Scarica Slide derivate matematica e più Dispense in PDF di Pedagogia solo su Docsity!
Calcolo differenziale
5.1 Derivate
In molte situazioni, piu che il valore effettivo di una quantita conta quanto veloce- mente varia; ci interessa studiare la variazione di quella quantit`a nel tempo (o in funzione di una qualche altra variabile indipendente).
Esempio 5.1 Una volta messa la pentola con l’acqua della pasta sul fuoco, di solito non ci interessa sapere il valore esatto della temperatura d’ebollizione (e, tanto meno, la temperatura esatta dell’acqua uscita dal rubinetto); ci interessa sa- pere quanto velocemente l’acqua giunger`a a ebollizione. Ci interessa sapere quanto velocemente varia la temperatura dell’acqua sul fuoco — magari per verificare l’e- sattezza del detto popolare “acqua guardata non bolle mai.”
Esempio 5.2 Osservando la crescita di una colonia di batteri, e di solito ab- bastanza irrilevante sapere il numero esatto di individui della colonia; studiare 1 237 664 batteri o studiare 1 244 511 batterie di solito abbastanza equivalente. Quello che invece e importante saperee se il numero di batteri aumenta o di- minuisce, e quanto velocemente aumenta o diminuisce, e come questa variazione dipende dalle condizioni dell’esperimento (temperatura, luminosita, disponibilita di sostanze nutritive), e come questa variazione cambia nel tempo.
Esempio 5.3 La colonia di batteri del tuo assistente e fuori controllo, e sta inva- dendo l’intero laboratorio; devi intervenire con un antibiotico per uccidere i batteri di troppo. Hai giusto a disposizione un antibiotico inedito da testare, e vuoi ve- dere a quale concentrazionee piu efficace. Ordini al tuo assistente di misurare la percentuale di mortalita di batteri a seconda della concentrazione dell’antibiotico; i dati ottenuti sono poi interpolati con una funzione logistica, ottenendo il grafico di Figura 5.1. Esaminando il grafico e naturale suddividere la concentrazione in tre zone. Nella prima, di bassa concentrazione, l’antibioticoe praticamente inefficace. Nella terza,
222 Capitolo 5
Figura 5.1 Concentrazione/Mortalit`a.
di alta concentrazione, l’efficacia diventa quasi indipendente dalla concentrazione: aumentando la concentrazione la mortalita praticamente non cambia, per cui con- viene rimanere a concentrazioni piu basse senza sprecare inutilmente antibiotico. Nella zona centrale, invece, basta una piccola variazione nella concentrazione per provocare una sensibile variazione della mortalita. In questa zona, l’efficacia del- l’antibioticoe massima, nel senso che piccoli aumenti dell’antibiotico hanno effetti significativi sulla mortalita. Riflettendo un secondo sul discorso appena fatto, vedrai che la suddivisione naturale in tre zone corrisponde a una suddivisione in base alla velocita di varia- zione: nella prima e nella terza zona la velocita di variazione era chiaramente bassa, mentre la velocita di variazione era molto maggiore nella zona centrale. Un altro modo per spiegare la stessa cosa e dire che la suddivisionee legata alla pendenza del grafico: quasi orizzontale nella prima e terza zona, molto inclinato in quella centrale. Uno degli obiettivi di questo capitolo sara proprio fornire tecniche precise per misurare la “velocita di variazione” e la “pendenza” di un grafico.
Esempio 5.4 Non posso esimermi dal citare l’esempio paradigmatico di velocita di variazione: la velocita di un corpo che si muove. Misura esattamente la va- riazione di posizione del corpo; e, in diversi casi, e piu interessante conoscere la variazione di posizione piuttosto che la posizione esatta. Per esempio, gli auto- velox, indipendentemente da dove si trovano, sono interessati solo alla velocita di variazione di posizione delle auto che passano — mentre, effettivamente, gli autisti sono molto piu interessati alla posizione assoluta degli autovelox.
Esempio 5.5 In diverse situazioni puo essere utile studiare anche la variazione della variazione. L’esempio paradigmatico stavoltae fornito dalla variazione della velocita, cioe dall’accelerazione. Infatti, alla base della fisica newtoniana (e gali- leiana) c’e l’osservazione che l’azione di una forza su un corpoe misurata dalla variazione della velocita; un corpo indisturbato rimane a velocita costante. E una delle principali leggi di Newton dice esattamente che la forza `e proporzionale al- l’accelerazione: F = ma.
224 Capitolo 5
x 0 x 1
f(x 0 )
f(x 1 )
∆x
∆f
Figura 5..
Osservazione 5.1 Attenzione: non e detto che il limite (5.1) esista! In altre parole, none sempre detto che si possa calcolare la variazione istantanea. Per esempio, scriviamo
f (x) − f (x 0 ) = (x − x 0 ) · f (x) − f (x 0 ) x − x 0
Se f e derivabile in x 0 , allora per x → x 0 il secondo membro tende (perch´e?) a 0; quindi f (x) tende a f (x 0 ), cioe f e continua in x 0. In altre parole, se f none continua in x 0 allora non puo essere derivabile in x 0. Ma anche quando la funzione fe continua in x 0 il limite (5.1) e una forma indeterminata del tipo 0/0, per cui nulla ci assicura a priori che esista. Uno dei principali obiettivi di questo capitolo sara far vedere che il limite (5.1) esiste finito per tutte le funzioni elementari del bestiario; pero vedremo anche che esistono funzioni semplici (per esempio, la funzione valore assoluto; vedi l’Esempio 5.7) di cui none sempre possibile calcolare la variazione istantanea.
Se il limite (5.1) esiste finito, diremo che la funzione f e derivabile in x 0. Il valore del limite verra detto derivata di f in x 0 , e indicato o con il simbolo f ′(x 0 ) o con il simbolo dfdx (x 0 ), a seconda dei casi:
f ′(x 0 ) =
df dx
(x 0 ) = lim h→ 0
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
il quoziente f^ (x^0 +h h)− f^ (x^0 )`e detto rapporto incrementale.
Osservazione 5.2 Il concetto di derivata `e stato introdotto indipendentemente da
5.1 Derivate 225
Newton e Leibniz nel diciassettesimo secolo. La notazione f ′^ e stata introdotta da Lagrange un secolo piu tardi modificando quella originale di Newton, mentre la notazione df /dx e quella usata da Leibniz. Come vedrai, a seconda della situazione una o l’altra puo essere pi`u utile, per cui le useremo entrambe.
Osservazione 5.3 Quando diciamo che una funzione f e derivabile in un punto x 0 intendiamo che il rapporto incrementale ha limite sia per h che tende a zero da sopra, sia per h che tende a zero da sotto, e che i due limiti sono uguali. A volte capita che esista finito solo il limite per h → 0 +^ (rispettivamente, per h → 0 −); in quel caso diremo che fe derivabile a destra (rispettivamente, sinistra) in x 0 , e il valore del limite sara la derivata destra (rispettivamente, sinistra) di f in x 0. Un caso in cui siamo costretti a considerare derivate destre e sinistree quando f `e definita su un intervallo chiuso [a, b], e vogliamo considerare la derivata negli estremi dell’intervallo. Chiaramente (perch´e?), in a possiamo calcolare solo la derivata destra, mentre in b possiamo calcolare solo la derivata sinistra.
Geometricamente, l’esistenza del limite (5.1) in x 0 (o, come diremo, l’esistenza della derivata di f in x 0 ) significa che le rette secanti per x 0 e x 1 tendono a una retta limite quando x 1 tende a x 0. Questa retta si chiama retta tangente al grafico di f in x 0 , ed `e la retta di equazione
y = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) ;
la Figura 5.2 contiene anche la retta tangente al grafico di f in x 0. Supponiamo che una funzione f sia derivabile in tutti i punti di un intervallo I (e in tal caso diremo semplicemente che f e derivabile in I). Allora possiamo associare a ciascun punto x ∈ I il valore f ′(x) della derivata di f in x. In questo modo abbiamo quindi definito una nuova funzione f ′: I → R, chiamata ovviamente derivata di f — e che indicheremo anche con la notazione (^) dxdf di Leibniz. La derivata di f misura quindi la variazione istantanea di f in ogni punto di I, cioe proprio quanto ci eravamo proposti di trovare in questa sezione.
Osservazione 5.4 Attenzione: in questo testo i simboli df e dx singolarmente non avranno alcun significato^1 ; df /dx non e il quoziente delle “quantita” df e dx. La notazione di Leibniz per noi serve solo a ricordare che la derivata e il limite del quoziente ∆f /∆x al diventare ∆x arbitrariamente piccolo. Inoltre, la “x” in dfdxe semplicemente il nome scelto in quel momento per la variabile indipendente; notazioni quali (^) dydf , (^) dudf e cos`ı via indicano tutte la derivata di f , e differiscono solo nel nome dato alla variabile indipendente.
Esempio 5.6 Se la funzione f misura lo spostamento di un corpo nel tempo, allora f ′^ misura la velocita di spostamento. Se invece f misura la velocita, allora f ′ misura l’accelerazione. Se f e la quantita di carica elettrica in un punto nel tempo,
(^1) In testi di matematica piu avanzati servono a indicare oggetti particolari chiamati “forme differenziali”, che pero noi non studieremo.
5.2 Calcolo di derivate: funzioni costanti 227
immaginare che possa esistere una funzione con tutte rette tangenti orizzontali il cui grafico non sia a sua volta costante. Detto in altri termini ancora, se la variazione istantanea di una funzione e sempre nulla, la funzione non varia mai: l’annullarsi ovunque della variazione istantanea implica l’annullarsi ovunque della variazione media. Tutto cio e vero, ma per verificarlo rigorosamente serve un modo per collegare la variazione istantanea (che dipende solo da quello che avviene ar- bitrariamente vicino al punto in cui viene calcolata) alla variazione media; vedi la Curiosita 5.1.
Curiosita 5.1 Una formula che lega la variazione istantanea alla variazione media esiste, ede contenuta nel Teorema del valor medio di Lagrange. Questo teorema dice che se f : [a, b] → R e una funzione continua, derivabile in tutti i punti dell’intervallo aperto (a, b), allora per ogni coppia di punti x 0 < x 1 in [a, b] esiste (almeno) un punto x 0 < x < x 1 tale che la variazione media di f da x 0 a x 1e uguale alla variazione istantanea di f in x:
f (x 1 ) − f (x 0 ) x 1 − x 0 = f ′(x).
In altre parole, la retta secante per x 0 e x 1 e parallela ad almeno una retta tangente nel- l’intervallo (x 0 , x 1 ).E importante notare che questo teorema non ci dice come trovare x n´e quanti ce ne sono; ma fornisce comunque un importante legame fra variazione media e varia- zione istantanea. Per esempio, ci dice che se la derivata e identicamente nulla in [a, b] allora la variazione media di f in due punti qualunque dell’intervalloe sempre zero, e quindi f `e costante.
Osservazione 5.6 L’equazione df dx
e un (primo e banalissimo) esempio di equazione differenziale. Un’equazione diffe- renzialee un’equazione in cui l’incognita e una funzione, e che coinvolge anche la derivata della funzione stessa. Una caratteristica tipica delle equazioni differenzialie che la soluzione (se esiste) non `e unica, a meno di richiedere che siano soddisfatte delle condizioni aggiuntive. Per esempio, abbiamo appena visto che le soluzioni dell’equazione (5.2) sono tutte e sole le funzioni costanti:
df dx
= 0 ⇐⇒ f ≡ c.
Per individuare una soluzione unica, abbiamo bisogno di condizioni aggiuntive. Per esempio, possiamo richiedere che la soluzione cercata valga 7 (o qualsiasi altro valore c 0 ) nel punto 2 (o in qualsiasi altro punto x 0 ), cioe che f (2) = 7 (rispetti- vamente, che f (x 0 ) = c 0 ); allora l’unica soluzione che soddisfa questa condizione aggiuntivae la funzione costante f ≡ 7 (rispettivamente, f ≡ c 0 ).
228 Capitolo 5
5.3 Calcolo di derivate: funzioni lineari
Passiamo ora alle funzioni lineari. Sia f : R → R data da f (x) = mx + d una funzione lineare. Il rapporto incrementale in x ∈ R `e dato da
f (x + h) − f (x) h
m(x + h) + d − (mx + d) h
mh h
= m.
In particolare, il rapporto incrementale non dipende da h (n´e da x), e quindi chiaramente ammette limite (finito uguale a m) per h → 0. Quindi le funzioni lineari (sono derivabili e) hanno derivata costante, uguale al coefficiente angolare. Di nuovo, geometricamente questo `e un risultato ovvio. Le rette secanti del grafico di una funzione lineare coincidono tutte con la retta grafico della funzione, e quindi anche le rette tangenti devono coincidere con questa, e in particolare hanno lo stesso coefficiente angolare.
Esempio 5.7 Il conto appena fatto ci permette di verificare che la funzione valore assoluto non e derivabile in 0. Infatti il rapporto incrementale in 0e dato da
|0 + h| − | 0 | h
|h| h
+1 se h > 0 , − 1 se h < 0.
Quindi il rapporto incrementale non ha limite per h che tende a zero (il limite sinistro e diverso dal limite destro), e quindi il valore assoluto none derivabile in 0. Geometricamente, si vede bene: il grafico del valore assoluto ha un vertice nell’origine, per cui le rette secanti da sopra tendono a una retta diversa da quella a cui tendono le rette secanti da sotto.
Osservazione 5.7 La funzione lineare f (x) = mx + d e un esempio di somma di due funzioni: la funzione mx e la funzione costante d. Questo none l’unico caso; i polinomi sono somma di funzioni potenza, per esempio. Chiaramente, se fossimo in grado di calcolare la derivata della somma di due funzioni partendo dalla derivata degli addendi, potremmo semplificarci diversi conti. Fortunatamente, questo si pu`o fare, e otteniamo una formula molto semplice:
d(f + g) dx
df dx
dg dx
cioe la derivata della sommae uguale alla somma delle derivate^2. Questo fatto si verifica molto semplicemente scrivendo il rapporto incrementale:
(f + g)(x + h) − (f + g)(x) h
f (x + h) + g(x + h) −
f (x) + g(x)
h
=
f (x + h) − f (x) h
g(x + h) − g(x) h
(^2) O, piu precisamente: se f e g sono derivabili in x allora anche f + ge derivabile in x e
si ha (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
230 Capitolo 5
Anche stavolta siamo stati in grado di semplificare il rapporto incrementale in modo da poter calcolare il limite per h → 0. Infatti lim h→ 0 (2ax + ah) = 2ax, e quindi
d dx (ax^2 ) = 2ax.
Riassumendo abbiamo ottenuto la seguente formula per la derivazione delle funzioni quadratiche:
f (x) = ax^2 + bx + c =⇒ f ′(x) = 2ax + b.
Esempio 5.8 Se f (x) = 12x^2 − 7 x + 3, allora f ′(x) = 2 · 12 x − 7 = 24x − 7.
Vale la pena esaminare le relazioni fra il comportamento di una funzione qua- dratica f (x) = ax^2 + bx + c e la sua derivata f ′(x) = 2ax + b. Ricordando quanto abbiamo studiato nel Capitolo 4, otteniamo:
- la derivata f ′^ si annulla esattamente nell’ascissa del vertice x = −b/ 2 a della parabola grafico di f ;
- la derivata f ′^
e positiva esattamente nei punti (dopo il vertice se a > 0, prima del vertice se a < 0) in cui la funzione fe crescente; - la derivata f ′^
e negativa esattamente nei punti (prima del vertice se a > 0, dopo il vertice se a < 0) in cui la funzione fe decrescente; - la derivata f ′^
e crescente (cioe a > 0) se e solo se il grafico di f ha la concavit`a rivolta verso l’alto; - la derivata f ′^
e decrescente (cioe a < 0) se e solo se il grafico di f ha la concavit`a rivolta verso il basso.
Vedremo piu in la che queste relazioni fra f ed f ′^ sono valide per qualsiasi funzione, e non solo per quelle quadratiche.
5.5 Calcolo di derivate: funzioni polinomiali
Sistemate le funzioni quadratiche, il passo successivo consiste nelle funzioni poli- nomiali. Chiaramente abbiamo
d dx
anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 0
d dx
(anxn) +
d dx
(an− 1 xn−^1 ) + · · · +
d dx
(a 0 ) ;
quindi dobbiamo calcolare la derivata della generica funzione potenza a esponente naturale axk. Ci sono (almeno) tre modi diversi per effettuare questo calcolo. Il primo consiste nell’usare la formula (2.22) per lo sviluppo del binomio, come fatto nel caso k = 2.
5.5 Calcolo di derivate: funzioni polinomiali 231
Otteniamo
a(x + h)k^ − axk h
h
a
∑^ k
j=
k j
xk−j^ hj^ − axk
h
[
a
xk^ + kxk−^1 h +
k 2
xk−^2 h^2 + · · · + hk
− axk
]
h
[
a
kxk−^1 h +
k 2
xk−^2 h^2 + · · · + hk
)]
= kaxk−^1 +
k 2
axk−^2 h + · · · + ahk−^1.
Facendo tendere h a zero muoiono tutti i termini nell’ultima somma tranne il primo, per cui otteniamo d dx
(axk) = kaxk−^1 ; (5.5)
la derivata della funzione potenza axk^ `e la funzione potenza con esponente dimi- nuito di 1 e coefficiente moltiplicato per l’esponente.
Osservazione 5.10 Vedremo piu in la (Sezione 5.8) che questa formula vale per funzioni potenza di esponente reale qualsiasi.
Il secondo modo utilizza la formula (4.17) della differenza di potenze:
a(x + h)k^ − axk h
a h
[
(x + h)k^ − xk
]
a h
[
(x + h) − x
] k∑−^1
i=
(x + h)ixk−^1 −i
= a
k∑− 1
i=
(x + h)ixk−^1 −i^.
Mandando h a zero tutti gli addendi della sommatoria tendono a xk−^1 ; siccome ci sono k addendi, otteniamo nuovamente kaxk−^1 come limite del rapporto incre- mentale. Il terzo metodo invece ha applicazioni che vanno ben al di la delle funzioni polinomiali. L’ideae considerare axk^ come il prodotto di due funzioni potenza di grado minore (per esempio, ax e xk−^1 ), e di vedere se riusciamo a calcolare la derivata di un prodotto conoscendo le derivate dei fattori. Effettivamente si puo fare, ma con un avvertenza: la derivata del prodotto NONe uguale al prodotto delle derivate. Per capire a cosa `e uguale, scriviamo come al solito il rapporto incrementale per il prodotto f g di due funzioni, e manipoliamolo
5.6 Calcolo di derivate: funzioni razionali 233
Per esempio, indichiamo con Pk la formula (5.7). Allora P 1 e banalmente vera (in quanto f 0 ≡ 1 per ogni funzione f ), per cui (I1)e verificata. Supponiamo che Pk− 1 sia vera; applicando la regola di Leibniz a f k^ = f k−^1 · f otteniamo
d(f k^ ) dx = d(f^
k− (^1) ) dx f + f k−^1 df dx = (k − 1)f k−^2 df dx f + f k−^1 df dx = kf k−^1 df dx ,
per cui Pk e vera. Quindi abbiamo verificato anche (I2), e il principio di induzione ci assicura che (5.7)e vera per ogni k ≥ 1.
Riassumendo, siamo in grado di calcolare la derivata di una qualsiasi funzione polinomiale:
d dx
(anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 ) = nanxn−^1 + (n − 1)an− 1 xn−^2 + · · · + a 1.
Esempio 5.9 Se f (x) = 6x^3 − 3 πx^2 + 11
2 x + 7 allora
f ′(x) = 3 · 6 x^2 − 2 · 3 πx + 1 · 11
2 = 18x^2 − 6 πx + 11
5.6 Calcolo di derivate: funzioni razionali
Proseguendo col calcolo delle derivate delle funzioni del bestiario, ora tocca alle funzioni razionali. Siccome le funzioni razionali sono quozienti di polinomi, e na- turale affrontare questo problema cercando di trovare una formula per la derivata di un quoziente. Siccome un quoziente si puo scrivere come il prodotto del nume- ratore per il reciproco del denominatore, e sappiamo gi`a calcolare la derivata del prodotto, ci basta calcolare la derivata di un reciproco. Supponiamo allora che f : I → R sia una funzione derivabile in un punto x ∈ I con f (x) 6 = 0. Manipolando il rapporto incrementale otteniamo
1 f (x+h) −^
1 f (x) h
f (x) − f (x + h) f (x + h)f (x)h
f (x + h)f (x)
f (x + h) − f (x) h
Passando al limite per h → 0 ricaviamo che se f e derivabile in un punto x con f (x) 6 = 0 allora 1 /fe derivabile in x e vale la formula
d dx
f
f ′ f 2
Osservazione 5.12 Un modo per ricordarsi questa formula consiste nel derivare l’identit`a
1 ≡ f ·
f
Sapendo gia che 1/fe derivabile possiamo usare la regola di Leibniz ottenendo
d dx
f ·
f
df dx
f
d dx
f
234 Capitolo 5
che `e equivalente a (5.8).
Usando la regola di Leibniz possiamo ora calcolare la derivata di un qualsiasi quoziente nei punti in cui il denominatore non si annulla:
d dx
f g
d dx
f ·
g
df dx
g
d dx
g
f ′ g
f g′ g^2
e quindi se f e g sono derivabili in un punto x in cui g(x) 6 = 0 allora f /g `e derivabile in x e vale la formula
d dx
f g
f ′g − f g′ g^2
Esempio 5.10 Proviamo a calcolare la derivata di una funzione razionale (nei punti in cui il denominatore non si annulla):
d dx
3 x^2 + 1 2 x − 2
d(3x^2 +1) dx ·^ (2x^ −^ 2)^ −^
d(2x−2) dx ·^ (3x
(2x − 2)^2
=
6 x(2x − 2) − 2(3x^2 + 1) 4(x − 1)^2
6 x^2 − 12 x − 2 4(x^2 − 2 x + 1)
= 3 x^2 − 6 x − 1 2 x^2 − 4 x + 2
Esempio 5.11 Un caso particolare di funzione razionale `e dato dalle funzioni potenza a esponente negativo f (x) = ax−k. Siccome ax−k^ = a/xk^ otteniamo
d dx
(ax−k) =
d dx
( (^) a xk
= −a
d dx (x
k) x^2 k^
= −a
kxk−^1 x^2 k^
= −kax−k−^1.
In particolare, la formula (5.5) vale per ogni k ∈ Z.
5.7 Calcolo di derivate: potenze a esponente razionale
Vogliamo ora calcolare la derivata di funzioni della forma f (x) = xp/q^ , con p ∈ Z e q ∈ N∗. Ora, possiamo scrivere
xp/q^ = (x^1 /q^ )p^ = gp
x^1 /q^
= gp
fq (x)
dove abbiamo posto gp(x) = xp^ e fq (x) = x^1 /q^. Quindi la nostra f si puo scrivere come composizione delle funzioni gp e fq , cioe f = gp ◦ fq , e questo ci suggerisce che sarebbe utile saper calcolare la derivata della composizione di funzioni derivabili. Anche stavolta procediamo manipolando il rapporto incrementale; solo che sta- volta l’operazione e un attimo piu complessa delle altre volte. Supponiamo che
236 Capitolo 5
quindi dobbiamo trovare il modo di calcolare la derivata di x^1 /q^. Ora, x^1 /q^ e, per definizione, la funzione inversa della funzione gq (x) = xq^ , di cui sappiamo calcolare la derivata; quindi questo suggerisce di trovare un modo per calcolare la derivata di una funzione inversa. Supponiamo allora che f sia una funzione invertibile, derivabile in un punto y; vogliamo vedere se la funzione inversa f −^1e derivabile nel punto x = f (y). Come vedremo fra un attimo, dovremo assumere che f ′(y) 6 = 0. Scriviamo il rapporto incrementale per f −^1 in x:
f −^1 (x + h) − f −^1 (x) h
f −^1 (x + h) − y (x + h) − x
y 1 − y f (y 1 ) − f (y)
dove abbiamo posto y 1 = f −^1 (x + h). Sia h 1 = y 1 − y; siccome f −^1 `e continua in x, anche h 1 tende a 0 per h che tende a 0. Quindi per h che tende a 0 il rapporto incrementale f −^1 (x + h) − f −^1 (x) h
f (y+h 1 )−f (y) h 1
tende a 1/f ′(y), che esiste perch´e f ′(y) 6 = 0. Ricordando che y = f −^1 (x) abbiamo dimostrato che se la funzione invertibile f e derivabile nel punto y con f ′(y) 6 = 0 allora la funzione inversa f −^1e derivabile nel punto x = f (y) e vale la formula
df −^1 dx
(x) =
f ′
f −^1 (x)
Osservazione 5.13 Supponiamo di sapere gia per altri motivi che f −^1e derivabile in x = f (y). Allora derivando l’identit`a f ◦ f −^1 (x) = x otteniamo
f ′
f −^1 (x)
df −^1 dx
(x) = 1 ,
cio`e (5.13).
Possiamo allora calcolare la derivata di fq (x) = x^1 /q^. Come gia notato, fqe la funzione inversa di gq (y) = yq^. Ora, g′ q (y) = qyq−^1 ; quindi l’unico punto y 0 in cui g q′ si annulla e y 0 = 0; di conseguenza, possiamo calcolare la derivata di x^1 /q^ in tutti i punti in cui gqe definita tranne in x 0 = gq (y 0 ) = 0. Quindi
d x^1 /q dx
g′ q (x^1 /q^ )
q(x^1 /q^ )q−^1
q
x(1/q)−^1 (5.14)
per ogni x 6 = 0 in cui x^1 /q^ `e definita.
Osservazione 5.14 In particolare, non siamo in grado di calcolare la derivata della funzione radice cubica f (x) = x^1 /^3 in zero. Ora, guardando il grafico notiamo che stavolta il problema non `e causato dalla presenza di un vertice nel grafico; la retta
5.8 Calcolo di derivate: esponenziali e logaritmi 237
tangente al grafico di f nell’origine esiste. Il problema e causato dal fatto che la retta tangente in quel puntoe verticale, per cui il suo coefficiente angolare (che dovrebbe essere il valore della derivata) non `e definito.
Osservazione 5.15 Abbiamo notato che se f e una funzione invertibile, il grafico di f −^1 si ottiene riflettendo il grafico di f rispetto alla diagonale di equazione y = x. Chiaramente, questa operazione di riflessione trasforma rette tangenti al grafico di f in rette tangenti al grafico di f −^1 — e non ti sara difficile verificare (esercizio) che questa riflessione trasforma rette di coefficiente angolare m (non nullo!) in rette di coefficiente angolare 1/m. Inoltre, la riflessione trasforma rette orizzontali (di coefficiente angolare nullo) in rette verticali (in cui il coefficiente angolare non `e definito); quindi punti del grafico di f a tangente orizzontale diventano punti del grafico di f −^1 a tangente verticale, in cui la retta tangente esiste ma la derivata di f −^1 no.
Mettendo insieme (5.12) ed (5.14) siamo finalmente in grado di calcolare la derivata di xp/q^ :
d xp/q dx
= px(p−1)/q^
q
x^1 /q−^1 = p q
x(p/q)−^1
per ogni x 6 = 0 in cui xp/q^ `e definita. In particolare, la formula (5.5) continua a valere per ogni esponente razionale.
5.8 Calcolo di derivate: esponenziali e logaritmi
Una delle conseguenze di (5.5) `e che siamo in grado di risolvere l’equazione diffe- renziale df dx
= xk
per quasi ogni k ∈ Z. Infatti, (5.5) ci dice che
d dx
k + 1
xk+
= xk^ ;
quindi (ricordando l’Osservazione 5.9)
df dx
= xk^ ⇐⇒ f (x) =
k + 1
xk+1^ + c ,
con c ∈ R qualsiasi. Attenzione, pero: la formula che abbiamo ottenuta non ha senso per k = −1 (in quanto richiederebbe di dividere per (−1) + 1 = 0). E in effetti la derivata di x^0 none un multiplo di x−^1. Quindi in questo momento non conosciamo alcuna funzione la cui derivata sia un multiplo di x−^1 ; ma rimediamo subito, con un risultato forse inaspettato.
5.8 Calcolo di derivate: esponenziali e logaritmi 239
Osservazione 5.17 Se f `e una funzione derivabile sempre positiva, la formula di derivazione di una funzione composta ci dice che
d dx
log f =
f ′ f
L’esponenziale `e la funzione inversa del logaritmo; quindi possiamo usare la formula per la derivazione della funzione inversa trovando
d dx
ex^ =
1 /ex^
= ex^.
In altre parole, la funzione esponenziale di base e coincide con la propria derivata! `E questo il motivo per cui i matematici preferiscono usare il numero di Nepero e come base delle funzioni esponenziali. La formula ax^ = ex^ log^ a^ ci permette poi di calcolare la derivata di qualsiasi funzione esponenziale. Infatti (controlla)
d dx
ax^ =
d dx
exp(x log a) = exp(x log a) · log a = (log a)ax^.
Inoltre, la formula xα^ = exp(α log x) ci permette di calcolare la derivata di qualsiasi funzione potenza: infatti (verifica)
d dx
xα^ = d dx
exp(α log x) = exp(α log x) · α x
= αxα−^1 ,
per cui (5.5) effettivamente vale per ogni esponente α ∈ R.
Osservazione 5.18 In particolare, la funzione esponenziale risolve l’equazione dif- ferenziale df dx = f ;
nota che in questa equazione l’incognita f appare in entrambi i membri, contra- riamente alle equazioni che avevamo visto finora. Non e difficile verificare che le soluzioni di questa equazione sono tutte e sole le funzioni della forma cex^ con c ∈ R. Infatti, sia f una soluzione dell’equazione; allora la regola di Leibniz ci da
d dx (e−xf ) = −e−xf + e−x^
df dx = −e−xf + e−xf ≡ 0 ;
quindi e−xf ≡ c, cio`e f (x) = ce−x, come voluto.
Osservazione 5.19 La formula di derivazione composta ci permette di calcolare la derivata di funzioni della forma exp(f ), con f derivabile. Infatti (verifica)
d dx ef^ = f ′ef^.
240 Capitolo 5
Possiamo trovare quindi anche la derivata di funzioni della forma f g^ , con f , g funzioni derivabili e f sempre positiva. Infatti, si ha f g^ = exp(g log f ), e quindi (controlla) d dx
f g^ = gf g−^1 f ′^ + g′f g^ log f.
Esempio 5.13 Vogliamo calcolare la derivata di f (x) = x^1 /x^ per x > 0. L’osser- vazione precedente ci d`a
f ′(x) =
x
x^1 /x−^1 −
x^2
x^1 /x^ log x = x^1 /x−^2 (1 − log x).
Curiosita 5.4 A voler essere del tutto precisi, c’e un problema che ancora non abbiamo del tutto risolto: cosa vuol dire elevare un numero positivo a una potenza di esponente irrazionale. Senza questa informazione il limite (4.26) non e del tutto verificato, e quindi tutti i conti fatti in questa sezione non sono completamente dimostrati. Un modo per superare questo problemae stato accennato nella Curiosita 4.8; qui voglio invece descrivere un’altra procedura, che in un certo senso ripercorre il percorso che abbiamo fatto noi ma nel verso opposto. L’ideae partire da una funzione derivabile definita su R+, che valga 0 nel punto 1 e la cui derivata sia uguale a 1/x (nel prossimo capitolo vedremo come costruire una funzione del genere usando gli integrali); chiamiamo “log” questa funzione. La prima osservazione `e che
∀a > 0 d dx “log”(ax) = a ax =^1 x ;
quindi deve esistere c ∈ R (dipendente da a) tale che “log”(ax) = “log”x + c. Ponendo x = 1 troviamo c = “log”a, e quindi abbiamo dimostrato che
∀x, y > 0 “log”(xy) = “log”x + “log”y. (5.15)
Ora, la derivata di “log” e sempre positiva in R+; nella Sezione 5.11 vedremo che questo implica che “log”e strettamente crescente. In particolare, e invertibile; indichiamo con “exp” la funzione inversa. Siccome la derivata di “log” non si annulla mai, “exp”e derivabile ovunque, e si verifica come al solito che
d dx “exp”(x) = “exp”(x).
Inoltre (5.15) implica che
∀x, y ∈ R “exp”(x + y) = “exp”(x) · “exp”(y). (5.16)
In particolare, se poniamo e = “exp”(1), otteniamo ep/q^ = “exp”(p/q) per ogni p/q ∈ Q. Questo suggerisce di definire ex^ per x ∈ R qualsiasi ponendolo uguale a “exp”(x); in partico- lare, siccome “exp” e una funzione continua e derivabile, otteniamo che x 7 → ex^e una funzione continua e derivabile. Per ogni a > 0 definiamo allora ax^ con la formula ax^ = “exp”(x“log”a); le formule (5.15) e (5.16) ci assicurano che ax^ coincide con la solita definizione di potenza quando x `e razionale. Infine,
(1 + rx)^1 /x^ = “exp”
x “log”(1 + rx)
,
