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GLI INSIEMI
Il termine INSIEME viene utilizzato per indicare una collezione, una raccolta, una totalità. L' INSIEME dunque è un ENTE PRIMITIVO , cioè un concetto intuitivo del quale non viene data una definizione. Ogni COMPONENTE dell'INSIEME si dice OGGETTO o ELEMENTO dell'insieme. Così: ● l'insieme delle monete avrà come elementi le monete; ● l'insieme delle figurine avrà come elementi le figurine; ● e così via. L' INSIEME viene normalmente indicato con una LETTERA MAIUSCOLA : A, B, C,..... Per dire che: a è un elemento dell' INSIEME A scriviamo che si legge a appartiene ad A. Per dire che: sia a che b sono elementi dell' INSIEME A scriviamo
che si legge a, b appartengono ad A. Il simbolo è detto SIMBOLO DI APPARTENENZA. Se
l'elemento c non appartiene all' INSIEME A
scriviamo che si legge c non appartiene ad A. Ovviamente il simbolo è detto SIMBOLO DI NON APPARTENENZA.
Esaminiamo meglio quanto abbiamo scritto. Come è stato detto in una precedente lezione, un INSIEME viene normalmente indicato con una LETTERA MAIUSCOLA : nel nostro esempio lo abbiamo indicato con la lettera A. Le PARENTESI GRAFFE indicano l'insieme e al suo interno vengono indicati gli ELEMENTI DELL'INSIEME separati, l'uno dall'altro, da una VIRGOLA. Ricapitolando: Vediamo qualche altro esempio: l'insieme dei numeri naturali dispari inferiori a 10 A = {1, 3, 5, 7, 9} l'insieme delle province dell'Abruzzo A = {Chieti, L'Aquila, Pescara, Teramo} l'insieme delle cifre che compongono il numero 457 A = {4, 5, 7}.
Ciascun ELEMENTO dell'insieme va indicato UNA SOLA VOLTA. Esempi: l'insieme delle cifre che compongono il numero 211 A = {2, 1}. La cifra 1 va indicata una sola volta; l'insieme delle lettere che compongono la parola ANNA A = {A, N}. Sia la lettera A che la lettera N vanno indicate una sola volta. Vediamo ora la RAPPRESENTAZIONE GRAFICA di un INSIEME , il cosiddetto METODO DI VENN. 2) Nella RAPPRESENTAZIONE GRAFICA gli ELEMENTI di un insieme sono rappresentati con dei PUNTI. Per distinguere gli elementi uno dall'altro è possibile scrivere, accanto ad ogni punto, una lettera minuscola che contraddistingue l'elemento. I punti che rappresentano gli elementi dell'insieme sono racchiusi all'interno di una LINEA CURVA CHIUSA e non intrecciata. L'area interna alla linea curva può anche essere colorata per dare maggiore risalto alla figura. Ecco come può essere rappresentato graficamente un insieme:
l'insieme dei numeri naturali dispari inferiori a 10 l'insieme delle lettere che compongono la parola ANNA
Con la RAPPRESENTAZIONE CARATTERISTICA l'insieme non viene individuato elencando gli elementi che lo compongono,
bensì INDICANDO una PROPRIETA' posseduta da tutti gli elementi
dell'insieme e soltanto da questi.
Esempio:
Immaginiamo di avereil seguente insieme
A = {Chieti, L'Aquila, Pescara, Teramo}.
Per poterlo indicare con la RAPPRESENTAZIONE CARATTERISTICA dobbiamo individuare una proprietà posseduta dai quattro elementi dell'insieme e soltanto da essi. Nel nostro caso la proprietà comune a tali elementi, e solo ad essi, è di essere tutte province dell'Abruzzo. Quindi possiamo dire che l'insieme A è formato dalle province dell'Abruzzo che si scrive
A = {x|x è una provincia dell'Abruzzo}
che si legge l'insieme A formato dalle x tali che x è una provincia dell'Abruzzo. Esaminiamo meglio quanto abbiamo scritto. Come è stato detto in una precedente lezione, un INSIEME viene normalmente indicato con una LETTERA MAIUSCOLA : nel nostro esempio lo abbiamo indicato con la
lettera A.
Le PARENTESI GRAFFE indicano l'insieme e al suo interno vengono indicati gli ELEMENTI DELL'INSIEME tramite una caratteristica che li contraddistingue e che contraddistingue essi soltanto.
La x indica una VARIABILE cioè un GENERICO ELEMENTO DELL'INSIEME e
può rappresentare, nel nostro esempio, una delle quattro province dell'Abruzzo.
x è una provincia dell'Abruzzo , indica la PROPRIETA'
CARATTERISTICA degli elementi dell'insieme.
RAPPRESENTAZIONE CARATTERISTICA :
Esempio 2:
Vogliamo rappresentare l'insieme dei naturali primi minori di 12. RAPPRESENTAZIONE ELENCATIVA :
A = {2, 3, 5, 7, 11}
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA :
RAPPRESENTAZIONE CARATTERISTICA :
Esempio 3:
Vogliamo rappresentare l'insieme delle lettere che compongono la parola CARRELLO. RAPPRESENTAZIONE ELENCATIVA :
A = {c, a, r, e, l , o}
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA :
RAPPRESENTAZIONE CARATTERISTICA :
A = {x|x è una lettera della parola CARRELLO}.
Supponiamo di avere i seguenti insiemi: l'insieme delle vocali dell'alfabeto; Notiamo che il primo insieme è formato da un NUMERO FINITO DI ELEMENTI , esattamente 5. Il numero di elementi che compongono, invece, il secondo insieme è INFINITO. Possiamo, quindi, distinguere gli insiemi in: ● INSIEMI FINITI se sono costituiti da un NUMERO FINITO DI ELEMENTI ; ● INSIEMI INFINITI se sono costituiti da un NUMERO INFINITO DI ELEMENTI.
Esempi:
Per rappresentare un insieme di questo tipo, FINITO e formato da pochi elementi può essere molto pratica la RAPPRESENTAZIONE TABULARE , ovvero: A = {a, e, i, o, u}. La cosa si complica se prendiamo in considerazione un insieme, sempre FINITO , ma i cui elementi siano molti , come ad esempio l'insieme dei numeri naturali minori di 1.. In questi casi può essere più agevole usare la RAPPRESENTAZIONE CARATTERISTICA , ovvero: Se, però, dobbiamo rappresentare un INSIEME INFINITO la rappresentazione tabulare non è opportuna dato che non possiamo elencare tutti gli elementi che formano l'insieme. Esempio: l'insieme dei triangoli di un piano. In questi casi dobbiamo preferire la RAPPRESENTAZIONE CARATTERISTICA , ovvero: A = {x|x è un triangolo di un piano}. Nella lezione precedente abbiamo parlato di INSIEMI FINITI e INSIEMI INFINITI e abbiamo precisato che un INSIEME FINITO può essere costituito anche da UN SOLO ELEMENTO. Ora consideriamo il seguente insieme: l'insieme dei numeri negativi maggiori di 0.
E' evidente che non esistono numeri negativi maggiori di zero: quindi il nostro insieme è privo di elementi. Un insieme di questo tipo si chiama INSIEME VUOTO. Quindi, si definisce INSIEME VUOTO un insieme che non ha elementi. L' INSIEME VUOTO può essere rappresentato con un DIAGRAMMA DI VENN dove, all'interno della linea chiusa, NON VIENE INDICATO ALCUN PUNTO : Oppure può essere indicato con il simbolo Quindi, per dire che A è un INSIEME VUOTO scriveremo:
A= ϕ
SOTTOINSIEMI DI UN INSIEME Indichiamo con
A l'insieme degli italiani
Il SIMBOLO è detto SIMBOLO DI INCLUSIONE. Avremmo potuto scrivere anche: che si legge A include B e ha lo stesso significato di
Graficamente avremmo potuto rappresentare il fatto che B è
un SOTTOINSIEME di A mediante il DIAGRAMMA DI VENN , nel modo seguente:
Gli elementi dell'insieme B li abbiamo indicati all'interno di una linea curva chiusa. Per
rendere più chiaro il grafico abbiamo tracciato questa linea di verde.
L'insieme B è situato all'interno dell'insieme A che abbiamo indicato con una linea
curva chiusa di colore blu ad indicare che tutti gli elementi di B sono anche elementi
di A , mentre vi sono elementi di A che non sono elementi di B.
Possiamo allora dire che: che si legge x appartiene a B e B è incluso in A implica che x appartiene ad A.
Cioè, se x è un elemento di B e al tempo stesso B è un sottoinsieme
di A sicuramente x è anche un elemento di A.
Vediamo qualche altro esempio di sottoinsieme: l'insieme delle MARGHERITE è un SOTTOINSIEME dell' insieme dei FIORI; l'insieme dei BOVINI è un SOTTOINSIEME dell' insieme dei MAMMIFERI; l'insieme dei NUMERI PRIMI DIVISIBILI PER 2 è un SOTTOINSIEME dell' insieme dei NUMERI PRIMI. Immaginiamo ora di avere i seguenti insiemi
A = {1, 5, 8, 15}
B = {1, 2, 5, 7}.
Esempio:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {2, 4, 6}.
In questo caso si dice che B è un SOTTOINSIEME PROPRIO di A e ciò viene
indicato con il SIMBOLO DI INCLUSIONE che abbiamo visto nella lezione precedente, ovvero: che si legge B è incluso in A oppure con che si legge A include B. B è sottoinsieme di A. Ora soffermiamoci sulla definizione
di SOTTOINSIEME : B è SOTTOINSIEME di A se OGNI
ELEMENTO di B è ANCHE ELEMENTO di A.
Ma ciò significa che si possono verificare due situazioni diverse:
1. OGNI ELEMENTO di B è ANCHE ELEMENTO di A , ma non vale il contrario. Quindi
ci saranno elementi di A che non appartengono anche a B.
Esempio:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {2, 4, 6}.
In questo caso si dice che B è un SOTTOINSIEME PROPRIO di A e ciò viene
indicato con il SIMBOLO DI INCLUSIONE che abbiamo visto nella lezione precedente, ovvero:
che si legge B è incluso in A oppure con che si legge A include B.
2. OGNI ELEMENTO di B è ANCHE ELEMENTO di A e VICEVERSA. Quindi tutti gli
elementi di A appartengono anche a B e tutti gli elementi di B appartengono anche
ad A.
Esempio:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
In questo caso si dice che B è un SOTTOINSIEME IMPROPRIO di A e ciò viene
indicato con il simbolo che si legge B è incluso in A o più precisamente potremmo dire B è incluso impropriamente in A Quindi un SOTTOINSIEME può essere PROPRIO o IMPROPRIO. PROPRIO: sono i sottoinsiemi strettamente inclusi IMPROPRIO: sono i sottoinsieme composti da vuoti. Si chiama INSIEME UNIVERSO quell'insieme che COMPRENDE TUTTI GLI ELEMENTI e TUTTI GLI INSIEMI ESISTENTI. L' INSIEME UNIVERSO comprende anche SE STESSO e l' INSIEME VUOTO.
L' INSIEME UNIVERSO viene indicato con una lettera U maiuscola o con il simbolo
omega maiuscolo ( ).
