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INTEGRALI INDEFINITI
Se F ( x ) è una primitiva di f ( x ), allora le funzioni F ( x ) + c , con c numero reale qualsiasi, sono tutte e sole le primitive di f ( x ). Precisamente: ! se F ( x ) è una primitiva di f ( x ), allora anche F ( x ) + c lo è; ! se F ( x ) e G ( x ) sono entrambe primitive di f ( x ), allora G ( x ) - F ( x ) = c. Tutte le funzioni hanno la stessa derivata perché nei punti con la stessa ascissa hanno tangente parallela. La funzione integranda è 𝑓(𝑥) mentre la variabile di integrazione è la variabile x. La funzione primitiva 𝐹(𝑥) che si ottiene per 𝑐 = 0 si chiama primitiva fondamentale. Significato del simbolo: la “ ” ricorda una S allungata, mentre “ dx” indica la variabile rispetto alla quale si fa l’operazione di integrale indefinito. Una funzione che ammette una primitiva, ne ammette infinite e si dice integrabile. TEOREMA di CONTINUITÀ/INTEGRABILITÀ HP ) Sia f una funzione continua in (^) [ a b ; ] TH ) Allora f è integrabile in (^) [ a b ; ] Quindi: f è derivabile ⇒ f è continua ⇒ f è integrabile La continuità è una Condizione Sufficiente per l’integrabilità (mentre non tutte le funzioni continue sono derivabili; basta pensare alle funzioni con i punti angolosi…) Le proprietà di linearità si possono sintetizzare come: 𝑐!𝑓 𝑥 + 𝑐!𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐! 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐! 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 , ∀𝑐!, 𝑐! ∈ ℝ. In sintesi, l’integrale è un operatore lineare.
INTEGRALI DEFINITI
<=Il Trapezoide Area trapezoide compresa tra il plurirettangolo inscritto e il plurirettangolo circoscritto. 𝑓 𝑥 ≥ 0 TEOREMA introduttivo all’integrale definito HP ) Se una funzione f è continua in (^) [ a b ; ] TH ) Allora i limiti per n → +∞ delle successioni sn e Sn (successione delle aree dei plurirettangoli inscritti e circoscritti rispettivamente) esistono finiti e sono uguali fra loro: (^) lim (^) n lim n n n s S →+∞ →+∞ = Il valore comune di tale limite viene indicato con la scrittura (^) ( ) b a ∫ f^ x dx a si chiama estremo inferiore ; b si chiama estremo superiore. L’integrale definito è sempre un numero reale (positivo, negativo o nullo), diversamente dall’integrale indefinito che è un insieme di funzioni. Per convenzione si pone: Proprietà dell’integrale definito: Es. 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 in 0 , 1 ; 𝑒
TEOREMI DEL CALCOLO INTEGRALE
Dim. pag. 2008 (usa il T di Weierstrass e il T. dei valori intermedi) Interpretazione geometrica: se la funzione è positiva in 𝑎; 𝑏 , il Teorema della Media Integrale esprime l’uguaglianza fra l’area del trapezoide (indicata da 𝑓(𝑥) ! ! 𝑑𝑥) e l’area del rettangolo di base^ 𝑏^ −^ 𝑎^ e altezza^ 𝑓(𝑧)^ dove^ z^ è un particolare valore in^ 𝑎;^ 𝑏^. Il valore 𝑓(𝑧) si chiama appunto valor medio della funzione 𝑓 𝑥 in 𝑎; 𝑏 : f (^) ( z ) = f (^) ( x ) dx a b ∫
b − a
Definizione Sia 𝑓 𝑥 una funzione continua in 𝑎; 𝑏 e sia 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 un generico valore. Si chiama Funzione Integrale di f in 𝑎; 𝑏 , la funzione: F (^) ( x ) = f (^) ( t ) dt a x ∫ che associa^ ad ogni^ 𝑥^ ∈^ 𝑎;^ 𝑏^ il numero reale^ f^ ( t^ ) dt a x ∫ Se la funzione f è positiva in 𝑎; 𝑏 , la funzione integrale F(x) rappresenta l’area del trapezoide ABCD e dipende da x. (2) N.B. Questo teorema collega il concetto di integrale definito con quello di integrale indefinito () Dim. pag. 2011 (usa il T della media integrale) () La derivata di F(x) coincide con il valore che la funzione integranda f assume nell’estremo variabile x di integrazione, ossa D f ( t ) dt a x ∫ =^ f^ (^ x )^. Pertanto l’integrale indefinito della funzione f, inteso come totalità delle sue primitive, si esprime come ∫^ f^ (^ x ) dx^ = f^ (^ t ) dt a x ∫ +^ c^ ,^ con^ 𝑐^ ∈^ ℝ. (3) FORMULA DI NEWTON LEIBNIZ (riduce il calcolo di integrali definiti a quello di integrali indefiniti) L’integrale definito di una funzione continua f(x) è uguale alla differenza tra i valori assunti da una qualunque primitiva 𝜑(𝑥) di f(x) rispettivamente nell’estremo superiore e nell’estremo inferiore: f (^) ( x ) dx a b ∫ =^ ϕ^ (^ b )^ −^ ϕ^ (^ a )^ =⎡ ⎣^ ϕ (^ x )⎤ ⎦ x = a x = b Dim. pag. 2012 (usa il T fondamentale del calcolo integrale)
APPROFONDIMENTI SUL CALCOLO DI AREE
CALCOLO DEI VOLUMI DEI SOLIDI (anche rispetto all’asse y) Analogamente per il metodo delle sezioni (o “delle fette”) Sezioni con piani perpendicolari all’asse x Sezioni con piani perpendicolari all’asse y Se S(x) è l’area della generica sezione del solido (ottenuta con un piano perpendicolare all’asse x) passante per il punto di (x;0) il volume del solido è: 𝑽 = 𝑺(𝒙) 𝒃 𝒂
Se S(y) è l’area della generica sezione del solido (ottenuta con un piano perpendicolare all’asse y) passante per il punto di (0;y) il volume del solido è: 𝑽 = 𝑺(𝒚) 𝒃 𝒂
