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Elementi di Matematica Computazionale
Prova scritta - Traccia A
14 settembre 2016
Durata della prova: 1 ora
Esercizio n. 1 La bisettrice del secondo e quarto quadrante interseca la circonferenza di centro C = (− 2 , 2) e raggio r = 1 in due punti P 1 = (x 1 , y 1 )
e P 2 = (x 2 , y 2 ),
con x 1 < x 2. Determinare l’equazione della retta tangente alla circonferenza nel punto P 2.
Esercizio n. 2 Trovare le soluzioni della seguente disequazione: √ x^2 + 5x + 6 + x + 4 ≥ 0.
Esercizio n. 3 Trovare le soluzioni della seguente equazione:
cos^2 x + sin x = 1 + sin x(sin x + 1).
Formulario
Circonferenza: (x^2 + y^2 + ax + by + c = 0)
Centro : (−a/2; −b/2) Raggio : r =
(a/2)^2 + (b/2)^2 − c
Ellisse: (x^2 /a^2 + y^2 /b^2 = 1)
c^2 = a^2 − b^2 F uochi : F 1 = (−c, 0) F 2 = (c, 0)
Iperbole: (x^2 /a^2 − y^2 /b^2 = 1)
c^2 = a^2 + b^2 F uochi : F 1 = (−c, 0) F 2 = (c, 0) Asintoti : y = ±
b a x
Parabola: (y = ax^2 + bx + c)
V ertice :
−b 2 a
4 a
F uoco :
−b 2 a
4 a
Direttrice : y =
4 a
Esponenziali
ax^ · ay^ = ax+y^ ax ay^ = ax−y^ (ax)y^ = ax·y ax^ · bx^ = (a · b)x^ ax/bx^ = (a/b)x
Logaritmi: loga b = x ≡ ax^ = b (b > 0 ∧ a > 0 ∧ a 6 = 1)
loga a = 1 loga 1 = 0 loga(x·y) = loga x+loga y loga( x y ) = loga x−loga y loga bc^ = c·loga b
n = loga an^ n = aloga^ n^ loga b = logv b logv a
Trigonometria: sin^2 α + cos^2 α = 1
tan α = sin α cos α cot α =
tan α csc α =
sin α sec α =
cos α
arcsin α = sin−^1 α arccos α = cos−^1 α arctan α = tan−^1 α
- cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
- sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
sin α 2
1 − cos α 2 cos α 2
1 + cos α 2 tan α 2
1 − cos α 1 + cos α
