Scarica OTTIMIZZAZIONE E DIFFERENZIABILITÀ e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Matematica Generale solo su Docsity!
Gli ASINTOTI sono rette che fanno da
riferimento per stabilire dei CONFINI
Una retta si dice asintoto della funzione f se la distanza tra un
generico punto sul grafico e la retta S tende a 0
quando la DISTANZA tra il punto e l’origine degli assi cartesiani
tende a
S è una retta verticale : ASINTOTO VERTICALE
S è una retta orizzontale : ASINTOTO ORIZZONTALE
S è una retta obliqua : ASINTOTO OBLIQUO
ASINTOTO VERTICALE
Se un punto tale che
allora la retta S di equazione è un
asintoto verticale
Esempio
Controlliamo se sono asintoti
Poiché il risultato del limite NON
È infinito, concludiamo che la
retta d’equazione NON è
un asintoto verticale
È asintoto verticale
Asintoti
Non sono parti di grafico
ma riferimenti utili
Rally
/I
②
②
↓
②
A
p(X
,
f(x)
(
l
yA
E
= Xo
imx
f(x)
= 1
...
X
=
Xo
f(x)
=
Togx
b
E 69x
=
(
domf
=
(
,
U)
,
e
b
imo
Tog
mlog
X
= 0
Lim
f
x.
=
A
=
logx
lim
-i
Tgx
=
!
=
3
i
O
O 0
, -D
I
~
ASINTOTO ORIZZONTALE
Se il dominio di f è illimitato (a sx e/o a dx)e se il
(ci da un numero finito) oppure allora la retta di
equazione oppure la retta di equazione ci dicono
ASINTOTO ORIZZONTALE SX E ASINTOTO ORIZZONTALE DX
Esempio
La retta di equazione
è asintoto orizzontale sx
La retta di equazione
è asintoto orizzontale dx
ASINTOTO OBLIQUO
se una f ha un asintoto orizzontale NON PUÒ
AVERE anche un asintoto obliquo
Se il dominio di f é illimitato e non esiste l’asintoto
orizzontale, la retta S di equazione (che non
sia una retta parallela agli assi coordinati )è un
asintoto obliquo di f se finiti i seguenti due limiti:
Le rette di equazione sono
entrambi limiti obliqui sx dato che i
risultati dei limiti sono numeri reali
yA
To
.
p
j
x
-x +
()
=
MER
f(x)
=
Le
Lim
y
= L
y
= M
ORIZZONTAU
f(x)
domf
= (
0
,
1)U(
1
,
b)
I
X DETERMINARE GU
ASINTO TI ORIZZO .
in
= =
F
VER
4
= 1
=
=
1
4
= 1
yA
↓
↓
y
= mx +
q
O
x
O
X ,
y
↑
·
im
=
p
x
=
melR
.
(m
=
(f(x)
mx)
=
ge
f(x)
=
x
1
domf
=
( - x
,
0 U(
,
x)
y
=
x
Lim
x
b
X
(
e
Dato che esistono gli asintoti orizzontali
non esistono quelli obliqui
im
x
a)
0
=
t
=
0
=
La definizione di grafico deve essere REGOLARE,
quindi è LISCIO, non presenta asperità
quindi che presenta derivata,
differenziale e retta tangente
La DIFFERENZIABILITÀ per una funzione è la proprietà
di poter essere APPROSSIMATA localmente in ogni suo
punto da una parte lineare, cioè da una retta
Questa retta è la
RETTA TANGENTE
L’avverbio LOCALMENTE
corrisponde a fare lo zoom
Succede OVUNQUE
È un’ASPERITÀ anche se unica
che sia derivabile in un punto
Allora l’equazione della retta tangente al grafico della
funzione f nel punto data da
Differenziabilità di una funzione
(4)/61 /Kikil d LI19/LII/IS
--
↓
I ↓ d e d -
D
&
w
D
Data f : ACIR-IR Xof(a
,
b)
CA
P(Xo
,
f(x)
:
b
y
=
f'(Xo)(X
Xo)
f(Xd)
Come si interpreta il differenziale?
Il DIFFERENZIALE che corrisponde ad una variazione dovuta ad un
incremento infinitesimo della variabile indipendente x si indica con
Piccolissimo spostamento
infinitesimo sulle x
Variazione infinitesimale di x
Determinare , se esiste, la retta tangente e il differenziale al grafico della funzione
Equazione di retta tangente
Equazione del differenziale
INTERPRETAZIONE:
In corrispondenza
di una variazione infinitesima delle x si
osserva una variazione uguale anche sulle y
·
df(Xo) =
m(X
Xo)
=
df(Xo)
=
f'(Xo)dX
dy
=
f'(Xo)dX
↓
f(x)
= -
x
1
Xo
=
① f(Xo)
=?
f(
= -
(1) 2
=
=
1
.
1
=
1
②
fi(X)
= !
f(x)
= -
2xe
(x2)ex
=
2xe
Xe*
③ f'(X0)
=?
b
f(Xd)
=
2
.
(1)
(1)**
=
1 = 1
④
③
y
=
f'(Xo)(X
Xo)
f(X0)
dy
=
f'(Xo)dx
↓
b
y
=
1(X
(1)
=
dy
= 1dx
=
dx
=x
1
1
=
X
Determinare, se esiste, l’equazione della tangente e del differenziale al grafico della funzione
Equazione di retta tangente
calcolata nel suo VERTICE
Equazione del differenziale
INTERPRETAZIONE:
L’incremento osservato sulle y relativo
ad un incremento infinitesimo sulle x in questo caso è nullo
f(x)
= 1
X
4X
Xo
=
2
① f(Xo)
=?
f(2)
=
1
4
.
2
= 5
②
f'(0) =?
f(x)
1
X
4X
=
0
2X
.
1
=
2x + 4
③ f'(X0)
=?
b
f(2)
= -
2
.
2 + 4
=
4 + 4
=
0
④
y
=
f'(Xo)(X
Xo)
f(X0)
↓
y
=
0(X
3
=
5-
③
dy
=
f'(Xo)dx
b
dy
=
0dx
b
significa trovare o i MASSIMI o i MINIMI di una funzione
economica, può essere di PROFITTO, RICAVO ecc..
Risultati LOCALI e GLOBALI
Da una parte l’economia ha usato le tecniche matematiche,
dall’altra i matematici iniziarono ad approfondire discorsi
e teorie grazie all’economia
Vi è quasi una SIMBIOSI tra
matematica ed economia
Il soggetto principale sono i
MASSIMI E MINIMI
ESTREMANTI
OTTIMI = termine preferito dagli economisti
il primo teorema è il TEOREMA DI FERMAT Si basa sulle CONDIZIONI
NECESSARIE per il primo ordine
Trova i CANDIDATI all’ottimo Come stabilire se i candidati sono Max o min?
TEST DI MONOTONIA
TEST DI CLASSIFICAZIONE
del primo ordine per gli ottimi
TEST DI CONCAVITÀ /
CONVESSITÀ
ci permette di capire se la f è
CRESCENTE O DECRESCENTE
TEST DI CLASSIFICAZIONE del
secondo se ordine per gli ottimi
Risultati IMMEDIATI sulla
concavità o convessità di una f
TEOREMA LOCALE/
GLOBALE
Ci permette di trovare delle scorciatoie
e da una risposta di tipo globale
Nel linguaggio economico locale significa
RELATIVO e globale significa ASSOLUTI
Ottimizzazione
OTTIMIZZAZIONE è
importante per l’economia
IIIIN/C/ID)
b
↑
--
b
b
d
b
b
↓
↓
↓
DOMINIO
INSIEME IMMAGINE
punto di retta tangente con
MASSIMI e MINIMI LOCALI
PUNTI STAZIONARI O CRITICI
Punti in cui la tangente al grafico
è parallela all’asse delle x
Come riconoscere le
tipologie di ottimi?
PUNTI SINGOLARI
punti di NON DERIVABILITÀ della
funzione, anche essendo DEFINITA,
oppure la sua derivata non è CONTINUA
PUNTI AGLI ESTREMI DEL DOMINIO
(Eventualmente del dominio imposto dal
problema) in cui la funzione è definita
TEOREMA DI FERNAT trovare i candidati
FIRST OF CONDITIONS
condizioni del PRIMO ordine
Quindi si usa la
DERIVATA PRIMA
consideriamo
derivabile in
Se un punto all’interno di questo intervallo è
un punto CRITICO o STAZIONARIO, allora
quando noi andiamo a considerare la derivata è la
valutiamo nel punto vale ZERO
CONDIZIONE NECESSARIA
permette di trovare dei candidati
all’ottimo che poi dovremo testare
è punto di ottimo NON VALE IL VICEVERSA
Teorema di Fermat
I
El
dl
Cla
·
D
O
↓
b
domf
=
(a
,
b)
O
( (
b
b
22
FOC"-
↓
O
↓
f
:
(a
,
b) CIR
/R
,
↓
To
Xo
f(Xo)
=
f'(Xo)
=
Xo
NON
È VERO
Condizioni sufficienti del primo ordine per
la classificazione dei candidati all’ottimo:
Ora ci chiediamo CHE COSA SONO
TEST DEL PRIMO ORDINE Lo strumento che utilizza è
la DERIVATA PRIMA
perché del PRIMO ORDINE?
è un PUNTO CRITICO di f, cioè
PUNTO DI MAX
LOCALE
PUNTO DI MIN
LOCALE
b
-D
fi(a
,
b) CIR-
,
derivab
in
(a
,
b)
xe(a
,
b)
A se
per
XXo
f'(Xo)
0 e
per
XXo f'X)
=
Xo
e
L
se
pen
XXo A'(0)
e
per
X
Xo
A'() 10
=
No e
(
Q
To
②
To
XXo
X
>Xo
XXox> Xo
f(x) f(x)
_
0
f(x)20 f(x)
= 0
f( f
fly
f
Classificare il punto critico
per la funzione
il denominatore è solo x
Il dom é più infinito
Quindi il denominatore
è SEMPRE POSITIVO
si riduce al solo studio
del nominatore
INTERPRETAZIONE:
ne segue che il punto è un
PUNTO DI MINIMO LOCALE
=
to
= 1
f(x)
= X
log
X
- DOMINIO : >
: (
,
e)
↓
Xo
= 1 E domf
b
È UN PUNTO CRITICO
?
b
f(x) =? Si È P. CRITICO
·
f(x)
=
x
=Df(X0)
=
1
=
- CLASSIFICAZIONE DI
XO
f(x)
>
0
=?
b
1
10
=
1x
0 = 1X
10
= 3x
↓
e
=
fe
strett. In (
,
a
stratt .
L in (
,
- =D
f'(x) (*) o
flf
xod
-(
)
=
((
=
3(a
e c
.
=
(
24
e
Sto
e
=
(t - Nb)ga
No
=
(
N)
e
att
f(
=
(
x)
=
3(
(0)
alt
.
=
(
2
e
i
I
=
(t
b)
ga
no (l
e
a it
Si vede come si posizionano
le tangenti rispetto al
grafico di una funzione
PRIMA OSSERVAZIONE:
guardando l’inclinazione delle rette
tangenti, passano da NEGATIVE, a
ZERO, a POSITIVE, quindi hanno
INCLINAZIONE CRESCENTE
PRIMA OSSERVAZIONE:
guardando l’inclinazione delle rette
tangenti, passano da POSITIVE, a
ZERO, a NEGATIVE, quindi hanno
INCLINAZIONE DECRESCENTE
SECONDA OSSERVAZIONE: Le
rette tangenti sono situate sempre al
DI SOTTO del grafico della funzione
SECONDA OSSERVAZIONE: Le
rette tangenti sono situate sempre al
DI SOPRA del grafico della funzione
Possiamo ricavare teoremi
da queste osservazioni
sia derivabile almeno due volte
Sono equivalenti le seguenti affermazioni:
in economia si usa dire che la funzione f
è MARGINALMENTE CRESCENTE, per
intendere che la funzione è CONVESSA
in economia si dice che la funzione f è
MARGINALMENTE DECRESCENTE, per
intendere che la funzione è CONCAVA
TEOREMA (PRIMA OSSERVAZIONE
FUNZIONE CONVESSA FUNZIONE CONCAVA
Test di concavità/convessità
1 (2) < se l’ordine della derivata è DISPARI: è pto di FLESSO ( IN OGNI CASO )
candidato all’ottimo
poiché l’ordine della prima derivata non nulla e 5 è un nr dispari , per quanto scritto
sopra concludiamo che il candidato è un PUNTO DI FLESSO è
Esempio:
Classificare il punto critico
per la funzione
usiamo il test della derivata seconda appena studiato
Concludiamo che è punto di
MIN LOCALE in cui la funzione
assume il valore
· n ·
Xo
f(x)
=
x
f(x)
=
0
=
05X"
=
0
= 0 X
=
0
-a
f"(X)
= 20x
A"(0)
=
= 0
f"(X)
=
60X
= f (0)
=
60(0)
= 0
f"(X)
=
120x
=Df"(0)
=
120(0)
=
0
f(x)
=
120
=
Df
(0)
=
120 30
X
= 0 F (
,
=
0
(
,
⑳
to
= 1
f(x)
= X
log
f(x) = 1
f(x)
=
=
bf"(1)
=
!
=
1
nu
Xo
:
/
f(l)
=
1
b
MIN 200
=
,
·
f(x)
= (x
3X)e
2x
2 Candidati
: X
2
1
X
=
2 +
N
f(x)
=
(
8X
3)e
f"(x)
=
D(
22
8X
3)e
8X
=
=
(4x
20x
14)et
poiché abbiamo ottenuto un valore POSITIVO,
concludiamo che è un pto di MIN LOCALE
studiare la monotonia di
studiare la concavità e convessità di
La FORMULA DI TAYLOR sostiene che una funzione
derivabile n-esime volte può essere APPROSSIMATA in
un certo punto da un POLINOMIO
i coefficienti del POLINOMIO DI TAYLOR
dipendono dalle derivate successive della f
dimostra che vi è un solo
polinomio di questo tipo
La formula può essere di vari ORIDNI,
la formula di un certo ordine n dipende
dalle derivate fino alla n-ESIMA Fornisce un polinomio
di grado n
Più è elevato l’ordine della formula e
MIGLIORE sarà l’approssimazione che
il polinomio fornisce alla funzione
V
f
(
=
[4(
X)
20/
E
1 e i
=
(.
4
.
2
.
N
40
+ 10V
14)e
2(
-E)
=
=
[16-
V
10 N
effe-T)
=
(30 + 2Vb)e-2(
x
= 2
(
=...
f(x)
=
f(x)
X
2
.
gx
h
↓
↓
