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appunti su tutto il capitolo delle derivate di matematiche con esercizi aggiuntivi
Tipologia: Dispense
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Teorema di Rolle
Data una funzione f (x) definita in un intervallo limitato e chiuso [a; b] tale che
allora esiste almeno un punto c, interno all’intervallo, per il quale risulta f’(c)= 0
Significato geometrico (^) Quando sono verificate le sue ipotesi, esiste sempre un punto c in cui
la tangente al grafico è parallela alla retta AB e quindi all’asse x
Esempi di non applicabilità
f(a) πf(b) non continua in c non derivabile in c non derivabile in c
c c c
Teorema di Lagrange teorema del valore medio
o
Se una funzione f(x) è
continua nell’intervallo limitato e chiuso [a;b],
derivabile in ogni punto interno a esso,
allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo per cui vale la relazione:
Significato geometrico Esiste almeno un punto c in cui la retta tangente all curva è parallela alla
congiungente i punti del grafico A e B di ascisse a e b
può esserci più di un punto che soddisfa il
teorema m = AB =^
f(a) - f(b)
b - a
= f’(c)
x - x B A
y - y B A
TEOREMA
?continua
?derivabile
? f’(x) è nulla
Se una funzione f(x)
è nell’intervallo [a;b],
è in ]a; b[
e tale che in ogni punto interno dell’intervallo,
allora f(x) è costante in tutto [a;b].
TEOREMA
? funzioni continue
? derivabili
f’(x) = g’(x)
Se f(x) e g(x)
sono due nell’intervallo [a;b],
sono in ]a;b[
e tali che per ogni x Œ]a,b[
allora
?
esse differiscono per una costante
TEOREMA
Data una funzione y = f(x), continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I:
( ) per ogni x interno a I, allora f(x) è crescente in I;
( ) per ogni x interno a I, allora f(x) è decrescente in I
NECESSARIA
E
SUFFICIENTE
Vale il teorema inverso
Se il limite del rapporto delle derivate non esiste, nulla
si può dire del rapporto delle funzioni, occorre
indagare con altri mezzi e metodi.
Interpretazione geometrica
f(x ) = 0 0
g(x ) = 0 0
Considerando le loro tangenti
y = f’(x ) (x - x ) 0 0
y = g’(x ) (x - x ) 0 0
se le funzioni non sono definite in x , considerare: 0
Nel caso in cui il si presenti anch’esso come una ,
si può continuare con le
limite del rapporto delle derivate forma indeterminata
derivate successive
Non sempre il teorema dell’Hospital è utile :
si cerca di scrivere la differenza come prodotto o quoziente di funzioni in modo da ricondursi
a una delle forme precedenti
Si possono presentare nei limiti nella forma
Ricordando che
allora
