Dispense di Matematica Generale, Dispense di Matematica Generale

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PARTE 1 GLI INSIEMIR ER”. 1.1 Insiemi numerici Gli insiemi numerici sono gli insiemi più conosciuti ed usati nell’Analisi Matematica. Tutti hanno la nozione di numeri naturali, indicati con N, che sono i numeri si impara da bambini quando si inizia a contare: N = {0,1,2,3,...,n,n+1,...}. Osserviamo che N è un insieme chiuso rispetto all’operazione di addizione. Siano infatti n,m € N. Allora, n + m € N. Non è invece chiuso rispetto all'operazione di sottrazione. Siano infatti n,m € N con n < m. Il numero n — m, essendo minore di 0, non appartiene ai naturali. Per avere un insieme chiuso anche rispetto all'operazione di sottrazione, dobbiamo estendere i naturali all'insieme dei numeri interi relativi I numeri interi relativi, indicati con Z, sono una estensione dei naturali, considerando gli stessi ed i loro opposti: Z = {0, 1, —1,2, --2,3,--3,...,n,—n,n+1,-n-1,..}. Per tale ragione, l'insieme degli interi relativi è chiuso rispetto alla operazione di addizione e di sottrazione, laddove, come si è visto, i naturali sono chiusi solo rispetto all’operazione di addizione. L'insieme dei numeri interi relativi è chiuso rispetto all'operazione di moltiplicazione tra numeri. Infatti, siano w,z € Z. Allora w - 2 € Z. Tuttavia, esso non è chiuso rispetto all'operazione di divisione tra numeri. Infatti, 16 Ze2€Z ma definendo a := 1/2 si ha a é Z. Per avere un insieme chiuso anche rispetto all'operazione di divisione, dobbiamo estendere i numeri interi relativi all'insieme dei numeri razionali, I numeri razionali, indicati con Q, sono i numeri del tipo: n Qq= {Linmez,my0}. m È’ di immediata verifica che Q è chiuso rispetto alle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Esso è perciò un campo). L'insieme dei numeri razionali, pur essendo un campo, non soddisfa alcune proprietà che sono fondamentali nell’Analisi Matematica. Infatti, per esempio, non contiene la maggior parte delle radici di numeri naturali. Come conseguenza, non soddisfa il cosiddetto “assioma di completezza di Dedekind” (vedi prossima sezione). In altre parole, in Q non tutti i sottoinsiemi limitati superiormente (inferiormente) possiedono Sì noti che quella data non è la definizione rigorosa di campo, ma riporta la principali proprietà che un campo deve avere.