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(^19). 11. 2024 Variabili casuali continue
una variabile casuale X è detta continua se esiste una funzione f(x) tale che la funzione di ripartizione
F(x) =^ P(XX) è data dall'area soflesa ad f(x) alla^ sinistra di^ X
A
PEEX (^) F > N P(X =^ a)^ (X(a)v(a = X = (^) b)u(xyb) =^2 (X(a)1(a =^ X^ =^ b)1(xyb)^ =^0 -^ DISOIUNTI
A 1 = P(t) = P((X(a)v(a = X = b)v(xyb)
1 = (^) p(xxa) + (^) P(a[X(b) + (^) p(x> (^) b) [3 assioma]
- P(x= (^) a) + 1 - p(X > (^) b) = (^) P(a = X = (^) b) prob. 1 = p(x(b) - p(X =^ a) = (^) P(a = (^) x = b) dei m (^) per (^) continuita
complement
p(x(b) - P(x[a) = di (^) F(x) Il F(b) - F(a) =^ p(a^ =^ X^ =^ b) b = (^) a + f P(a +^ f)^ =^ F(a^ +^ S)^ -^ F(a) lim (^) P(a = (^) x = a + (^) f) = lim (^) F(a + (^) f) = F(a) = (^) F(a) - F(a)= (^0) + (^) P(a = (^) X = (^) a) = (^) P(X = (^) a) 8 -^0 8 -^0 F. Continua :^ prob. che la variable assuma (^) un valore (^) preciso = o (^6) non ha senso definive una funzione di probabilità limax a +S ) 8 -^0 =-Fa^ =
N^ area^ del^ relangelo
Graficamente : (^) -* P(x =^ XX^ +^ 6) = (^) f(x (^) + (^) E)
- G
) (^) = (50 +^ (X^ +^ 2)^ =^
+ x
- (^) (x) (^) = FX) FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITA
F(x) = (+(t(d+ ( f(x) (^) = F(x) % :E
ETY
var[y] =^1
valore atteso^ e Variania (^) ↑
E[x]
=( xf(x)dx^ var[x] = Et(X- (^) ETX](") (^) =fX-E[x])^ f(x)dxsey=^ a^ +^ bx Formula (^) ridotta :^ ETY] =^ a +^ bE[x] var[x) =^ E[X) - E[x]) = +(xdX^
- ( + (^) (x(ax) momenti centrali e (^) non centrali ↓ E ET(X-E[x3(m] E[Xm)^ =^ Asimmetria^ e^ curtosi^ sono^ funzioni^ dimomenti^ centrali^ m^ =^3 em^ =^ n
Esempio :^ calcola^ valore^ atteso^ e^ varianza
f(x) = 3x?^ oxx^1 I (^) O (^) altrimenti^ Sxidx^ = Pr
E[x]
=Sxf(xdx^ =( x + (^) ((dx + (x
+ (x)dx^ +
j
(xdx
= x 0dx (^) + (xxxxx = s = = 075 varix) =^ EIx - (Et))" = e-l)= - A = = 0. 035 ETXY = 1 +(xdx = (
x -3xdx =
)'3xdx
xdx = s[*)! = s(z -^ E)^ = Quantili di variabile casuale continua Dato un livello di (^) probabilità (^) pe[0, 1]^ , si definisce il^ quantile di ordine (^) p della variabile casuale X con funzione di (^) Ripartizione F(x) il (^) valore (^) Xp tale che : P(X = (^) Xp) = (^) F(Xp) =^ P
Graticamente :
P Areaugualee se
