Immagina di essere il gestore di un piccolo sportello postale. Hai
notato due fenomeni distinti:
(1) le persone arrivano allo sportello con un tempo di attesa medio
tra un cliente e l'altro di 8 minuti, seguendo una distribuzione
esponenziale;
(2) quando lo sportello chiude per la pausa pranzo, un timer casuale
blocca la porta automatica in un momento qualsiasi tra 0 e 10 minuti
dopo l'orario di chiusura, seguendo una distribuzione uniforme. Se
un cliente arriva esattamente all'orario di chiusura, perché usiamo
modelli diversi per descrivere queste due attese e cosa
rappresentano, intuitivamente, il valore atteso e la probabilità che
l'evento accada entro i primi 5 minuti in entrambi i casi?
DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE;I CLIENTI CHE ARRIVANO ALLO SPORTELLO CON
UNA MEDIA DI 8min
è proprio caratterizzata dal fatto che gli intervalli brevi sono i più frequenti
DISTRIBUZIONE UNIFORME; il timer della porta che scatta in un
momentoqualsiasi tra 0 e 10 minuti (distribuzione uniforme).
suggerisce che non ci sono intervalli privilegiati
Se dovessi scommettere, diresti che è più probabile che la porta si blocchi tra il minuto 1 e 2, oppure tra il minuto 8 e 9
ogni intervallo della stessa ampiezza ha la stessa probabilità.
Ora proviamo a calcolarla. Se hai 10 minuti totali a disposizione e la porta può chiudersi in un momento
qualsiasi, quanta probabilità (in percentuale o frazione) daresti all'eventualità che si chiuda esattamente
nella prima metà del tempo, cioè entro i primi 5 minuti?
>
50% (0,5)
Ampiezza= Max - Min/n° classi => 5-0/10=5 0,5
Ora torniamo alla distribuzione esponenziale dei clienti (media 8 minuti). Qui
le cose cambiano perché non è tutto "piatto" come nell'uniforme.
n
•
Media (
) = minuti.
•
Distribuzione: Esponenziale.
Proviamo a risolverlo insieme passo dopo passo:
1. Parametro e Varianza
Nella distribuzione esponenziale, la relazione tra media e è
fondamentale:
. Se la media è , quanto vale ?
E per la varianza, ti ricordi la formula? È
.
2. Probabilità di attendere "più di 6 minuti"
1.
(entro un certo tempo)
2.
(oltre un certo tempo)
"Spiega brevemente la relazione che intercorre tra il valore atteso e la deviazione standard in questa specifica
distribuzione."
Nella distribuzione Esponenziale, accade una cosa molto particolare che non succede quasi mai nelle altre distribuzioni:
1.
Sappiamo che il Valore Atteso è:
2.
Sappiamo che la Varianza è:
3.
La Deviazione Standard ( ) è la radice quadrata della varianza:
Un'azienda utilizza un serbatoio di carburante con una capacità massima di 10.000L. A causa di una gestione
decentralizzata dei rifornimenti, il livello di carburante rimasto nel serbatoio alla fine settimana è modellato come una
VARIABILE CASUALE CONTINUA (X) distribuita uniformemente tra 2000 e 10.000L
Il punto 1 chiede: "Determinare il valore atteso della quantità di carburante
disponibile e spiegarne il significato."
E[X]=2.000+10.000=12.000=6.000 litri
Ora passiamo al punto 2, che è fondamentale:"Se lunedì serve un carico di almeno
4.000 litri, qual è la probabilità che il serbatoio ne contenga a sufficienza?"
In pratica dobbiamo calcolare
. Nella distribuzione uniforme, la
probabilità si calcola come:
ampiezza intervallo favorevole
1.
Distribuzione Uniforme
Si usa quando ogni valore in un intervallo
ha la stessa probabilità.
1.
Valore Atteso (Media):
2.
Varianza:
3.
Probabilità nell'intervallo
:
(Parte favorevole diviso Parte
totale)
2. Distribuzione Esponenziale
Si usa per i tempi di attesa. Il parametro è (tasso).
1.
Relazione Media/Parametro:
quindi
2.
Varianza:
3.
Deviazione Standard:
(Nota: è uguale alla media!)
4.
Probabilità "Entro il tempo ":
5.
Probabilità "Oltre il tempo ":
3. Distribuzione Normale
Si usa per fenomeni naturali, errori, consumi.
Standardizzazione (trasformare in ):
•
Formula Inversa (trovare da ):
•
Probabilità tra due valori:
(Valore tavola del
secondo meno valore tavola del primo)
•
Simmetria sulla tavola:
•
4. Definizioni Generali (Valide sempre)
Deviazione Standard ( ): è sempre la radice quadrata della varianza
•
Probabilità Totale: L'area totale sotto ogni curva di densità è sempre 1.
•
Complemento:
•
Un piccolo consiglio per l'esame: Quando leggi il testo, identifica subito se parla di
un intervallo (Uniforme), di un tempo medio di attesa (Esponenziale) o se dice
esplicitamente "distribuita come una Normale"
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VARIABILI CASUALI CONTINUE
sabato 13 giugno 2026
16:54
STATISTICA Pagina 1
