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Disequazioni lineari Disuguaglianze numeriche Le proprietà delle disequazioni Numeri diminutivi abbondanti e perfetti Soluzioni e incognite
Tipologia: Appunti
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DISEQUAZIONI LINEARI
DISUGUALIANZE E DISEQUAZIONI
Si chiama disuguaglianza matematica un’espressione che lega due quantità indicando quando una è minore o maggiore dell’altra. Una disuguaglianza è formata quindi da un primo membro, un simbolo di maggiore o minore seguito dal secondo membro. Le disuguaglianze si esprimono con i seguenti simboli:
maggiore, < minore, ≥ maggiore o uguale, ≤ minore o uguale
Es. 10+4 > 5+ primo membro secondo membro
Due disuguaglianze hanno lo stesso verso quando troviamo lo stesso simbolo, altrimenti hanno verso contrario. Es. 9 > 6 -4 > -1 10 > 3 -5 < - stesso verso verso contrario
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disuguaglianza per uno stesso numero se:
NEGATIV si ottiene una disuguaglianza con verso contrario
Es. 5 < 6
5 x – 7 > 6 x – 7
moltiplico e divido e cambio verso cambio verso
si ottiene una disuguaglianza con lo stesso verso
Es. 5 < 6
5 x 7 < 6 x 7
moltiplico divido
POSITIVO
Se due numeri sono concordi e diversi da zero, la
disuguaglianza fra i loro reciproci ha verso contrario
rispetto a quella fra i numeri stessi.
Es. a < b
(a,b concordi e a,b ≠0)
2 < 3
La disuguaglianza dei loro reciproci prevede il cambio di
verso per essere considerata vera.
Se eleviamo a n entrambi i membri di una
disuguaglianza (non negativi) otteniamo una
disuguaglianza con lo stesso verso.
Es. a < b ^ < ^ (n appartenente N e n ≠ 0)
8 < 10 ^ < ^ 64 < 100
Un numero si dice diminuito se la somma dei suoi divisori (escluso il numero stesso) è inferiore al numero
Es. 25 divisori: 1;5 25 > (1 + 5)
Un numero si dice abbondante se la somma dei suoi divisori (escluso il numero stesso) è superiore al numero.
Es. 24 divisori:1;2;3;4;6;8;12; 24< 36
Un numero si dice perfetto se la somma dei suoi divisori (escluso il numero stesso) è uguale al numero.
Es. 6 divisori: 1;2;3;6 6 = (1+2+3)
Numeri diminuiti, abbondanti e perfetti
2000 anni dopo Euclide... Eulero Anche Eulero, come Euclide, si occupò dello studio dei numeri perfetti. Proprio lui scoprì il numero perfetto ^ ( ^ - 1) che rimase il più grande numero perfetto per molto tempo
Oggi ● La possibilità di disporre di numeri primi molto grandi permette di sviluppare metodi di crittazione sempre più sicuri. ● Attualmente si conoscono 48 numeri perfetti. ● Nel 2012 fu dimostrato che se esiste un numero perfetto dispari allora n > 10
Possiamo notare nella seguente tabella che tutti i numeri perfetti conosciuti fin ora terminano o per 6 o per 8.
LE DISEQUAZIONI
Una disequazione è una disuguaglianza fra due espressioni letterali per la quale si vuole stabilire quali valori delle lettere rendono la disuguaglianza vera.
Per esempio consideriamo la disequazione x – 4 < 6, procedendo per tentativi, sostituiamo ad x alcuni valori e stabiliamo se la disuguaglianza ottenuta è vera o falsa. per x = 1 1 – 4 < 6 è vera per x = 2 2 – 4 < 6 è vera per x = 4 3 – 4 < 6 è vera per x = 9 9 – 4 <5 è vera per x = 10 10 – 4 < 6 è falsa e continuerà ad essere falsa per tutti i numeri maggiori di 10. Nelle disequazioni oltre ai simboli di >(maggiore) e < (minore) si possono usare anche il simbolo di ≥ (maggiore o uguale) o ≤ (minore o uguale). Una disequazione può essere: o Intera quando al denominatore non troviamo l’incognita o Fratta quando troviamo l’incognita al denominatore o Numerica quando non contiene altre lettere oltre l’incognita o Letterale quando ci sono altre lettere oltre all’incognita
APERTO 4
1 CHIUSO
CHIUSO
1 < x ≤ 4
APERTO
CHIUSO
]1;4]
APERTO
CHIUSO
APERTO
PRINCIPI DI EQUIVALENZA
Due disequazioni si dicono equivalenti quando ammettono le stesse soluzioni.
In altre parole se abbiamo due disequazioni aventi le stesse incognite e tutte le soluzioni della prima sono anche della seconda e viceversa, le due disequazioni sono equivalenti.
Per risolvere una disequazione, così come abbiamo visto per le equazioni, cerchiamo di trasformarla in una disequazione equivalente che sia più semplice rispetto alla precedente. Poi trasformiamo la disequazione trovata in un'altra equivalente a quella data anch'essa più semplice, fino a giungere ad una disequazione della quale riusciamo a trovare facilmente la soluzione.
Es. x – 4 < 5 e 2x < 9
Sono equivalenti perché hanno entrambe la stessa soluzione, in questo caso 8
DISEQUAZIONI INTERE DI PRIMO
GRADO
Per risolvere una disequazione intera la devo trasformare, applicando i principi di equivalenza, in una disequazione equivalente nella forma ax < b o ax > b
Per farlo:
La soluzione di una disequazione può essere: determinata, impossibile o sempre verificabile (quando l’incognita è 0)
Es.
