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CALCOLO PROPOSIZIONALE
Disciplina che studia le condizioni di correttezza di un ragionamento.
Principi di logici medievali
● Principio di identità : da ogni affermazione segue sé stesso; ● Principio di non contraddizione : un’affermazione e la sua contraddizione non possono essere contemporaneamente vere; ● Principio del terzo escluso : un’affermazione o è vera o lo è la sua negazione; ● Ex falso sequitur quodlibet : dal falso segue tutto.
In matematica la logica è usata per:
● esprimere asserti in modo non ambiguo; ● chiarire e formalizzare il concetto di dimostrazione.
Calcolo proposizionale
Per analizzare un ragionamento questo deve essere formalizzato in proposizioni , fatto su vari livelli:
● Calcolo proposizionale : ○ nucleo di tutte le logiche; ○ ha potere espressivo limitato; ○ sufficiente per introdurre il concetto di dimostrazione. ● Logica dei predicati.
Proposizione
È un fatto basilare , un enunciato dichiarativo, che afferma qualcosa sul quale si può dire:
● sia vero o falso ( principio del terzo escluso ); ● non può essere al tempo stesso vero e falso ( principio di non contraddizione ).
Valori di verità o booleani
● vero (TT, T, V, 1) ● falso (FF, F, F, 0)
➔ T/F per la sintassi (rappresentazione simbolica dei booleani nelle formule) ➔ 1/0 per la semantica (indica valore di verità di una formula)
Formule proposizionali
Si ottengono a partire da:
● Simboli proposizionali (proposizioni atomiche) che rappresentano fatti basilari; ● Connettivi logici che ci permettono di eseguire “operazioni” tra i simboli proposizionali.
Definizione: Sia dato un insieme P={P, Q, …} di simboli proposizionali ( alfabeto ):
Le formule proposizionali sono tutte tutte e solo quelle ottenibili con le seguenti regole:
1. T (vero) e F (falso) sono formule proposizionali.
2. ogni p ∈ P è una formula proposizionale.
- Se A e B sono formule proposizionali allora anche ¬ A, (A ∧ B), (A v B), (A⇒B), (A ≡ B) sono formule proposizionali.
Connettivi logici
Siano P e Q due proposizioni:
- Negazione di P ( NOT ): ¬P è la proposizione che è vera se e solo se P è falsa;
- Congiunzione di P e Q ( AND ): P∧Q è vera se e solo se P e Q sono entrambe vere;
- Disgiunzione (inclusiva) di P e Q ( OR ): P∨Q è vera se almeno una tra P e Q lo è:
- Implicazione di Q se P : P⇒Q è vera se P e Q lo sono e falsa se e solo se P è vera e Q è falsa; ○ P è la premessa e Q è la conseguenza o conclusione;
- Equivalenza di P e Q : P≡Q o P⇔Q è vera se e solo se P e Q hanno lo stesso valore di verità (entrambe vere o false).
Tabelle di verità
Usate per calcolare il valore di verità di una formula, permettendo di rappresentarne la semantica. Raccoglie tutte le possibili interpretazioni di una formula e ne mette in relazione il valore di verità. Le possibili righe di una tabella di verità sono 2 n^ dove n sono i simboli proposizionali distinti che compaiono nella formula.
P Q ¬ P P ∧ Q P ∨ Q P ⇒ Q P ≡ Q P ⇐ Q
Definizioni
● Tautologia : formula proposizionale sempre vera per qualunque interpretazione; ● Contraddizione ( formula insoddisfacibile ): formula proposizionale sempre falsa per qualunque interpretazione; ● Formula soddisfacibile : formula proposizionale in cui esiste almeno un’interpretazione per la quale la formula è vera.
P Q (P ∧ Q) ⇒ Q P ∧ (Q ∧ ¬ P) P ⇒ Q
Tautologia Contraddizione Soddisfacibile
Problema fondamentale del Calcolo Proposizionale
Dimostrare che una formula è una tautologia. Una proposizione è una tautologia se e soltanto se il suo valore di verità rimane T indipendentemente dal valore di verità delle sue componenti elementari.
➢ Dunque se p è una tautologia, allora ¬p è una contraddizione.
Asserti interessanti
Lo scopo del CP è quello di sviluppare un calcolo formale per le formule proposizionali, che consenta di effettuare dimostrazioni di “asserti interessanti” attraverso una pura manipolazione simbolica delle formule coinvolte.
(come possibile nel caso di espressioni algebriche che coinvolgono operatori governati da leggi)
● p implica tautologicamente una proposizione q se soltanto se p ⇒ q è una tautologia; ● p è tautologicamente equivalente a q se e soltanto se p ≡ q è una tautologia.
Principio di Sostituzione dell’equivalenza
In algebra esprime una proprietà fondamentale dell’ eguaglianza.
“Se sappiamo che A = B, allora il valore di una espressione C in cui compare A non cambia se A `e sostituito con B”
In formule, A = B C = C[ B/A]
Qui A = B è una legge, e C = C[B/A] è l’eguaglianza da essa giustificata, grazie al principio di sostituzione
Nel Calcolo Proposizionale esprime una proprietà dell’equivalenza:
P ≡ Q R ≡ R[ Q/P]
“Se sappiamo che P ≡ Q , allora sostituendo in una formula R una qualsiasi occorrenza di P con Q si ottiene una formula tautologicamente equivalente ”
Leggi del Calcolo Proposizionale
Una legge è una tautologia che descrive una proprietà di uno o più connettivi logici, o quando è usata come giustificazione nelle dimostrazioni.
Per ogni legge che introduciamo, bisognerebbe verificare che sia una tautologia, attraverso
- tabelle di verità
- dimostrazioni in cui si usano solo ● leggi introdotte in precedenza ● regole di inferenza (ragionamenti tautologicamente corretti
- mostrando che non è una tautologia (individuando valori per le variabili che rendono false p)
Leggi equivalenza
- Riflessività (P≡P)
- Simmetria (P≡Q)≡(Q≡P)
- Associatività ((P≡Q)≡R)≡(P≡(Q≡R))
- Unità (P≡T)≡P
- Transitività ((P≡Q)∧(Q≡R))⇒(P≡R)
Leggi congiunzione e disgiunzione
- Commutatività P∨Q≡Q∨P oppure P∧Q≡Q∧P
- Associatività P∨(Q∨R)≡(P∨Q)∨R oppure P∧(Q∧R)≡(P∧Q)∧R
- Idempotenza P∨P≡P oppure P∧P≡P
- Unità P∧T≡P oppure PvF≡P
- Zero (Dominanza) P∧F≡F oppure PvT≡T
- Distributività P∧(Q∨R)≡(P∧Q)∨(P∧R) oppure P∨(Q∧R)≡(P∨Q)∧(P∨R)
Leggi negazione
- Doppia negazione ¬(¬P)≡P
- Terzo escluso P∨¬P≡T
- Contraddizione P∧¬P≡F
- De Morgan ¬(P∧Q)≡¬P∨¬Q oppure ¬(P∨Q)≡¬P∧¬Q
- T:F ¬T≡F
- F:T ¬F≡T
Leggi implicazione
- Eliminazione ⇒ (P⇒Q)≡¬P∨Q
- Eliminazione ≡ (P≡Q)≡(P⇒Q)∧(Q⇒P)
Insiemi funzionalmente completi
Alcuni connettivi logici possono essere definiti in termini di altri permettendo quindi di derivarne altri, definendo quindi sotto insiemi funzionalmente completi.
{⇒ , ≡, ∧, ¬, ∨, ⇐} è l’insieme dei connettivi tale per cui è possibile esprimere e formalizzare ragionamenti in cui compaiono tutti e 5 i connettivi
Connettivo NAND
È un connettivo binario funzionalmente completo che rappresenta la negazione dell’ AND.
P Q (P NAND Q)
In base alla definizione di connettivo funzionalmente completo anche tutti gli altri possono essere espressi in funzione di NAND.
- (¬P)≡(P nand P)
- (A∧B)≡((A nand B) nand (A nand B))
Leggi del complemento
a. P∨(¬P∧Q)≡P∨Q b. P∧(¬P∨Q)≡P∧Q
Dimostrazione
P∨(¬P∧Q) P∧(¬P∨Q)
≡{Distributività} ≡{Distributività} (P∨¬P)∧(P∨Q) (P∧¬P)∨(P∧Q) ≡{Terzo escluso} ≡{Terzo escluso} T∧(P∨Q) F∨(P∧Q) ≡{Unità} ≡{Unità} P∨Q P∧Q
Scambio
(P∧Q⇒R)≡((P∧¬R)⇒¬Q)
Dimostrazione
P∧Q⇒R
≡{Eliminazione ≡} ¬(P∧Q)∨R ≡{De Morgan} (¬P∨¬Q)∨R ≡{Associatività, commutatività} (¬P∨R)∨¬Q ≡{Eliminazione ⇒ (al contr.)} ¬(¬P∨R)⇒¬Q ≡{De Morgan} P∧¬R⇒¬Q
Semplificazione ∧
P∧Q⇒P oppure P∧Q⇒Q
Dimostrazione
P∧Q⇒P
≡{Eliminazione ⇒} ¬(P∧Q)∨P ≡{De Morgan} (¬P∨¬Q)∨P ≡{Associatività, terzo escluso} T∨¬Q ≡{Dominanza} T
Modus Ponens
Se P implica Q e P vale , allora anche Q vale.
(P⇒Q)∧P⇒Q
Dimostrazione
(P⇒Q)∧P⇒Q
≡{Eliminazione ⇒} (¬P∨Q)∧P⇒Q ≡{Complemento} (Q∧P)⇒Q ≡{Eliminazione ⇒} ¬(Q∧P)∨Q ≡{De Morgan} (¬Q∨¬P)∨Q ≡{Associatività, terzo escluso} T∨¬P ≡{Dominanza} T
Introduzione ∨
P⇒P∨Q oppure Q⇒P∨Q
Dimostrazione
P⇒P∨Q
≡{Eliminazione ⇒} ¬P∨(P∨Q) ≡{Associatività, terzo escluso} T∨Q ≡{Dominanza} T
Tollendo Ponens
Se vale almeno un enunciato P o Q e P non vale , allora Q vale.
(P∨Q)∧¬P⇒Q
Dimostrazione
(P∨Q)∧¬P
≡{Complemento} ¬P∧Q ⇒{Semplificazione ∧} Q
Occorrenze positive e negative
La formula proposizionale P occorre positivamente in
P P∨Q P∧Q Q⇒P
mentre occorre negativamente in
¬P P⇒Q
Se P compare in una qualsiasi formula R a livello più profondo , si contano le occorrenze negative di P fino alla radice di R :
● se sono pari , allora P occorre positivamente in R; ● se sono dispari , allora P occorre negativamente in R.
Principio di sostituzione dell’implicazione
Se vale P⇒(Q)
● P occorre positivamente in R : P⇒(Q), (P)+ in R R⇒ R [Q/P]
● P occorre negativamente in R : P⇒(Q), (P)+ in R R⇐ R [Q/P]
Esempio
(P⇒(Q∧R))⇒(P⇒Q)
Dimostrazione
P⇒(Q∧R)
⇒{Semplificazione ∧: Q∧R⇒Q, (Q∧R)+} P⇒Q
Forme Normali
Spesso è desiderabile semplificare , mediante l’uso di tautologie, formule complicate fino a portarle in una forma più semplice, in cui compaiono solo alcuni dei connettivi visti. Tali forme sono dette forme normali
- forma normale congiuntiva: (p1 v p2 v ...) ^ (q1 v q2 v...) ^ ...
dove p1, p2,...,q1, q2,... sono lettere proposizionali (cioè identificatori/simboli) o la negazione di lettere proposizionali.
- forma normale disgiuntiva: (p1 ^ p2 ^ ...) v (q1 ^ q2 ^ ...) v ...
Le forme normali forniscono un meccanismo per verificare, tra l’altro, se una data formula è o meno una tautologia.
Principio di Risoluzione (esempio f. normale)
(P v Q) ^ (¬P v R) ) (Q v R)
Dimostrazione
(P v Q) ^ (¬P v R) ≡{Eliminazione ⇒2 VOLTE } (¬Q ⇒P) ^ (P⇒ R) ≡ { Transitività⇒ } ¬Q⇒ R ⇒ {Eliminazione ⇒ } Q v R
Tollendo Tollens
(P⇒Q)∧¬Q⇒¬P
Dimostrazione
(P⇒Q)∧¬Q
≡{Eliminazione ⇒} (¬P∨Q)∧¬Q ≡{Complemento} ¬P∧¬Q ⇒{Semplificazione ∧} ¬P
Semplificazione destra ⇒
(P⇒Q)∨(P⇒R)≡(P⇒Q∨R)
Dimostrazione
(P⇒Q)∨(P⇒R)
≡{Eliminazione ⇒ (2 volte)} (¬P∨Q)∨(¬P∨R) ≡{Associatività, Idempotenza} ¬P∨(Q∨R) ≡{Eliminazione ⇒ (al contr.)} P⇒Q∨R
Semplificazione sinistra ⇒
(P⇒R)∧(Q⇒R)≡((P∨Q)⇒R)
Dimostrazione
(P⇒R)∧(Q⇒R)
≡{Eliminazione ⇒ (2 volte)} (¬P∨R)∧(¬Q∨R) ≡{Distributività (al contr.)} (¬P∧¬Q)∨R ≡{De Morgan (al contr.)} ¬(P∨Q)∨R ≡{Eliminazione ⇒ (al contr.} P∨Q⇒R
≡{Zero} F
Dimostrazione della contrapposizione.
Sapendo che una proposizione è vera solo se è vera un'altra, deduciamo che se non è vera non lo è neppure l'altra.
Viene espressa formalmente dalla seguente tautologia: (P ⇒ Q) ≡ (¬ Q ⇒ ¬ P)
Analisi per casi.
Se è possibile dedurre una conclusione tanto da una proposizione quanto dalla sua negazione, allora la conclusione è sempre vera:
(P ⇒ Q) ∧ (¬ P ⇒ Q)
Dimostrazione
(P ⇒ Q) ∧ (¬ P ⇒ Q)
≡{Eliminazione ⇒ (2 volte)} (¬P ∨ Q)∧ (P ∨ Q) ≡{Distributiva al contraio} (¬P v P) v Q ≡{Contraddizione} F v Q ≡{Unità} Q
Altre tecniche di dimostrazione
(P ∧Q)⇒(Q∧S)
Basta fornire due prove separate per:
- P⇒ Q
- R⇒ S
Dunque :
((P⇒ Q)∧ (R⇒ S))⇒ ((P ∧Q)⇒(Q∧S))
Dimostrazione
(P⇒ Q)∧ (R⇒ S)
≡{Eliminazione ⇒ (2 volte)} (¬P ∨ Q)∧ (¬R ∨ S) ⇒ {Introduzione V, (¬P ∨ Q)⇒(¬P ∨ Q)v¬R, (¬P ∨ Q)+^ } (¬P ∨ Q)v¬R∧ (R⇒ S) ⇒ {Introduzione V, (¬R ∨ S)⇒(¬R∨ S)v¬P, (¬R ∨ S)+^ } (¬P ∨ Q v¬R)∧ (¬R∨ S v¬P) ≡{Associativa, Commutativa} ((¬P v¬R)vQ) ∧ (¬Pv ¬R)∨ S) ≡{Distributiva al contrario} (¬P v¬R) ∧ (Q ∧ S) ≡{De Morgan} ¬(P vR) ∧ (Q ∧ S) ≡{Eliminazione ⇒ al contrario}
(P ∧Q)⇒(Q∧S
Uso di ipotesi non tautologiche
(P v Q) ^ (P ⇒ R) ^ (Q ⇒ S) ⇒ (R v S)
⇒ { Ip1 : P ⇒ R } R v Q ⇒ { Ip2 : Q ⇒ S } R v S
Limiti del Calcolo Proposizionale
Nonostante il Calcolo Proposizionale sia un utile strumento per ragionare sulla verità o falsità di affermazioni e deduzioni, il suo limite risiede nel fatto che considera monoliticamente ogni enunciato in base al suo valore di verità.
In altre parole non è in grado di cogliere relazioni fra enunciati diversi (elementi del dominio di interesse), che potrebbero aiutare nel ragionamento su di essi.
