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Elementi di calcolo delle probabilità
La probabilità, P, è la misura del verificarsi di un evento aleatorio, E, ovvero è la misura P(E)
Gli eventi (osservabili) possono essere elementari, , o classi
(insiemi) di eventi (es. A 1 , A 2 , ..., B 1 , B 2 ,... ), anche ottenuti tramite operazione di insiemi come ad esempio Ai , Ai , A , ... L’insieme di tutti i possibili eventi costituisce lo spazio, , dei possibili eventi Una prova sperimentale dovrà quindi restituire un evento o una classe (un sottoinsieme) appartenente a , ovvero Ai Come definire e quindi misurare P(E)? In generale sia P una funzione di insiemi che assegna ad ogni evento Ai, un numero.
Si definiscano le seguenti regole (assiomi o postulati) 1- P(A) 0 2- P() = 1 3- P(Ai) = P(Ai) se Ai Aj = ij Dai postulati si può dimostrare (ad esempio) 1- P( A )= 1P(A) 2- P(AB) = P(A)+P(B) - P(AB) 3- P() = 0 4- P(A \ B ) ( P(A – B) ) = P(A) P(AB) 5- P(AB) = P(B) se BA 6- ... Si deduce che 0P(E) 1
Eventi condizionati ed Eventi indipendenti Se si è interessati alla probabilità di osservare A essendosi verificato B, significa che si vuole sapere la probabilità che dopo B compaia anche A. Utilizzando l’approccio classico tale operazione si riconduce a P(A | B ) =
casi favorevoli a (AB)
casi favorevoli a B
P(AB)
P(B)
con P(B)> da cui dedurre P(AB) = P(B)P(A|B) (formula delle probabilità composte) {n.b. A mero scopo illustrativo si veda quanto segue!!!} Esempio: una stima della probabilità di avere il segno “-“ per IntesaSanPaolo avendo osservato il segno “-” per Generali sarebbe 76,7% IntesaSanPaolo Negativo Positivo Generali Negativo 370 112 482 Positivo 113 342 455 483 454 937 Ripensando alle tabelle a doppia entrata, P(A|B) = P(AB) P(B) ha la stessa interpretazione delle distribuzioni condizionate relative che erano state definite come ೕ . o ೕ .ೕ .
Esempio: Se la tabella dovesse comprendere le probabilità di accadimento di eventi congiunti/marginali, avremmo Pr(XY) (^) Y X R S Pr(X) G 0,2 0,3 0, H 0,1 0 0, M 0 0,4 0, Pr(Y) 0,3 0,7 1 -o-o-o-o-o-o- P(A | B ) = P(A) se il condizionamento a B non influenza il manifestarsi di A P(B | A ) = P(B) se il condizionamento ad A non influenza il manifestarsi di B Si deduce che P(AB)=P(A)P(B) Tale condizione, se verificata, definisce una situazione di indipendenza stocastica tra A e B. { n.b. A mero scopo illustrativo!!!} Ripensando alla fattorizzazione delle frequenze congiunte come condizione per garantire assenza di connessione, P(AB)=P(A)P(B) ha la stessa interpretazione di 𝑓 = 𝑓. 𝑓..
-o-o-o-o-o-o- Ogni v.c. X è caratterizzata da una funzione di ripartizione (^) così definita: (^) = La F.d.R gode delle seguenti proprietà
1- è non decrescente ovvero se x 1 < x 2 ଵ ଶ
2- lim
x ଡ଼ = 0^ ;^ lim x +
3- è continua a destra ovvero lim
x x+ 0
ଡ଼ =^ ଡ଼
-o-o-o-o-o-o-
V.C. Discrete Una v.c. si dice discreta se i valori X costituiscono un insieme finito o al più numerabile. La F.d.R. è definita da ௫ஸ௫ La funzione ௫ஸ௫ ௫ழ௫ è detta funzione di probabilità (f.d.p.) e assegna massa (di probabilità) p0 all’evento X=x. I momenti (Valore Atteso di ordine r) di una v.c. discreta Analogamente alle v.s. è possibile definire il valore atteso di X di ordine r. ௫∈ℝ caso discreto { n.b. A mero scopo illustrativo!!!} Ripensando ai momenti dall’origine di ordine r, 𝐸(𝑋 ) ha la stessa interpretazione di 𝑀(𝑋 ) con 𝑓 inteso come 𝑝(𝑥).
p(y) =
k dove y=
k
k
k
k k -o-o-o-o-o-o- Es. - v.c. lancio di una moneta X~U(2) p(x) =
con x=1, ovvero esempio : “testa”=1, “croce”=2. È ovviamente possibile trasformare X in Y=X 1 ovvero “testa”:=0, “croce”:=1. Da cui Y~U(2) p(y) =
con y=0,1. In tal caso E(Y) = E(X) 1 = (k+1) 2
Var(Y) = Var(X 1) =Var(X)
Es. - v.c. lancio di un dado X~U(6) p(x) =
con x=1,2,..., DADO (etichetta “faccia”) p(“faccia”) v.c. X p(x) F.d.R. A 1/6 1 1/6 1/ B 1/6 2 1/6 2 / C 1/6 => 3 1/6 3 / D 1/6 4 1/6 4 / E 1/6 5 1/6 5 / F 1/6 6 1/6 6 / E(X)= 3. Var(X)= 2.
- Se considero il lancio di due dadi (X e Y) considerando rilevante l’ordine (e ipotizzandoli indipendenti in senso stocastico) ottengo la v.c. W={X,Y} 1 2 3 4 5 6 1 {1,1} {1, 2 } {1, 3 } {1, 4 } {1, 5 } {1, 6 } 2 { 2 ,1} { 2 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 4 } { 2 , 5 } { 2 , 6 } 3 { 3 ,1} {3,2} { 3 , 3 } { 3 , 4 } { 3 , 5 } { 3 , 6 } 4 { 4 ,1} { 4 , 2 } { 4 , 3 } { 4 , 4 } { 4 , 5 } { 4 , 6 } 5 { 5 ,1} { 5 , 2 } { 5 , 3 } { 5 , 4 } { 5 , 5 } { 5 , 6 } 6 { 6 ,1} { 6 , 2 } { 6 , 3 } { 6 , 4 } { 6 , 5 } { 6 , 6 } P(W) 1 2 3 4 5 6 1 1/6 × 1/6 0.02778 0.02778 0.02778 0.02778 0. 2 0.02778 0.02778 0.02778 0.02778 0.02778 0. 3 0.02778 0.02778 0.02778 0.02778 0.02778 0. 4 0.02778 0.02778 0.02778 0.02778 0.02778 0. 5 0.02778 0.02778 0.02778 0.02778 0.02778 0. 6 0.02778 0.02778 0.02778 0.02778 0.02778 0. Da cui W~U(36) p(w) =
- Se si è interessati alla somma dei punteggi si ha la v.c. V=X+Y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 V=X+Y P(V=X+Y) (ovvero) 2 0.027778 =1 x 1/ 3 0.055556 =2 x 1/ 4 0.083333 =3 x 1/ 5 0.111111 =4 x 1/36 (^) E(X+Y)= 7 6 0.138889 =5 x 1/36 Var(X+Y)= 5. 7 0.166667 =6 x 1/ 8 0.138889 =5 x 1/ 9 0.111111 =4 x 1/ 10 0.083333 =3 x 1/ 11 0.055556 =2 x 1/ 12 0.027778 =1 x 1/ che non è una v.c. uniforme discreta e che è identica sia che si consideri l’ordine di accadimento dei dadi sia che non lo si consideri.
- v.c. somma e media di 3 dadi indipendenti (X,Y,Z) X + Y + Z Z (X+Y) 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 7 8 9 10 11 12 13 8 9 10 11 12 13 14 9 10 11 12 13 14 15 10 11 12 13 14 15 16 11 12 13 14 15 16 17 12 13 14 15 16 17 18 P(X+Y+Z) = P(X+Y)×P(Z) 1 2 3 4 5 6 2 0.00463^ 0.00463^ 0.00463^ 0.00463^ 0.00463^ 0. 3 0.009259^ 0.009259^ 0.009259^ 0.009259^ 0.009259^ 0. 4 0.013889^ 0.013889^ 0.013889^ 0.013889^ 0.013889^ 0. 5 0.018519^ 0.018519^ 0.018519^ 0.018519^ 0.018519^ 0. 6 0.023148^ 0.023148^ 0.023148^ 0.023148^ 0.023148^ 0. 7 0.027778^ 0.027778^ 0.027778^ 0.027778^ 0.027778^ 0. 8 0.023148^ 0.023148^ 0.023148^ 0.023148^ 0.023148^ 0. 9 0.018519^ 0.018519^ 0.018519^ 0.018519^ 0.018519^ 0. 10 0.013889^ 0.013889^ 0.013889^ 0.013889^ 0.013889^ 0. 11 0.009259^ 0.009259^ 0.009259^ 0.009259^ 0.009259^ 0. 12 0.00463^ 0.00463^ 0.00463^ 0.00463^ 0.00463^ 0. Esempio: Pr(X+Y+Z=4) = Pr(X+Y=2)xPr(Z=2) + Pr(X+Y=3)xPr(Z=1) = = 1/36 x 1/6 + 2/36 x 1/6 = 1/72= 0,
Bernoulli: X ~ Be( )
p(x;) =x(1)^1 x^ x=0, E(X)= Var(X)=(1) FX(x=1) =P(X1) = ^0 (1)^1 ^0 +^1 (1)^1 ^1 = Es.
- v.c. vincita o perdita ad un gioco d’azzardo (v. es. moneta truccata)
- v.c. aumento o ribasso (a fine contrattazioni) di un titolo di borsa
Binomiale: X ~ Bin(n, )
௫ ି௫ ௫ ି௫ (^) ௫ஸ௫ Viene tipicamente usata in tutti quegli esperimenti di esito dicotomico (vero/falso, bianco/nero, ecc.) che si succedono in modo indipendente in senso stocastico (es. nel c.d. campionamento casuale semplice) e di cui si è interessati all’evento somma di successi dopo n prove. È definibile come somma di n eventi aleatori indipendenti in senso stocastico (i.i.d) di tipo Bernoulliano di parametro .
Quindi data una X ~ Bin(n, ) è possibile scrivere
ୀଵ con
Xi ~ Be( ) e i.i.d. per i=1,…,n. Da tale risultato si deduce
E(X) = n Var(X)=n(1) Esempi
- v.c. x vincite in n tentativi ad un gioco d’azzardo
- v.c. numero di palline di colore C estratte con reimmissione da
un’urna che contiene una frazione di palline C
- v.c. x aumenti (o riduzioni di valore) (a fine contrattazioni) in n giorni consecutivi di un titolo di borsa
B ) Qual è la probabilità che su 5 gg consecutivi registri il segno (+) 3 volte
X ~ Bin(5, =0.45)
gg Casi 1 2 3 4 5 Pr(Casi) 1 + + + - - 0.45×0.45×0.45×0.55×0. 2 + + - + - 0.45×0.45×0.55×0.45×0. 3 + + - - + 0.45^3×0.55^ 4 + - + + - 0. 5 + - + - + 0. 6 + - - + + 0. 7 - + + + - 0. 8 - + + - + 0. 9 - + - + + 0. 10 - - + + + 0. Pr(B)=10×0.45^3×0.55^ R: p(3;5,0.45) =
0.45^3 (10.45)^5 ^3
C ) Qual è la probabilità che su 5 gg consecutivi registri il segno (+) x volte X Pr(X) 0 0. 1 0.205889063 E(X)= 2. 2 0.336909375 Var(X)= 1. 3 0. 4 0. 5 0. R: p(x;5,0.45) =
x 0.45x(10.45)^5 x
D ) Qual è la probabilità che su 5 gg consecutivi si registri il segno (+) non più di x volte R : P(Xx)= FX(x) = (^) i= x p(i;5,0.45) = = (^) i= x
i 0.45i(10.45)^5 i^ per x=0,1,2,3,4, X F(X) 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 1
