le distribuzioni statistiche, Appunti di Statistica

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Capitolo 14

Alcuni particolari modelli

probabilistici

Statistica: principi e metodi

Variabile casuale di Bernoulli

A e sono i possibili esiti di un esperimento a due

alternative, denominati “successo” e “insuccesso”,

aventi probabilità p e 1 – p. Associamo il numero 1

all’evento A e il numero 0 all’evento

La variabile casuale che ne deriva, chiamata variabile

casuale di Bernoulli , è discreta ed ha la seguente

funzione di probabilità

La media e la varianza di tale variabile casuale sono

date da:

A

( ) ( 1 ) , 0 , 1.

1

= − =

−

f x p p x

x x

E( X ) = p;Var( X) = p( 1 − p ).

A.

Nella figura che segue è rappresentata la distribuzione

binomiale per n = 12 e per quattro diversi valori di p:

Esempio 1: distribuzione binomiale

Asimmetria negativa

Esempio 2: distribuzione binomiale

In un corso universitario di statistica gli studenti

provengono: per il 45% dal liceo scientifico, per il 5% dal

liceo classico, per il 32% da istituti commerciali e per il 18%

da altre scuole. Vogliamo determinare la distribuzione di

probabilità del numero di studenti provenienti dal liceo

scientifico in un campione casuale di ampiezza 8 estratto

con ripetizione tra tutti gli studenti del corso.

Il numero di studenti del campione provenienti dal liceo

scientifico è variabile casuale binomiale con p = 0,45 e n =

8. Pertanto, la distribuzione di probabilità di tale variabile

casuale è quella riportata nella tabella che segue.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0,008 0,055 0,157 0,257 0,263 0,172 0,070 0,016 0,

x

f( x )

Esempio 3: distribuzione binomiale

Un’azienda dichiara che i tubi di acciaio prodotti presentano

un diametro compreso tra 10 mm e 10,5 mm. È noto, però,

che il 4% dell’intera produzione eccede tali specifiche.

Vogliamo calcolare la probabilità che, in un campione casuale

di 30 tubi, ve ne siano non più di due difettosi.

Sia X il numero di tubi difettosi nel campione, allora

Da cui:

X ∼bin( 0 , 04 , 30 ).

P( X ≤ 2 ) = P( X = 0 )+ P( X = 1 )+ P( X = 2 )

30 29 2 28 0 , 04 0 , 96

2

30

0 , 04 0 , 96

1

30

0 , 96

0

30

× ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

× + ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

=

= 0 , 2939 + 0 , 3673 + 0 , 2219 = 0 , 8831.

Esempio 4: distribuzione binomiale

Con riferimento al problema dell’Esempio 3, vogliamo calcolare

la probabilità che, in un campione di ampiezza 20, il numero

dei pezzi difettosi sia compreso tra 3 e 5 (estremi inclusi).

Siamo interessati, inoltre, al valore atteso e alla deviazione

standard della variabile casuale

Se X è il numero di tubi difettosi nel campione, abbiamo

Da cui:

X ∼bin( 0 , 04 , 20 ).

P( 3 ≤ X ≤ 5 ) = P( X = 3 )+ P( X = 4 )+ P( X = 5 )

3 17 4 16 5 15 004 096

5

20

004 096

4

20

004 096

3

20

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

⋅ + ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

=

= 0 , 0365 + 0 , 0065 + 0 , 0009 = 0 , 0438.

La distribuzione di Poisson, detta legge degli eventi

rari , si riferisce a una variabile casuale discreta ed è

descritta dalla seguente funzione di probabilità

dove λ è una costante positiva.

La media e la varianza della distribuzione di Poisson

sono date, rispettivamente, da:

Distribuzione di Poisson

e , x , , , ...,

x!

λ

f(x )

λ

x

= = 0 1 2

−

E( X ) = λ ; Var( X) = λ.

Nella figura che segue è rappresentata la distribuzione di

Poisson per quattro diversi valori di λ : 0,5; 1,0; 2,0; 4,0.

Esempio 5: distribuzione di Poisson

Quando la probabilità di successo è molto piccola

e il numero delle prove è molto grande la

distribuzione binomiale è prossima alla

distribuzione di Poisson con media

Qui di seguito, mostriamo questa prossimità

assumendo n = 60, p = 0,004.

λ = np.

Distribuzione di Poisson

e distribuzione binomiale

Binomiale Poisson

0004 0996 0786

0! 60!

60

0

0 60

f ( ) ⋅ =

⋅

= (^0) , 787

0!

0 , 24 ( 0 )

0 , 24

0

= =

− f e

0004 0996 0189

1! 59!

60!

1

1 59

f ( ) , ⋅ , = ,

⋅

= 0 , 189

1!

0 , 24

( 1 )

0 , 24

1

= =

− f e

0004 0996 0 022

2! 58!

60!

2

2 58

f ( ) , ⋅ , = ,

⋅

= (^0) , 023

2!

0 , 24 ( 2 )

0 , 24

2

= =

− f e

0 004 0996 0000

60! 0!

60!

60

60 0

f ( ) , ⋅ , = ,

⋅

= 0 , 000

60!

0 , 24

( 60 )

0 , 24

60

= =

− f e

n = 60 , p = 0 , 004 , λ = np = 60 × 0 , 004 = 0 , 24.

Esempio 7: distribuzione di Poisson

e distribuzione binomiale

! (^)!

¥ È simmetrica, avendo come asse di simmetria la

retta x = μ ;

¥ È crescente nell’intervallo ( – ∞, μ) e decrescente

nell’intervallo ( μ, ∞) ;

¥ Ha due punti di flesso in x = μ - σ e x = μ + σ ;

¥ È concava (verso il basso) nell’intervallo

(μ - σ, μ + σ) e convessa altrove;

¥ Ha come asintoto l’asse delle x.

Proprietà della distribuzione normale

Posizione e forma della curva normale

in funzione dei parametri μ e σ

La media individua la posizione della curva lungo l’asse

delle ascisse. La varianza determina la concentrazione

della curva attorno alla retta x = μ (vedi la figura a).

La funzione di

densità consente di

calcolare la

probabilità che la

variabile casuale

assuma valori all’

interno di un qualsiasi

intervallo ( a, b):

tale probabilità è

data dall’area sottesa

alla curva normale in

detto intervallo.

Funzione di densità

della variabile casuale normale

La funzione di ripartizione è la probabilità

Graficamente, F( x) è data dall’area sottesa alla curva

di densità normale da - ∞ fino a x.

Funzione di ripartizione

della distribuzione normale

F (x ) = P( X ≤ x ).

Funzione di ripartizione: F(x) = P( X ≤ x )

= area sottesa fino a x

Quantile: dall’area, p, sottesa alla curva

al valore dell’ascissa corrispondente, x p

x xp