( f g ) = D f · g + f · D g
Esempio:
ln 1
1 1 ln
ln ln
( ln )
x x
x x
Dx x xD x
D x x
In particolare: D ( c f ) = c D f
2 g
Df g f Dg
g
f D
Esempio:
6 4
2
6
3 2
3 2
3 3
3
( 1 3 ln ) 1 3 ln
ln 3
ln ln ln
x
x
x
x x
x
x x x x
x
D x x x Dx
x
x D
x
x x x
e
De e D x e
ln( 5 1 )
1 / 2
2
2 1 / 2
2
2
x x
x x
D x x
x x
D x x
Derivata seconda: D
2 f = D (D f )
D
2 c = D (D c) = D 0 = 0
D
2 e
x = D (D e
x ) = D e
x = e
x
D
2 ln x = D (D ln x ) = D (1/ x ) = − 1/ x
2
D
2 x
p = D (D x
p ) = D ( p x
p− 1 ) =
= p D x
p− 1 = p ( p −1) x
p− 2
lim
lim 0
lim
0
0
0 0
e
e
Dx
D e
x
e
x
x
x
x
x H
x
q
p
qx
px
D x
D x
x
x
q
p
x
q
p
x
H
q
p
x
1
1
1
1 1
lim
lim 0
lim
lim
ln lim
ln lim
x
Dx
D x
x
x
x
x
H
x
lim
ln lim 0
ln lim
1
1 1
x
D x
D x
x
x
x
x
H
x
H
x
x
x
x
x
x
H
H
x
x
x
e
e
D e x
D e x
e x
e x
lim
lim
lim
4
2
4
2
4
2
lim 4
2
x
x
x
H
D e
D e
x
x
x (^) e
e
4
2
4 ( 4 )
2 ( 2 ) lim
Applicando di nuovo la regola di
L’Hospital l’indeterminazione non si
eliminerebbe:
conviene invece osservare che
x x x x x e e e e
2 4 2 ( 4 ) 2 /
e quindi il limite cercato è
lim
2
e e
x
x
in a nessun contatto
a
f
g
in a contatto di ordine 0
a
f
h
