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Liceo Scientifico Statale “S. Cannizzaro”
Applicazioni delle derivate alla Fisica
Prof. E. Modica [email protected]
Indice
1 Intensità di corrente elettrica 1
2 Tensione e corrente ai capi di un condensatore 2
3 Forza elettromotrice indotta 3
4 Forza elettromotrice autoindotta 4
5 Esercizi applicativi 5
1 Intensità di corrente elettrica
Si consideri la funzione q = q(t) che descrive la quantità di carica elettrica che, nell’intervallo di tempo [0; t], attraversa la sezione di un conduttore elettrico. Sia q(t + ∆t) la quantità di carica che attraversa la stessa sezione nell’intervallo di tempo [0; t + ∆t] e si consideri il seguente rapporto incrementale:
∆q ∆t
q(t + ∆t) − q(t) ∆t
Tale rapporto incrementale tra la quantità di carica che attraversa la sezione del conduttore nell’intervallo di tempo ∆t e l’intervallo di tempo stesso, rappre- senta l’ intensità di corrente elettrica media che attraversa il conduttore nell’intervallo (t; t + ∆t). Se esiste ed è finito il:
lim ∆ t → 0
q(t + ∆t) − q(t) ∆t
tale valore finito fornisce il valore dell’intensità di corrente all’istante t, cioè:
i(t) = lim ∆ t → 0
q(t + ∆t) − q(t) ∆t
dq dt
= q′(t)
Nota 1. La derivata della funzione q = q(t) fornisce il valore della correntre elettrica che attraversa il conduttore al tempo t.
Esempio 1. La quantità di carica q (in C) che passa attraverso una superficie di area 2 , 0 cm^2 varia nel tempo secondo l’equazione q(t) = 4t^3 + 5t + 6 dove t è espresso in secondi.
a) Qual è la corrente istantanea attraverso la superficie a t = 1, 0 s? b) Dopo quanto tempo il valore della corrente elettrica è pari a 53,0 A?
Soluzione L’espressione della corrente elettrica in funzione del tempo si ottiene derivando q(t) rispetto al tempo t, cioè:
i(t) = q′(t) = 12t^2 + 5
a) La corrente istantanea dopo 1,0 s si ottiene sostituendo il valore 1,0 s nell’e- spressione precedente, cioè:
i(1, 0 s) = 12 · (1, 0)^2 + 5 = 17, 0 A
b) Per determinare il valore di t desiderato, basta sostituire al posto di i nell’e- quazione della corrente istantanea in funzione del tempo, il valore 2 A e risolvere la corrispondente equazione:
53 , 0 = 12t^2 + 5
Si ha quindi: 12 t^2 = 48 → t^2 = 4 → t = ± 2 s
Di conseguenza, l’istante cercato è t = 2, 0 s.
2 Tensione e corrente ai capi di un condensatore
Sia dato un condensatore di capacità C dipendente solo dalle sue caratteristiche fisiche e non variabile nel tempo. La carica presente sulle armature al variare del tempo t in funzione della differenza di potenziale fra le due armature è data dalla funzione: Q(t) = C · V (t)
Consideriamo il seguente rapporto incrementale:
∆Q ∆t
Q(t + ∆t) − Q(t) ∆t
Tale rapporto esprime l’ intensità media della corrente di carica o di sca- rica del condensatore relativa all’intervallo di tempo ∆t. Facendo tendere a zero ∆t, si avrà:
lim ∆ t → 0
∆Q
∆t
= lim ∆ t → 0
Q(t + ∆t) − Q(t) ∆t
= i(t)
ovvero l’intensità della corrente di carica o di scarica istantanea. Partendo dall’equazione Q(t) = C · V (t), consideriamo il rapporto incrementale della funzione C · V (t) nell’intervallo di tempo ∆t:
∆(CV ) ∆t
CV (t + ∆t) − CV (t) ∆t
C[V (t + ∆t) − V (t)] ∆t
= C ·
∆V
∆t
Facendo tendere a zero ∆t, si avrà:
lim ∆ t → 0
C ·
∆V
∆t
= C · lim ∆ t → 0
∆V
∆t
= C ·
dV dt
= C · V ′(t)
In definitiva avremo che: i(t) = C · V ′(t)
4 Forza elettromotrice autoindotta
Nello studio del fenomeno dell’autoinduzione è possibile notare come il flus- so del campo magnetico concatenato con il circuito in cui scorre la corrente elettrica i(t) è direttamente proporzionale a i(t) secondo la costante L, detta induttanza. In formule si ha:
Φ(t) = L · i(t)
Se la corrente, nell’intervallo di tempo ∆t, passa dal valore i(t) al valore i(t + ∆t), la variazione di flusso sarà data da:
∆Φ = Φ(t + ∆t) − Φ(t) = Li(t + ∆t) − Li(t) = L[i(t + ∆t) − i(t)] = L∆i
La forza elettromotrice autoindotta f a all’istante t sarà data da:
f a = − lim ∆ t → 0
∆Φ(t) ∆t
= − lim ∆ t → 0
L ·
∆i ∆t
= −L lim ∆ t → 0
∆i ∆t
= −L
di dt
= −Li′(t)
Nota 4. La derivata della funzione i = i(t) moltiplicata per l’opposto dell’in- duttanza fornisce il valore della forza elettromotrice autoindotta che scorre nel conduttore al tempo t.
Esempio 4. In un induttore di 90,0 mH la corrente varia nel tempo come i(t) = t^2 − 6 t , dove i è espresso in ampere e t in secondi.
a) Si trovi la forza elettromotrice indotta negli istanti t = 1, 0 s e t = 4, 0 s.
b) In quale istante la f.e.m. è nulla?
Soluzione L’espressione della f.e.m. autoindotta in funzione del tempo si ottiene derivando i(t) rispetto al tempo t e moltiplicando per −L, cioè:
f a (t) = −L · i′(t) = −L · (2t − 6)
a) La f.e.m. autoindotta dopo 1,0 s si ottiene sostituendo il valore 1,0 s nell’e- spressione precedente, cioè:
f a (1, 0 s) = − 90 · 10 −^3 (2 − 6) = 0, 36 V
Allo stesso modo determiniamo la f.e.m autoindotta dopo 4,0 s:
f a (4, 0 s) = − 90 · 10 −^3 (8 − 6) = − 0 , 18 V
dove il segno meno indica che il verso della f.e.m. è contrario rispetto a quello del caso precedente. b) Per determinare il valore di t basta porre uguale a zero l’espressione della f.e.m. autoindotta. Si ha quindi:
−L · (2t − 6) = 0 → 2 t = 6 → t = 3, 0 s
5 Esercizi applicativi
Esercizio 1. La carica totale (in C) trasportata da una corrente elettrica se- gue la legge q(t) = 10 sin(20πt), con t espresso in secondi. Qual è la corrente istantanea dopo 10 s?
Esercizio 2. La carica (in C) che attraversa la sezione di un conduttore è espressa in funzione del tempo dalla funzione q(t) = 2e^3 t^ sin t. Determinare l’intensità della corrente dopo 10 s.
Esercizio 3. La carica (in C) che attraversa la sezione di un conduttore è espressa in funzione del tempo (in s) dalla relazione q(t) = t^3 − 3 t^2 + 4t + 2. Determinare l’intensità di corrente dopo 1 s e dopo 2 s.
Esercizio 4. La carica (in C) che attraversa la sezione di un conduttore è espressa in funzione del tempo (in s) dalla relazione q(t) = 13 t^3 − 5 t^2 +24t+1+2. In quali istanti l’intensità di corrente è pari a zero?
Esercizio 5. Si consideri una spira di superficie A = 20 cm^2 , immersa in un campo magnetico uniforme B~ e libera di ruotare attorno a un asse perpen- dicolare alle linee di forza del campo magnetico. La spira ruota con velocità angolare costante ω = 1, 3 rad/s. Sapendo che l’intensità del campo magnetico è B = 0, 5 T , determinare il valore della forza elettromotrice indotta all’istante t = 25 s_._
Esempio 5. La quantità di carica q (in C) che passa attraverso una superficie di area 3 , 0 mm^2 varia nel tempo secondo l’equazione q(t) = ln(sin(t^2 + 1)) dove t è espresso in secondi.
a) Qual è la corrente istantanea attraverso la superficie a t = 2, 0 s?
b) Dopo quanto tempo il valore della corrente elettrica è pari a 3,0 A?
Esercizio 6. Una bobina circolare di 30 spire, di raggio 4,0 cm e di resistenza totale 1 Ω si trova in un campo magnetico perpendicolare al piano della bobina. Il modulo del campo magnetico varia nel tempo secondo la legge B(t) = 0, 01 t + 0 , 04 t^2 , con t espresso in secondi e B in tesla. Si determini la f.e.m. indotta nella bobina all’istante t = 5, 0 s_._
Esercizio 7. La sezione trasversale di un conduttore è attraversata da una carica elettrica (in C) variabile nel tempo (in s) regolata dalla relazione q(t) = e−^2 t +4. Determinare l’intensità di corrente elettrica che scorre nel conduttore dopo 8 s_._
Esercizio 8. Sia dato un condensatore di capacità C = 5 mF tra le cui armature è presente una differenza di potenziale regolata dalla legge V (t) = 2 · e t
(^2) + , con V espresso in volt. Determinare la corrente di carica all’istante t = 10, 0 s_._
Esercizio 9. Si consideri un condensatorre piano di capacità C collegato a un generatore di tensione alternata E = E 0 sin(ωt). Si dimostri che l’espressione dell’intensità di corrente è data dalla seguente relazione:
i(t) = E 0 Cω sin
ωt +
π 2
