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M. Grosso - Statistica
Distribuzioni di Probabilità
- Distribuzioni discrete
- Distribuzione uniforme discreta
- Distribuzione di Poisson
- Distribuzioni continue
- Distribuzione Uniforme
- Distribuzione Gamma
- Distribuzione Esponenziale
- Distribuzione Chi-Quadro
- Distribuzione normale o Gaussiana
- Distribuzione di tipo Standard
- Distribuzione normale o Gaussiana di tipo generico
- Distribuzione T di student
- Distribuzione F di Fisher
Distribuzione Uniforme Discreta
- Un variabile aleatoria è di tipo Uniforme Discreto se la funzione densità di probabilità è:
f (^) Y (y) ( )
altrove
y N
N
f Y y
L V i bil Al t i di d
1 2 3 N y
La Variabile Aleatoria dipende
da un solo parametro:N
N
μ Y
2 2 −^1
N
Media: Varianza: σ Y
M. Grosso - Statistica
Distribuzione di Poisson
- La variabile aleatoria di Poisson è caratterizzata dalla funzione densità di probabilità:
( ) 0
−
altrove
y
y
e
f y
x
Y
DiDi pende dal solo parametrod d l l t λλ
Media: μ Y = λ Varianza: σ Y^2 = λ
Distribuzione di Poisson
- Alcuni esempi di distribuzioni di Poisson:
f(y)Y
0.
0.
0.
0.
0. λ=
f(y)Y
λ=
0.00 (^0 2 4) y (^6 8 100 5 10) y 15 20 25
M. Grosso - Statistica
Distribuzione Gamma
( )
( )
( ) ( )
−
y y y
r
f yr
r
exp 0
1
- Variabile aleatoria a due parametri:
( )
altrove
f Y yr
- La funzione Gamma di Eulero Γ(r) è definita come:
( ) (^) ∫
∞ − −
0
r exxr^1 dx
Distribuzione Gamma
- Proprietà : •^ Esempi di distribuzioni Gamma:
r Y =
2
2
r Y =
Media:
Varianza:
f^ (y)Y^
r = 1 r = 2
λ = 1
- La funzione assume valore massimo in corrispondenza di:
Maxf (^) Y : y max =^ (^ r −^1 )λ
(^0 5) y 10 15
M. Grosso - Statistica
Distribuzione Esponenziale
- Caso particolare della Gamma (r = 1)
Un solo parametro: λ ( ) ( ) ( ) ( )
exp 0 1 exp
f y y y F y y
λ λ λ
= − ≥ = − −
Un solo parametro: λ
1 = (^2) 2 1
pdf (^) cdf 1 λ
fY (y) FY (y)
y (^) y
Distribuzione Chi-Quadro
- Caso particolare della Gamma (λ = ½,r = ½ k)
( )
( )
−
altrove
y
y
y
k
f yk
k k
Y
exp
21 / 2 Un solo parametro k
μ = k σ^2 = 2 k
lim fY^ (^ y ,^1 )^ =∞
y
0 2 4 6 8 10
f^ (y)Y^
0.4 n = 1n = 2 n = 3
( ) → lim^ , 0
fY y y
( ) 2
fY y , (^2) y = 0 =
M. Grosso - Statistica
Distribuzione normale di tipo standard
- Nota la distribuzione è possibile calcolare la probabilità di un qualunque evento per Z
- Esempio: probabilità Z < 1.
L’area segnata in blu rappresenta la probabilità che si verifichi un qualunque numero Z < 1.
13
-4 -2 (^) x (^0) Z=1.05 2 4
ovvero P(Z<1.05)
Distribuzione normale di tipo standard
- La curva a campana è simmetrica rispetto all’origine
- Questo è un dettaglio importante perché anche le aree sotteseQ g p p dalla curva sono simmetriche
- Per esempio
La probabilità che si verifichi l’evento A = Z < -1 5
14
x -4 -2 0 2 4 Z < -1.5 Z > +1.
A = Z < 1.
è pari alla probabilità che si verifichi l’evento B = Z > 1.
M. Grosso - Statistica
Distribuzione normale di tipo standard
- Il calcolo dell’area (probabilità) per il caso in esame richiede la valutazione dell’integrale:
- Purtroppo non esiste soluzione analitica per l’integrale.
- Per la sua valutazione si ricorre alle tabelle
( ) (^) ∫ (^) −∞ ( ) (^) ∫−∞ ⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ < = = −
- 05 1. (^052) 2
1 exp 2
1 P Z 1. 05 fZ zdz z dz
15
Distribuzione normale di tipo standard
- I valori dell’integrale (ovvero l’area) della distribuzione di tipo standard sono riportati in forma di tabella in (quasi) tutti i testi di statistica.
16
P(Z<1.05)=0.
M. Grosso - Statistica
Distribuzione normale di tipo standard
P(Z < 1.0)=0.
P(Z < 2 0)=0 9772
19
P(Z < 2.0)=0.
P(1.0 < Z < 2.0) = 0.9772-0.8413 = 0.
Distribuzione normale di tipo standard
- Con l’aiuto delle tabelle, calcolare
1. P(Z > 1.64)
2. P(Z < -1.64)
3. P(1.0 < Z < 1.5)
4. P(-1 < Z < 2)
5. P(-2 < Z < 2)
20
M. Grosso - Statistica
Distribuzione normale generica
- Una variabile aleatoria (continua) Y si dice normale o Gaussiana se la densità di probabilità è: ⎛ ⎞
- La funzione è definita lungo tutto l’asse reale (ovvero un qualunque numero reale può essere un esito di una VA di tipo normale)
- Il grafico di tale funzione è una curva a campana simmetrica rispetto a y=μY
( )
( ) ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎜ ⎝
⎛ (^) − = − 2
2
2
1 exp 2
1
Y
Y Y
Y
y f y
21
rispetto a y=μY
- La distribuzione dipende da due parametri, μ e σ^2.
- Viene indicata in genere con la seguente simbologia:
Y ~ N ( μ (^) Y , σ Y^2 )
Carl Friedrich Gauss
Gaussiana
M. Grosso - Statistica
Distribuzione normale (o di tipo
Gaussiano) N.B. Questo è vero per ogni valore di μ e σ nel caso
μ − 3σ μ − 2σ μ − σ μ μ + σ μ + 2σ μ + 3σ
68.26%
valore di μ e σ nel caso della Gaussiana!
La probabilità di osservare valori esterni all’intervallo [μ−2σ, μ+2σ] è molto bassa (5% circa)
25
95.46%
99.73%
Aree sottese dalla distribuzione normale
circa) È praticamente nulla all’esterno dell’intervallo [μ−3σ, μ+3σ] (meno del 3‰)
Distribuzione normale (o di tipo
Gaussiano)
- Al diminuire di σ, i risultati dell’esperienza aleatoria assumono valori in intervalli sempre più piccoli
- L’incertezza diventa sempre più piccola
- Non esistono delle tabelle per calcolare le probabilità per i generici valori di μ e σ.
- Vedremo nel seguito come è possibile ricondurre il calcolo della probabilità sempre alla VA di tipo standard
26
M. Grosso - Statistica
Funzioni di VA Gaussiane
Trasformazioni lineari
- Nel caso di una trasformazione lineare di variabili aleatorie:
- Si è visto come media e varianza di Z siano legate alla media e varianza di Y secondo la relazione
Z = a + bY
μ (^) Z = a + b μ Y
2 2 2 σ (^) Z = b σ Y
27
- Si può inoltre verificare facilmente che, se Y è una Gaussiana, lo è anche la trasformata Z
Funzioni di VA Gaussiane
Trasformazioni lineari
- Data una variabile aleatoria Y (di tipo gaussiano) di media μY e varianzai σσ (^) Y^22
- Si consideri la seguente trasformazione lineare:
- Di che tipo è la nuova variabile aleatoria?
- Quale è la media e la varianza della nuova variabile?
Y
Z Y Y
σ
−μ
28
Quale è la media e la varianza della nuova variabile?
Gaussiana di tipo
1 standard
2
Z
Z
M. Grosso - Statistica
Calcolo probabilità per una Gaussiana generica
- Esempio: calcolare quale è la probabilità che si verifichi un evento appartenente all’intervallo [0,5] per la variabile aleatoria di media 3 e deviazione standard 2:
- Si deve calcolare quale è la probabilità che la variabile aleatoria di tipo standard assuma un valore nell’intervallo corrispondente.
31
Calcolo probabilità per una Gaussiana generica
- Dobbiamo calcolare la probabilità:
P (^) ( 0 < X < (^5) )
- Gli estremi dell’intervallo corrispondente per la distribuzione di tipo standard possono essere facilmente calcolati
P (^) ( 0 < X < (^5) )
x 1 − μ X 0 − 3 P (^) ( 0 X (^5) )
32
1 1
X
X
z
μ
σ
2 2
X
X
x
z
μ
σ
( )
( )
P X
P Z
M. Grosso - Statistica
Calcolo probabilità per una Gaussiana generica
- Esercizi
- Sia Y una variabile aleatoria di tipo normale, di mediap , μμ = 16 e varianza σ^2 = 25
- Calcolare:
- P(Y > 20)
- P(20 < Y < 25)
- P(Y < 10)
- P(12 < Y < 24)
33
Distribuzioni Gaussiane di tipo Vettoriale
- È possibile estendere la formulazione della Gaussiana al caso vettoriale:
- In cui ciascuna delle componenti è di natura Gaussiana.
- L’attenzione si focalizzerà principalmente sul caso bidimensionale:
Y = Y 1 , Y 2 ,..., Y N
Y = Y 1 , Y 2
- Per cui è possibile osservare le marginali rispetto a Y 1 e Y 2 :
M. Grosso - Statistica
Variabili aleatorie vettoriali
Coefficiente di correlazione
- Dalla matrice di covarianza è possibile determinare la correlazione tra due variabili aleatorie.
- Siano date due variabili aleatorie Y 1 e Y 2. Il coefficiente di correlazione è definito come:
- Per come è definito:
( ) ( ) ( ) (^12)
12 1 2
1 2 12
cov ,
V YVY
Y Y
37
Distribuzioni Gaussiane vettoriali
Caso Gaussiano VA Indipendenti
3
0
2 0.025 0
0
1
2
-3 -2 -1 0 1 2 3 3
V = μ =
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M. Grosso - Statistica
Distribuzioni Gaussiane vettoriali
Caso Gaussiano VA Indipendenti
- Rappresentazione distribuzioni marginali e probabilità condizionate
-3 -2 -1 (^) y 1 0 1 2 3
2
3 f Y
f Y
- 3 - 2 - 1 (^) y 10 1 2 3 fY ( y 1 (^) | y 2 → 1.5 ) μ 1 = 0, σ 12 = 1
μ= σ^2 =
39 -3 -2 -1 0 1 2 3
0
1
- 3 - 2 - 1 y 10 1 2 3 fY (^) ( y 1 (^) | y 2 → −1.5 (^) ) μ 1 = 0, σ 12 = 1
La probabilità dell’evento y 1 non cambia con il valore di y 2
μ= σ^2 =
Distribuzioni Gaussiane Vettoriali –
Caso VA non indipendenti
2
0
1
0
2 0
40
V = μ =
22 -
