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Una introduzione alle variabili casuali, definendo loro la natura e le loro proprietà statistiche. Vengono forniti esempi di variabili casuali discrete e continue, insieme a loro funzioni di probabilità e distribuzioni. Inoltre, vengono trattate le mediane, i valori attesi e le covarianze.
Tipologia: Dispense
Caricato il 24/10/2019
4.5
(2)21 documenti
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Inferenza Statistica – U.S.C.S. a.a. 2018-19Inferenza Statistica – U.S.C.S. a.a. 2018-
Le Variabili Casuali
Eugenio Brentari
a.a. 2018-
Le variabili casuali (v.c.)
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Le variabili casuali (v.c.)
Esempi di fenomeni aleatori, interpretabili da variabili
casuali [o variabili aleatorie o stocastiche ]
il numero di teste ottenute lanciando insieme 3 monete
il numero di chiamate effettuate da abbonati al
telefono in un certo intervallo di tempo
il numero di pezzi difettosi in un lotto di 100
la durata di vita in ore di una lampadina
Definizione di v.c.
Si definisce variabile casuale , aleatoria o stocastica,
(univariata) una funzione , definita nello spazio degli
eventi :, che ad ogni evento di : associa un numero
reale.
x
i
i
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Esempio 1 – v.c****. discreta
Esperimento: si lancia una moneta (bilanciata) 3 volte
v.c. : numero di teste (che si possono presentare nei 3 lanci)
T T C
T T C
T CT
CT T
T C
CT C
C C T
T
C C C
:
Valore Probabilità
3
2
1
0
1/
Ogni valore assunto dalla v.c. dipende dal verificarsi di un
evento aleatorio, sotto-insieme di :. Questi eventi
costituiscono una partizione di :.
3/
1/
3/
Partizione
Si definisce partizione dello spazio campionario ogni
insieme di eventi, a due a due incompatibili, la cui
unione è uguale a :.
A A A i j i j
i j
k
i
i
: , , z
1
1 1
¦
k
i
i
k
i
Gli eventi A e A sono una partizione di :
Gli eventi A
i
, i = 1, 2,…, k sono una partizione di : se
Data una qualsiasi partizione di :, si ha che
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Partizione
A 1
A 2
Ai
Ak
Esempio 2 – v.c. discreta
:
cc cd ce cf cg ch
dc dd de df dg dh
ec ed ee ef eg eh
fc fd fe ff fg fh
gc gd ge gf gg gh
hc hd he hf hg hh
Torniamo alla coppia di dadi (regolari) a 6 facce e
consideriamo la v.c. : somma dei punti sulla faccia superiore
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v.c. discrete – Funzione di Probabilità
i i i
Si chiama funzione di probabilità della v.c. discreta
X la funzione così definita (qui nel caso di un
numero k finito di realizzazioni):
¦
k
i
i
px
1
v.c. discrete
Distribuzione di Probabilità
Si definisce distribuzione di probabilità della
v.c. discreta X , l’insieme dei valori x
i
e dei
valori p
i
i
i
Rappresentazione
Tabellare
Grafica (diagramma a bastoncini)
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Esempio 3 – v.c. discreta
Esperimento: si lanciano due dadi (regolari)
v.c. : massimo tra i due valori ( a, b ) di ciascun risultato
:
X p ( x
i
Esempio 3 – v.c. discreta
P ( X = x )
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 0,
0,
0,
0,
0,
0,
1
X p ( x
i
)
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Esercizio – v.c****. discrete definite sullo stesso :
X p ( x
i
p ( y
i
W p ( w
i
p ( u
i
Z p ( z
i
v.c. discrete – Funzione di Ripartizione
Si chiama funzione di ripartizione della v.c. X la
funzione
F ( x ) P ( X d x )
Sia X una variabile casuale discreta e finita, i cui valori
x
1
, x
2
, … x
n
siano supposti distinti e ordinati in ordine
crescente; inoltre siano p
1
, p
2
, … p
n
le probabilità
corrispondenti.
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v.c. discrete – Funzione di Ripartizione
Se il numero di realizzazioni è finito:
F ( x ) = 0 x < x
1
F ( x ) = S
j d i
p
j
x
i
d x < x
i + 1
i = 1, 2,…, k – 1
F ( x ) = 1 x t x
k
x ®-¥
x ®+¥
In generale
v.c. discrete – Funzione di Ripartizione
Si rappresenta con una funzione a gradini
(continua a destra)
È una funzione monotòna non decrescente:
F ( a )d F ( b ) se a b
Vale, inoltre:
Prob a X d b F ( b )- F ( a )
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v.c. continue
Funzione di densità di Probabilità
Una v.c. continua X , che assume valori x in un intervallo
( I ; S ) (limitato o illimitato) è caratterizzata dalla funzione
di densità di probabilità ( f.d .)
f ( x ) t 0 x ( I ; S )
che può essere interpretata come il valore della probabilità
associata all’intervallo di ampiezza 1 centrato su x :
( x – 0,5 ; x + 0,5)
) L’interpretazione di f ( x ) è quindi analoga a quella che avete
visto con hi nelle rappresentazioni grafiche per le variabili
statistiche
v.c. continue – f.d.
a b
f ( x )
I S
1
P ( a < X d b )
P a X d b
Per a < b , la probabilità è pari all’area
sottostante f ( x ) nell’intervallo ( a ; b )
L’area sottostante f ( x ) nell’intero intervallo ( I ; S )
è quindi pari a 1
Ma se a e b coincidono, l’area dell’intervallo (cioè
di un punto) è nulla, quindi necessariamente:
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v.c. continue – Funzione di Ripartizione
Per una v.c. continua X la funzione di ripartizione
F ( x ) = P ( X d x )
è pari all’area sottostante f ( x ) nell’intervallo ( I ; x )
I S
F ( x )
1
x
f ( x )
I S
P ( X d x )
Si ha ovviamente F ( S ) = 1
v.c. continue – Funzione di Ripartizione
Si rappresenta con una funzione continua
F ( a )d F ( b ) se a b
P a d X d b F ( b )- F ( a )
lim ( ) 0
® -¥
F x
x
lim ( ) 1
® +¥
F x
x
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Valore Atteso di una v.c. discreta
¦
n
i
n n i i
E X xp x p x p xp
1
1 1 2 2
Esempio 5 – Valore atteso di una v.c. discreta
Nella v.c. X “risultato
nel lancio di un dado”,
il valore atteso è
X P ( x )
x·P ( x )
6
1
¦
i
i i
E X xp
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Esempio 6 – Valore atteso di una v.c. discreta
Le probabilità soggettive che uno studente si
attribuisce in relazione al voto che può riportare in
un esame sono indicate nella tabella che segue.
P ( x )
Determinare il valore atteso della v.c. “voto nella
interrogazione”.
Esempio 6 – Valore atteso di una v.c. discreta
Dai dati della precedente tabella e applicando la
formula del valore atteso nel caso di v.c. discrete
si ricava che
5
1
¦
i
i i
E X xp
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Covarianza di ( X , Y )
ij
Cov ( X , Y ) E X - E ( X ) Y - E ( Y )
é
ë
ù
û
Cov ( X , Y ) E X Y - E ( X ) E ( Y )
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Osservazione
Varianza di una v.c.
2 2
Var ( X ) V E X - E X
