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DISEQUAZIONI LINEARI
1. DISUGUAGLIANZE
E DISEQUAZIONI
DISUGUAGLIANZE NUMERICHE Esercizi a pagina 412
Le disuguaglianze fra numeri possono essere espresse mediante uno di questi simboli:
Come nelle uguaglianze, chiamiamo primo membro l’espressione a sinistra del simbo-
lo di relazione, secondo membro quella a destra.
Proprietà delle disuguaglianze
PROPRIETÀ
1. Se ai due membri di una disuguaglianza som-
miamo o sottraiamo uno stesso numero,
otteniamo una disuguaglianza con lo stesso
verso:
a + c 1 b +c
se a 1 b
a - c 1 b - c
ESEMPIO
2. Se moltiplichiamo o dividiamo i due mem-
bri di una disuguaglianza per un numero:
- positivo, otteniamo una disuguaglianza con
lo stesso verso:
a c$ 1 b c$
se a 1 be c 20
c
a
c
b 1
- negativo, otteniamo una disuguaglianza
con verso contrario:
a c$ 2 b c$
se a 1 be c 1
c
a
c
b 2
3. Data una disuguaglianza fra due numeri
diversi da zero e concordi, la disuguaglianza
fra i loro reciproci ha verso contrario:
a b a (^) b
se a e b concordi e a, b! 0.
You can express strict inequalities
between numbers with the symbols
1 and 2.
stesso verso
verso contrario
minore minore o uguale maggiore maggiore o uguale
primo membro
secondo membro
1. DISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONI TEORIA
PROPRIETÀ
4. Se eleviamo a n , con n! Ne n! 0 , i due
membri non negativi di una disuguaglianza,
otteniamo una disuguaglianza con lo stesso
verso:
a b a b
n n 1 " 1 ,
con a b, $ 0 , n! Ne n! 0.
4 4
3 3
ESEMPIO
DISEQUAZIONI Esercizi a pagina 414
Il concetto di disequazione è analogo a quello di equazione.
DEFINIZIONE
Una disequazione è una disuguaglianza fra due
espressioni letterali per la quale cerchiamo quali
valori, sostituiti a una o più lettere, rendono vera
la disuguaglianza stessa.
Per quali valori di a:
a - 3 215?
ESEMPIO
Chiamiamo:
- soluzioni i valori che rendono vera la disuguaglianza; - incognite le lettere per le quali cerchiamo le soluzioni.
In questo capitolo studiamo le disequazioni di primo grado, o lineari, con una sola
incognita.
Come nelle equazioni, risolvere una disequazione significa trovare tutte le sue solu-
zioni. Cerchiamo le soluzioni in un insieme che, se non diamo altre indicazioni, è R.
Rappresentazione delle soluzioni
Per scrivere o rappresentare graficamente le soluzioni di una disequazione sono spes-
so necessari intervalli di numeri reali. Un intervallo può essere di due tipi:
- illimitato se è costituito da tutti i numeri che precedono un certo numero (interval-
lo illimitato inferiormente ) o che lo seguono (intervallo illimitato superiormente );
- limitato se è formato da tutti i valori compresi fra due numeri.
Il numero o i numeri con i quali inizia o termina l’intervallo sono detti estremi.
Rispetto a un estremo un intervallo può essere aperto , se non comprende l’estremo, o
chiuso , se lo comprende.
Esaminiamo alcuni esempi, fornendo tre tipi di rappresentazione.
Con x indichiamo la variabile relativa ai valori dell’intervallo.
I simboli + 3 e - 3 si leggono più infinito e meno infinito e si usano per indicare che
un intervallo è illimitato a destra o a sinistra, rispettivamente.
ESEMPIO
Intervallo limitato, aperto a sinistra,
chiuso a destra. 2 1 x# (^5) ]2; 5]
Intervallo illimitato, chiuso a sinistra. (^) x $- 7 [ - 7 ; + 3 [
Intervallo illimitato, aperto a destra. (^) x 1 3 ] - 3 ; 3[
In an inequality letters can appear on
both sides, and you can look for
numbers that, substituted to the letters,
make the inequality true.
è una disequazione
5 x - 3 27
4 è soluzione perché:
1 non è soluzione perché:
incognita
x 1 - 5
x 21
8 1 x 110
intervallo illimitato
inferiormente
intervallo illimitato
superiormente
intervallo limitato
2 5
aperto chiuso
aperto
chiuso (^) chiuso
aperto
3
1. DISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONI TEORIA
Se, invece di un numero, in uno dei due princìpi utilizziamo un’espressione letterale,
nelle disequazioni valgono considerazioni analoghe a quelle che abbiamo esaminato
per le equazioni.
Dal primo principio si deduce che:
- un termine può essere trasportato da un membro all’altro cambiandogli il segno;
- un termine può essere cancellato se presente in entrambi i membri.
▶ x x 1 x 0 1 x x 1
2 2 2 + - " 2 - " 2
Dal secondo principio si deduce che:
se si cambia il segno di tutti i termini, si deve cambiare il verso della disequazione.
▶ - x + 2 1 5 " x- 2 2 - 5
Se si moltiplica o si divide per un’espressione letterale, oltre alle C.E., occorre aggiun-
gere la condizione che l’espressione non si annulli e distinguere se assume segno posi-
tivo o negativo.
se : a a
a
x 2 0 2 2 a "x 22 a
▶ a
x 2 2 C.E.: a! 0
se a :a a
x 1 0 1 2 a "x 12 a
ESERCIZI PER COMINCIARE
ANIMAZIONE Scrivi la disuguaglianza che si ottiene da quella data, operando sui due membri come indi-
cato.
a. - 5 1 + 8 , aggiungi 2;
b. - 4 2 - 8 , dividi per 4;
c. + 9 2 - 6 , moltiplica per 3
d. - 3 1 - 2 , considera i reciproci;
e. 5
- 2 + , considera i reciproci;
f. 2
2 Verifica se i seguenti valori sono soluzioni della disequazione^6 x^ +^2 #^8.
3 Indica le caratteristiche dei seguenti intervalli e rappresentali graficamente.
a. x 2 - 3 ; b. 2 # x 16 ; c. x 5
; d. - 9 1 x 11 ; e. x $ 0 5, ; f. - 8 # x#- 4.
CACCIA ALL’ERRORE (^) Indica il principio di equivalenza applicato quando le disequazioni sono equivalenti.
Se non lo sono, spiega l’errore commesso.
9 - 6 x # 3 " 9 - 3 # 6 x;
x x 2 2
x 23
x a a
con a! 0
equivalenti
cancellazione
trasporto
moltiplichiamo per Ð
14 DISEQUAZIONI LINEARI
2. DISEQUAZIONI NUMERICHE
INTERE Esercizi a pagina 417
Per risolvere una disequazione di primo grado numerica intera, utilizziamo i princìpi
di equivalenza fino a giungere a una delle forme seguenti:
ax 1 b, ax # b, ax 2 b, ax $ b.
Per l’insieme delle soluzioni distinguiamo tre casi: la disequazione può essere determi-
nata, impossibile o sempre verificata.
Esaminiamoli con degli esempi.
ESEMPIO
Risolviamo le disequazioni:
a. x - 6 23 x; b. 2 ( x + 3 ) - 3 x 11 - x; c. ( x 1 ) 2 x x 6
2 2
a. x x x x 2 x 6
x 6 3 3 6 x 2
L’insieme delle soluzioni è un intervallo illimitato :
x 1 - 3
b. 2 ( x + 3 ) - 3 x 11 - x
2 x + 6 - 3 x 11 - x
2 x - 3 x + x 11 - 6
0 x 1 - 5
Un qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0, che non è minore di - 5.
L’insieme delle soluzioni è vuoto e la disequazione è impossibile.
c. ( x 1 ) 2 x x 6
2 2
x 2 x 1 2 x x 6
2 2
0 x 2 - 6 - 1
0 x 2 - 7
Un numero qualsiasi moltiplicato per 0 dà 0, che è maggiore di - 7.
L’insieme delle soluzioni è R e la disequazione è sempre verificata.
ESERCIZI PER COMINCIARE
ANIMAZIONE Risolvi le seguenti disequazioni:
a. - 3 ( x + 1 ) + 5 # 7 - x; b. 6 x - 3 ( x + 1 ) 25 + 3 x; c. 2 ( 4 x) x ( x 1 ) 6
2 2
ANIMAZIONE Risolvi la seguente disequazione, indicando i princìpi di equivalenza applicati.
x ( x ) ( x ) x
x
3
il verso cambia perché –2 è negativo
portiamo i termini in x al primo membro,
quelli senza x al secondo
dividiamo entrambi i membri per –
14 DISEQUAZIONI LINEARI
4. EQUAZIONI CON VALORI
ASSOLUTI Esercizi a pagina 431
Le disequazioni sono utili anche nella risoluzione di equazioni che contengono espres-
sioni in valore assoluto.
Ricordando la definizione di valore assoluto, se f(x) è l’espressione analitica di una
funzione, abbiamo che:
f(x) se f x( ) $ 0
f x ( ) =
Chiamiamo argomento la funzione f(x) di cui calcoliamo il valore assoluto.
2 x + 3 se 2 x 3 0 x 2
▶ Se f x( = 2 x + 3 , f x( ) = 2 x + 3 =
- ( 2 x + 3 )se 2 x 3 0 x 2
Sono utili queste proprietà del valore assoluto:
a. f x( ) = 0 ) f x( ) = 0 ; c. f x( ) = - f x( ) ;
b. f x( ) $ 0 6 x! R ; d. f x( ) = , con k 2 0 " f x( ) =
Vediamo con un esempio come possiamo risolvere un’equazione che contiene una
espressione in valore assoluto.
ESEMPIO
Risolviamo l’equazione 2 x - 9 = x+ 3.
- Studiamo il segno dell’argomento x + 3.
x + 3 2 0 "x 2 - 3
- Le soluzioni dell’equazione sono l’unione delle soluzioni
dei due sistemi:
x 3
2 x 9 x 3
)
x 3
2 x 9 x 3
)
x
x
x
x
) )
x
x
)
soluzione non accettabile:
2 non è minore di - 3 ;
soluzione accettabile: 12 $- 3.
L’equazione ha soluzione x = 12.
ESERCIZI PER COMINCIARE
Risolvi le seguenti equazioni.
ANIMAZIONE x - 2 = 5 x + 8 ANIMAZIONE 2 x = 4 - x- 3
x se x $ 0
x =
x + 3
se x < –3, x + 3 < 0, quindi
| x + 3| = –( x + 3)
se x –3, x + 3 0, quindi
| x + 3| = x + 3
5. DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI TEORIA
5. DISEQUAZIONI CON VALORI
ASSOLUTI Esercizi a pagina 433
Per risolvere disequazioni con valori assoluti, procediamo in modo analogo a quello
visto per le equazioni con valori assoluti.
ESEMPIO
Risolviamo la disequazione 6 x - 3 2 x+ 4.
- Studiamo il segno dell’argomento 6 x - 3.
6 x 3 0 x 2
- Le soluzioni della disequazione sono l’unione delle soluzioni
dei due sistemi:
x
6 x 3 2 x 4
*^2
x
6 x 3 2 x 4
x
x
x x
x
x
x
5 x
- Uniamo i due intervalli delle soluzioni.
La disequazione iniziale ha per soluzioni:
x x 7
Sono utili le seguenti proprietà del valore assoluto:
se k 2 0 :
a. x 1 k ) - k 1 x 1 k; c. x 2 k ) x 1 - k 0 x 2 k;
b. f x( ) 1 k ) - k 1 f x( ) 1 k; d. f x( ) 2 k ) f x( ) 1 - k 0 f x( ) 2 k.
ESERCIZI PER COMINCIARE
Risolvi le seguenti disequazioni.
ANIMAZIONE 5 - 2 x 1 x+ 2
VIDEO Disequazioni con valore assoluto 2 x - 4 1 x+ 1
ANIMAZIONE x + 8 - 3 2 2 - x
6x – 3
1
2
se x < 2
1 , 6 x – 3 < 0, quindi
|6 x – 3| = –(6 x – 3)
se x 2
1 , 6 x – 3 > 0, quindi
|6 x – 3| = 6 x – 3
1
7
––
1
2
1
2
x < –
1
7
x < ––
x < Ð –
1
7
7
5
1
2
1
2
x –
7
5
x > –
x > –
7
5
x 1 3 )- 3 1 x 13
x 21 ) x 1 - 1 0 x 21
6. DISEQUAZIONI FRATTE E LETTERALI TEORIA
DISEQUAZIONI LETTERALI Esercizi a pagina 440
Una disequazione è letterale se oltre all’incognita contiene altre lettere.
Limitiamo il loro studio alle disequazioni letterali intere di primo grado.
Per risolverle, dobbiamo trasformarle in una delle forme normali:
Ax 2 B; Ax $ B; Ax 1 B; Ax # B.
Con A e B indichiamo delle espressioni che non contengono l’incognita, ma possono
contenere altre lettere.
Giunti a una di queste forme, studiamo il segno del coefficiente A di x, considerando
separatamente i casi:
A 2 0 ; A 1 0 ; A = 0.
Questo studio va fatto perché, se in una disequazione si dividono ambo i membri per
un numero negativo, è necessario cambiare il verso della disequazione.
ESEMPIO
Risolviamo la disequazione a x( + 1 ) 23 x + 2 nell’incognita x.
- Svolgiamo i calcoli e giungiamo alla forma normale:
a x ( + 1 ) 2 3 x + 2 " ax + a 2 3 x + 2 " ax - 3 x 2 2 - a " ( a - 3 ) x 22 - a.
A 20
Se a - 3 20 , cioè a 2 3 :
x a
a
A 10
Se a - 3 10 , cioè a 1 3 :
x a
a
A = 0
Se a - 3 = 0 , cioè a = 3 :
0 $ x 2 2 - 3 " 0 $x 2 - 1.
La disequazione è sempre
verificata.
ESERCIZI PER COMINCIARE
Risolvi le seguenti disequazioni.
ANIMAZIONE (^) a. x
x
7
; b. x x
x 1
2 0
2
$
ANIMAZIONE x
x
6 2 x
VIDEO Sistema di disequazioni vs disequazione fratta Spiega le differenze nella risoluzione del sistema
di disequazioni e della disequazione fratta seguenti.
x
x x
x
Risolvi le seguenti disequazioni nell’incognita x.
ANIMAZIONE ( a - 1 ) ( x - 2 ) 12 x a ( - 1 )
ANIMAZIONE a
ax
a
x
a (^25)
2
A B
cambiamo verso perché dividiamo
per il numero negativo a – 3
ESERCIZI
DISEQUAZIONI LINEARI
1. DISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONI
DISUGUAGLIANZE NUMERICHE Teoria a pagina 402
VERO O FALSO?
a. 2 # 2 V F
b. - 7 2 - 15 V F
c. 2
1 8 V F
d. 0 2 - 11 V F
e. 2
- $ V F
f. 10 10
4 6 1
inserendo gli opportuni simboli di disuguaglianza.
4
2 ; - 7 - 12 ; 5
3
4
3
Proprietà delle disuguaglianze
VERO O FALSO?
a. - 6 2 - 8 "- 6 + 7 2 - 8 + 7 V F
b. 14 2 3 " 14 - 4 13 - 4 V F
c. - 3 1 5 " ( - 3 ) ( $ - 2 ) 25 ( - 2 ) V F
d. 4 2 4 2
e. 3 5 1
V F
Per ogni disuguaglianza esegui l’operazione indicata e scrivi la disuguaglianza che si ottiene.
; - 1 2 - 3 , sottrai - 5 ; - 2 10 , somma - 3 ; 2
- 1 - , moltiplica per - 6.
2 , dividi per 5
- 1 ; 10 1 25 , dividi per - 10 ; 5 2 3 , eleva al quadrato; 6 2 2 , eleva alla - 1.
inserendo i simboli 1 , 2.
2 1 " 7
2 ; 6 2 ( 6 )
2
2
3 1 " 5
3 ; 5 3 ( 5 )
3
3
Se 2
- Se - 3 5, allora 3 2
Se 7 3, allora ( - 1 ) $ 7 ( - 1 ) $ 3. Se 2
, allora 3
Se a 1 0 , allora - a 0. Se a 2 b 2 0 , allora a
b
Se a 1 b 1 0 , allora - a - b. Se a 1 b, allora
a
7
b
7
COMPLETA
COMPLETA
14 DISEQUAZIONI LINEARI
YOU & MATHS (^) From words to symbols Translate the following sentences into mathematical sentences.
a. Roger’s father must be at least 40 years old.
b. Silvia scored 64 500 points and John beat her by less than 200 points.
EUREKA! (^) Solo Se p e q sono interi positivi, x e y sono interi negativi, e p 2 qe x 2 y, quale delle
seguenti espressioni deve risultare minore di 0?
i) q - p; ii) qy; iii) p + x.
A solo i).
B solo iii).
C solo i) e ii).
D solo i) e iii).
E i), ii) e iii).
[USA North Carolina State High School Mathematics Contest, 1999]
EUREKA! Di sicuro Supponiamo che siano entrambe vere le seguenti disuguaglianze, con a, b, c, d! R:
a 2 b, c 2 d.
Quali tra le seguenti disuguaglianze sono sicuramente vere e quali no?
a. a + c 2 b + d. b. a - c 2 b - d. c. a c$ 2 b d$. d. a + d 2 b + c.
[a) vera; b) falsa; c) falsa; d) falsa]
DISEQUAZIONI Teoria a pagina 403
Soluzioni di una disequazione
TEST Solo una delle seguenti disequazioni non ha 4
A x 4
B
x
C 4 x 2 1 + 16 x
D x 4
Indica quali sono le soluzioni delle disequazioni seguenti tra i valori proposti a fianco.
x + 4 $ 2 x 1; - 1 ; 5; 10; 0.
7 ( b - 2 ) + 2 1 b 2; 0; 2
a
a 3 10
y ( y )
y
Intervalli
Rappresenta i seguenti intervalli con le parentesi quadre e sulla retta orientata.
ESEMPIO DIGITALE x 2
#- ; - 3 1 x# 2 ; x 1 x 3
x 2
2 ; x # 7 ; 2 # x 18 ; x 2
x #- 3 ; - 1 1 x 19 ; x 2 x 8
1 - 0 2 ; x $ 7.
x x 9
#- 0 2 ; x 5
$ ; 1 x 2
1 1 ; x 1 - 1.
x 2 x 4
- 0 $- ; x
2
1 ; x 1 - 2 0 x $- 1 ; x $ 6.
x # - 2 0 2 1 x 15 0 x$ 6 ; x x 2
- 0 $- ; x 1 - 3 0 x$ 0.
IN FORMA GRAFICA
1. DISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONI ESERCIZI
Per ciascuno dei seguenti intervalli scrivi le due rappresentazioni mancanti.
9
; x 7
]- 3 ; 3 [ ,] ; 5 + 3 [;
–2 –
2 # x 17 ; 2
3
–7 (^) –
D^ - D;^ x 3
:- +^3 :;^ x^ #^3 0 x$^7.
–2 0
; x 9
Rappresenta in tutti i modi possibili i seguenti intervalli.
I numeri reali: minori di - 2 ; maggiori o uguali a 3
; positivi.
L’intervallo aperto dei numeri reali compresi tra 4 e 5; i numeri reali negativi maggiori di - 0 3,.
L’intervallo dei numeri reali che non superano 2
e che sono maggiori di 2.
I numeri reali compresi tra - 2 e - 1 , escluso - 1 e incluso - 2 ; i numeri reali non negativi minori di 4.
Diversi tipi di disequazioni
VERO O FALSO?
a. Una disequazione è intera se non compaiono frazioni. V F
b. Una disequazione è numerica se l’incognita è l’unica lettera che vi compare. V F
c. x 3 x 2
- $ - 4 è una disequazione numerica, lineare, intera. V F
d.
a a 2
- non è una disequazione numerica intera. V F
e. ax + 5 $ 7 è una disequazione lineare, letterale, intera. V F
TEST Solo una delle seguenti disequazioni è lineare, numerica e intera. Quale?
A 7 x 5 2 x
2
B
t t
3 2
D ( 2 a ) 1 3
2
PRINCIPI DI EQUIVALENZA Teoria a pagina 404
Indica il principio di equivalenza applicato in
ciascuno dei seguenti casi.
a. 4 - x 1 8 " x- 4 2 - 8
b. 2 x x 2
c. x x 5
d. 3 x - 6 2 15 " - x+ 2 1 - 5
e. 7 x - 2 1 x + 1 " 6 x 13
f. 1 1 - 2 x " 2 x 1 - 1
YOU & MATHS Make up an inequality Write
at least 3 inequalities that have the following
interval as their solution: x 2 5.
Stabilisci se le seguenti coppie di disequazioni sono
equivalenti e, in caso affermativo, indica in base a
quale principio.
x 3
1 7 ; - x 2 - 21.
x + 3 # 2 x + 2 ; x + 1 # 2 x.
x 2 3 ; x - 3 10.
x 7
0 ; x $ 0.
2 x - 7 $ 3 ; - 2 x + 7 #- 3.
10 x 10
5 2 1 ; x 10
3
2. DISEQUAZIONI NUMERICHE INTERE ESERCIZI
2. DISEQUAZIONI NUMERICHE INTERE Teoria a pagina 406
COMPLETA Lo zero e le disequazioni
Disequazione Soluzione
0 x 1 - 2
0 x $ 8
0 x # 0
0 x 2 - 7
Disequazione Soluzione
0 x 20
0 x $ 0
0 x 10
0 x 112
12 x 10
CACCIA ALL’ERRORE
a. 8 x 2 0 " x 2 - 8
b. - x - 4 $ 2 " x# 4 - 2
c. 7 3 x 0 x 7
d. - 2 x $x " impossibile
e. 3 x # 6 x - 3 " x# 1
f. x # x " impossibile
CHECKER Risolvi le seguenti disequazioni.
7 x # 14 [ x # 2 ]
x 3
$ 6 [ x $ 18 ]
x 6
1 0 [ x 10 ]
x 3
18 x 2
1 9 1 C
12 x 1 6 x [ x 10 ]
4 x # 1 - 3 x x 7
1 ; # E
x - 2 13 x [ x 2 - 1 ]
5 x + 4 $ 14 [ x $ 2 ]
x + 1 1 x- 3 [impossibile]
3 - x #x- 1 [ x $ 2 ]
2 ( x + 1 ) 12 x + 3 [ 6 x !R]
- x - 2 5 ( x + 3 ) 24 x x 5
2 ; 1 - E
11 - x $ 2 x - ( 1 - x) [ x # 3 ]
x + 1 2 3 4 [ - 7 ( x+ 1 )] x 11
5 9 2 - C
4 3 ( t - 1 ) $- 3 ( t+ 2 ) - 1 t 5
1 ; $ - E
13 1 2 ( x + 3 ) - 5 2( - 3 x) [ x 21 ]
5 ( x - 2 ) - [ ( 3 - 3 x + 1 ) - 2 ] $ 9 x - 2 2( x - 5 ) x 3
7 9 $ C
( 2 b 3 ) ( 3 2 b ) ( 2 b ) 1
2
( 2 x 3 ) 4 ( x 1 ) ( 1 x)
2
13 9 2 C
( x 2 ) x ( 4 x) 3 1( x) 4
2
x ( 2 x 3 ) ( x 1 ) 2 x 3 x 6
2
3 [ x ( 1 2 x )] ( 3 x) ( 3 x) ( x 4 ) 3
2
14 DISEQUAZIONI LINEARI
5 x 3 x x ( 1 ) 4 ( x 1 ) ( 2 x 1 )
2 2
( x 5 ) ( x 5 ) 2 1( 6 x ) ( 1 x) 7 2( x 5 )
2
x - 3 ( x - 5 ) + 4 ( x - 1 ) 1 3 1( - 2 x ) - 6 ( - 1 - x) [ x 1 - 1 ]
( z 5 ) ( 2 z 1 ) 4 z z ( 5 z ) 4 z 21 z
2 2 2
( x x 1 ) 4 x ( 2 x 5 ) ( x x)
2 2 2 2
( x 5 ) ( x 4 ) ( 2 3 x ) ( x 1 ) 2 ( x 3 )
2
- 15 x x ( - 1 ) + 7 ( x - 5 ) $- 3 5( x - 1 ) ( x- 3 ) [ x # - 1 ]
( x x 1 ) ( x x 1 ) x ( x 2 ) ( 2 x) 3 x
2 2 2 2
1
2
9 $ C
( x 1 ) ( x 2 ) ( x 3 ) ( 4 x) 2 1[ ( x 2 ) ] 0
3 2
5
3 ; #^ - E
[( x) ] ( x 2 x 1 ) 2 x ( 2 x 3 ) x
2 2 2 2 2
1 ; 2 E
( x 1 ) [( x 2 ) ( x 2 ) x ] 1 3 x
3 2 2
8 x x ( 3 x 1 ) ( 2 x 1 ) 3 {[ 2 x ( 1 x)] 5 x}
2 3 2 2
1
0
; 1 E
2 ( a 1 ) (a 1 ) 6 ( a 2 )
3 3 2
5 9 # - C
Un problema di costi
Un artigiano, per produrre vasi in ceramica, deve acquistare una nuova attrezzatura
e ha due possibilità:
A) spendere subito € 256 ed avere poi un costo di produzione stimato in € 3,50 al
pezzo, oppure
B) spendere subito € 110 e poi € 3,75 per ogni pezzo prodotto.
Egli riflette: «Se il numero delle formelle sarà basso, il costo minore ce l’avrò con
l’opzione B, ma producendone un buon numero diventerebbe minore il costo A...».
a. Riporta in una tabella i costi sostenuti nei due casi al variare del numero x di pezzi
prodotti (per esempio per x = 0, 100, 200, …, 800).
b. Illustra con un diagramma in quale intervallo il «costo A» è sicuramente superiore
al «costo B» e in quale intervallo è vero il contrario.
c. Traduci in disuguaglianze la situazione illustrata dal diagramma.
LABORATORIO MATEMATICA INTORNO A NOI
Risoluzione. 3 esercizi in pi•.
14 DISEQUAZIONI LINEARI
x x
x x x x
_ _ _ +
b
i i i
l x 3
4 9 $ C
1 x x x x x x x 3
- b + l + b + l 1 - ( + ; + b - lE 2 [ x 10 ]
( x ) ( x ) ( x) x 3
2
1 ; 1 E
x
x x x x
2
2
: a k a ka kD x 5
1 ; $ E
( x ) ( x) ( x ) ( x ) 4
2 2
( b ) ( b) b ( b ) ( b ) 2
2
8 ; $ - E
x x ( x ) x x 5
2 ; b + lb + l - + E - b - l$ [ x $ 0 ]
x
x
x x x 2 x 5
2
b -
b b
l
l l
x 8
3 9 2 C
x
x x
x x 3
2
2
1
b
b b
l
l l [impossibile]
x x x x 3
(^3 2 )
$
3 9 $ - C
( x 2 ) x ( x) x ( x) x 3
2 3 2
- b + l - - + - $ b - l x 7
5 9 $ - C
x x x x x
x
x 4
2 2 3
2
1
b l - +b l x 40
9 9 2 C
2 x x x x x x 3
3 2 2 2 a +^ k -^ a +^ ka -^ k 1 -^ :a +^ kb -^ l+ D x^ 4
9 9 1 - C
Traduci in una disequazione le frasi seguenti.
Il triplo di un numero non supera 39.
Il doppio del cubo di un numero diviso per
il triplo del quadrato non è più di
Il doppio di un numero diminuito di 5
non deve esere maggiore di 7.
Il quadrato di un numero aumentato di 8
non è inferiore a 28.
Problemi sui numeri
Stabilisci quali numeri naturali sono maggiori o
uguali al loro triplo diminuito di 8. [0; 1; 2; 3; 4]
Determina quei numeri naturali il cui quadruplo è
minore del loro doppio aumentato di 7. [0; 1; 2; 3]
Trova il più piccolo numero dispari tale che la
somma tra il suo doppio e il suo consecutivo sia
maggiore di 25. [9]
Determina quali numeri naturali, diminuiti di 1,
sono minori della loro metà. [0; 1]
Stabilisci quali numeri naturali sono tali che il
loro triplo è minore o uguale al loro doppio
aumentato di 2. [0; 1; 2]
Determina il massimo valore che possono assu-
mere tre numeri pari consecutivi affinché la loro
media aritmetica sia minore di 10. [6; 8; 10]
Determina il massimo valore che possono assu-
mere tre numeri naturali pari consecutivi affin-
ché la loro somma sia minore di 60. [16; 18; 20]
2. DISEQUAZIONI NUMERICHE INTERE ESERCIZI
Determina quali numeri naturali godono della
proprietà seguente: diminuendo il numero del
25%, si ottiene un numero minore di 33. [n 1 44 ]
Determina i valori di x! R tali che la somma
tra x, la sua metà e la metà della sua metà superi
il triplo di x di almeno 10. [ x # - 8 ]
Determina i numeri naturali per i quali la diffe-
renza tra i quadrati del numero e del suo succes-
sivo è:
a. maggiore del numero stesso;
b. maggiore o uguale a - 1 ;
c. minore o uguale alla somma tra - 1 e la metà
dell’opposto del numero stesso.
[a) impossibile; b) n = 0 ; c) 6 n! N]
Determina i valori di n! Nper i quali la frazio-
ne n
n
16
risulta propria. [n 1 5 ]
Sottraendo alla somma di due multipli di 3 con-
secutivi la metà del numero minore, si ottiene un
numero minore o uguale a 30. Trova i più grandi
multipli di 3 che soddisfano la condizione.
[18; 21]
Considera il polinomio
P x ( ) 2 ax ( a 1 ) x 4
2 = - - +.
Calcola per quali valori del parametro a:
a. P ( - 1 ) 10 ;
b. P P( ) 2
b l 2 - 2. :a) a 1 - 1 ; b) a 4
1 1 D
Problemi geometrici
Quali valori può assumere la misura x del lato di
un triangolo equilatero affinché il suo perimetro
sia minore dei 2
di quello di un quadrato di lato
3 cm? [ x 110 ]
I lati di un parallelogramma sono uno i 4
del-
l’altro. Stabilisci per quali valori della misura x
del lato minore il semiperimetro del parallelo-
gramma risulta maggiore di quello di un trian-
golo equilatero di lato 9 cm. [ x 212 ]
Nel triangolo ABC il lato AB è i 3
del lato BC e
supera di 2 cm il lato AC. Per quali valori della
misura di AB il perimetro del triangolo è mag-
giore di 24 cm? 6 AB 210 @
Un rettangolo ha un lato che è i 7
dell’altro.
Quali valori può assumere la misura x del lato
maggiore affinché il perimetro del rettangolo
risulti maggiore di quello di un quadrato di lato
6 cm? [ x 27 ]
Determina quali valori può assumere x affinché
il semiperimetro del rettangolo in figura risulti
maggiore o uguale a 20 cm. [ x $ 11 ]
(x + 1) cm
2
3
altezza = Ð della base
In un triangolo ABC l’angolo AW^ ha ampiezza
pari ai 5
dell’angolo BV. Determina quali valo-
ri può assumere l’ampiezza di AW^ affinché CW^ sia
maggiore di 90°. [ ° 0 1 AW 140 °]
Il lato di un quadrato misura x cm. Un rettango-
lo ha un lato di x cm e il perimetro che supera di
8 cm quello del quadrato. Determina:
a. la misura del lato maggiore del rettangolo in
funzione di x;
b. quali valori può assumere x affinché l’area del
rettangolo superi di almeno 10 cm
2 quella del
quadrato. [a) x + 4 ; b) x $ 2 5, ]
Problemi INTORNO A NOI ed EDUCAZIONE FINANZIARIA
Piccole spese Luigi entra in cartoleria con € 42, acquista 6 penne e
poi decide di comprare dei quaderni in numero doppio rispetto a
dei blocchetti di post-it. Se i prezzi sono quelli indicati, quanti qua-
derni in totale può comprare al massimo? [9]
penna = €1,
post-it = €1,
quaderno = €3,
