Appunti matematica derivate e funzioni, Dispense di Matematica Generale

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Università Cattolica - Sede di Piacenza

Precorso di matematica (4)

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Concetto di funzione Grafico Funzioni monotone Massimi e minimi assoluti Funzioni elementari funzioni esponenziali Funzioni logaritmiche

Nelle teorie economiche si studia la dipendenza di alcune quantità esprimibili in termini quantitativi, quali ad esempio il PIL (prodotto interno lordo), la domanda e l’offerta di un dato bene in un mercato, in dipendenza da altre quantità, quali ad esempio la tassazione, i prezzi etc. In termini matematici, la dipendenza di una quantità (detta variabile dipendente) da altre (dette variabili indipendenti) viene espressa mediante la nozione di funzione.

Definizione di funzione

Siano A , B ⊆ R due sottoinsiemi assegnati dell’insieme dei numeri reali R. Una funzione f da A in B è una corrispondenza che ad ogni numero reale x ∈ A fa corrispondere uno ed un solo numero reale y ∈ B. L’insieme A si chiama dominio di f e l’insieme B si dice codominio. La prima variabile, che assume valori in A e viene indicata usualmente con x , si dice variabile indipendente, la variabile y si chiama variabile dipendente.

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Concetto di funzione Grafico Funzioni monotone Massimi e minimi assoluti Funzioni elementari funzioni esponenziali Funzioni logaritmiche

Funzione domanda. In economia spesso si considera la domanda di un bene come funzione solo del prezzo p di quel bene. In questo caso la funzione di domanda di un bene è una funzione f : R+^ → R+^ che si può scrivere in modo generico

q = f (p)

dove q è la quantità domandata di un bene e p il prezzo di quel bene (R+^ indica l’insieme dei numeri reali non negativi). Normalmente quando il prezzo di un bene aumenta la domanda di quel bene si riduce. I tipi di funzioni domanda più comuni sono:

q = a − bp lineare; q = a − bp^2 parabolica; (1)

q = a p + c

−b iperbolica; q = a p 𝛼^

; q = ae− bp^ esponenziale (2) con a , b , c , 𝛼 parametri reali positivi.

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Concetto di funzione Grafico Funzioni monotone Massimi e minimi assoluti Funzioni elementari funzioni esponenziali Funzioni logaritmiche

Una rappresentazione particolarmente utile di una funzione f , che consente di evidenziare la dipendenza di f (x ) da x e le relative proprietà, e costituita dal suo grafico.

Grafico di una funzione

Il grafico della funzione f : A ⊆ R → B è il sottoinsieme di punti (x , y ) del piano cartesiano, tali che x ∈ A e y = f (x ).

In generale tale grafico è una curva del piano cartesiano R^2 e l’espressione y = f (x ) si dirà anche equazione della curva (si noti che non tutte le curve sono un grafico di funzione).

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Concetto di funzione Grafico Funzioni monotone Massimi e minimi assoluti Funzioni elementari funzioni esponenziali Funzioni logaritmiche

Ad esempio, la funzione y = 2 x + 3, è strettamente crescente in R, mentre le funzioni domanda q 1 = (^) pc 2 1 , q 2 = a − bp 2 , che esprimono le quantità q 1 , q 2 di due beni diversi in un dato mercato, in dipendenza dei rispettivi prezzi p 1 , p 2 (con a , b , c valori reali positivi) sono funzioni strettamente decrescenti dei rispettivi prezzi. I grafici delle due funzioni domanda, per p 1 , p 2 > 0, sono riportati nella figura seguente.

p 1 p 2

q 1 q 2

q 1 = c/p^21 q 2 = a − bp 2

a

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Concetto di funzione Grafico Funzioni monotone Massimi e minimi assoluti Funzioni elementari funzioni esponenziali Funzioni logaritmiche

Particolare importanza in economia rivestono i valori massimi o minimi delle funzioni (costi minimi, massimo profitto, etc).

Massimo o minimo assoluto

Data una funzione f : D ⊆ R → R, si dice che f ha

• massimo assoluto M, assunto in x 0 , se

M = f (x 0 ) ≥ f (x ) ∀x ∈ D

• minimo assoluto m, assunto in x 0 , se

m = f (x 0 ) ≤ f (x ) ∀x ∈ D

La funzione y = x 2 + 1 possiede minimo assoluto m = 1 in x 0 = 0. Infatti

f (x ) = x 2 + 1 ≥ f ( 0 ) = 1 ∀x ∈ R

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Concetto di funzione Grafico Funzioni monotone Massimi e minimi assoluti Funzioni elementari funzioni esponenziali Funzioni logaritmiche

R = R(q) = g(q) · q Supponiamo ad esempio che la funzione domanda sia data da

q = a − b · p

con a , b > 0. In tal caso il prezzo p risulta:

p =

a b

b · q

Sostituendo tale valore nella funzione ricavo si ottiene

R(q) =

a b · q −

b q^2

Indicando poi con c il costo di produzione di una unità del prodotto, il profitto dell’impresa risulta pari a

R(q) − c · q =

a b · q −

b q^2 − c · q = −

b q^2 +

a − bc b · q

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Trovare il livello di produzione che massimizza il profitto dell’impresa equivale dunque a trovare gli eventuali punti di massimo della funzione

f (q) = −

b · q^2 +

a − bc b · q

che rappresenta una parabola con vertice

V

(︃ a − b · c 2

(a − b · c)^2 4 b

)︃ .

Tale punto è un massimo assoluto per la funzione profitto f (q) (si veda la figura seguente). Si noti inoltre che affinché si abbia un profitto, il costo unitario di produzione c deve essere inferiore al prezzo unitario di vendita p, da cui si deduce a − b · c > a − b · p ≥ 0 (si ricordi che b > 0) e quindi a − b · c 2

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Concetto di funzione Grafico Funzioni monotone Massimi e minimi assoluti Funzioni elementari funzioni esponenziali Funzioni logaritmiche

Analizzeremo ora alcuni esempi semplici di funzioni, chiamate funzioni elementari. Consideriamo le funzioni del tipo

y = x n,

con n numero naturale. Analizziamo in primo luogo il caso

y = x n^ con n pari (3)

Si tratta di funzioni

• definite per ogni numero reale;
• non negative per ogni x ∈ R
• strettamente decrescenti nell’intervallo (−∞ , 0 ) e strettamente crescenti nell’intervallo ( 0 , +∞);
• con un punto di minimo assoluto nell’origine.

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Il loro grafico è riportato nella figura seguente.

x

y n = 4

n = 2

− 1 1

1

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Il loro grafico è riportato nella figura seguente.

x

y n = 5 n = 3

1

− 1

1

− 1

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Concetto di funzione Grafico Funzioni monotone Massimi e minimi assoluti Funzioni elementari funzioni esponenziali Funzioni logaritmiche

Si chiama funzione esponenziale una funzione del tipo f (x ) = a x^ con a > 0 , a ̸= 1_._ (5) (si noti che nel caso a = 1 si ottiene la funzione costante f (x ) = 1).

Esempio

Su un conto bancario si depositano 5000 euro, al tasso di interesse costante annuo del 4,7%. Dopo quanti anni la somma depositata si raddoppia? Soluzione. Indicando con t il tempo misurato in anni, la relazione che consente di trovare l’intervallo di tempo nel quale si raddoppia il capitale iniziale è data da

5000 * ( 1 + 0_._ 047 ) t^ = 10000

Tale equazione ha per soluzione t = 15. Si noti che anche in questo caso la crescita del capitale è espressa da una funzione di tipo esponenziale y = ka t^ , con a > 1.

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Concetto di funzione Grafico Funzioni monotone Massimi e minimi assoluti Funzioni elementari funzioni esponenziali Funzioni logaritmiche

x

y (^) a > 1

0 < a < 1

1

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Concetto di funzione Grafico Funzioni monotone Massimi e minimi assoluti Funzioni elementari funzioni esponenziali Funzioni logaritmiche

Si chiama funzione logaritmo una funzione del tipo

f (x ) = log a x con a > 0 , a ̸= 1_._ (6)

Ricordiamo alcune importanti proprietà

log a A * B = log a A + log a B (7)

log a

(︂ A B

)︂ = log a A − log a B (8)

log a (A) n^ = n * log a A (9)

log 𝛽 A = log 𝛼 A log 𝛼 𝛽