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Odcolo proposizionale CALCOLO PROPOSIZIONALE Disciplina che studia le condizioni di correttezza di un ragionamento. Principi di legici fievali Principio di identità: da ogni affermazione segue sé stesso; Principio di non contraddizione: un'affermazione e la sua contraddizione non possono essere contemporaneamente vere; Principio del terzo escluso: un'affermazione o è vera o lo è la sua negazione; Ex falso sequitur quodlibet: dal falso segue tutto. In matematica la logica è usata per: e esprimere asserti in Modo non ambiguo; e chiarire e formalizzare il concetto di dimostrazione. Per analizzare un ragionamento questo deve essere formalizzato in proposizioni, fatto su vari livelli: e Calcolo proposizionale: o nucleo di tutte le logiche; o ha potere espressivo limitato; o sufficiente per introdurre il concetto di dimostrazione. e Logica dei predicati. P: iui È un fatto basilare, un enunciato dichiarativo, che afferma qualcosa sul quale si può dire: ® sia veroo falso (principio del terzo escluso); e non può essere al tempo stesso vero e falso (principio di non contraddizione). Valori di verità 0 booleani e vero(IT,T,V,1) e falso (FF,F,F,0) >_T/F per la sintassi (rappresentazione simbolica dei booleani nelle formule) > 1/0 per la semantica (indica valore di verità di una formula) Formule proposizionali Si ottengono a partire da: Formalizzazione di implicaxioni/equivali Se P allora Q (P>Q) P è conseguenza di Q (Q>P) P è condizione necessaria e sufficiente per Q (P=Q) P è condizione necessaria per Q (Q>P) P è condizione sufficiente per Q (P>Q) P vale solo se vale Q (P>3Q) P vale se vale Q (Q>P) P vale se e solo se vale Q (P=Q) 1. Introdurre simbolo proposizionale per ogni proposizione elementare; 2. Costruire la formula collegando le occorrenze dei simboli proposizionali con connettivi logici. Esempi “Piove e fa molto freddo.” (PAR) “Fa freddo, ma non piove.” (RAP) “Se ci sono nuvole e non c'è vento, allora piove.” (NA-V)>P Livelli dip I ha ivi logici Operatore Livello di precedenza (crescente) = (0) 5D,e 1 AV 2 ni 3 Definizioni e Tautologia: formula proposizionale sempre vera per qualunque interpretazione; e Contraddizione (formula insoddisfacibile): formula proposizionale sempre falsa per qualunque interpretazione; e Formula soddisfacibile: formula proposizionale in cui esiste almeno un'interpretazione per la quale la formula è vera. P|QT{(P|A[{QO|{>|Q[P|A]|(Q| A] |P)|P|]>|Q HI 1passaggio (o) o|]lo|jo|o 1 o|o|ojo|o 1 oo 1 O | BI 2passaggio MI 3 passaggio (o) 1 o0|0|1 1 1 o|0]|1 1 1 o|0o0]|1 1 1 o|1 o|0|1 (0) 1 o|o|]o|o]|1 1 o|o0 1 1 1 1 i) 1 1 1 (°) i) (0) (*) 1 i) 1 i) Tautologia Contraddizione Soddisfacibile Problema fondamentale del Calcolo Proposizionale Dimostrare che una formula è una tautologia. Una proposizione è una tautologia se e soltanto se il suo valore di verità rimane T indipendentemente dal valore di verità delle sue componenti elementari. > Dunque se p è una tautologia, allora =p è una contraddizione. 7 si ti Lo scopo del CP è quello di sviluppare un calcolo formale per le formule proposizionali, che consenta di effettuare dimostrazioni di “asserti interessanti” attraverso una pura manipolazione simbolica delle formule coinvolte. (come possibile nel caso di espressioni algebriche che coinvolgono operatori governati da leggi) e pimplica tautologicamente una proposizione q se soltanto se p => qèunatautologia; e pètautologicamente equivalente a q se e soltanto se p= qè una tautologia. Dimeshazioni di Equivali Tautelegich Come per equazioni algebriche si può provare P1= Pn nel modo seguente: PI = {giustificazione} P2 = {giustificazione} Pn 1 dove ogni passo ha la forma: R =p=@ RIQ/P] Ogni passo è corretto per il Principio di Sostituzione Teorema: Pv(QvR)=(PvQ)v(PvR) (PvQ)=(QvP) = {Commutatività } (QvP)v(PvR) = {Associatività} Qv(Pv(PvR)) = {Associatività} QV((PVP)VR)) = {Idempotenza} QV(PVR)) = {Associatività} (QvP)vR = {Commutatività} (PvQ)vR = {Associatività} Pv(QvR) Leggi isal Riflessività Simmetria Associatività Unità Transitività AGANUNE )A(Q=R})>(P=R]) Leggi congiunzione e dsqunzi Commutatività Associatività Idempotenza Unità Zero (Dominanza) Distributività Doppia negazione Terzo escluso Contraddizione De Morgan T:F ET Leggi implicazione 1. Eliminazione > 2. Eliminazione = PUIUN POUNUN Insiemi funzionalmente completi PvQ=QvP oppure PAQ=QAP Pv(QvR)=(PvQ)vR oppure Pa(QAR)=(PAQ)AR PvP=P oppure PAP=P PAT=P oppure PvF=l PAF=F oppure PvT=T PA(QvR)=(PAQ)v(PAR) oppure Pv(QAR)=(PVvQ)A(PVR) =(-P)=P Pv-P=T PA-P=F 2(PAQ)=-Pv-Q oppure -(PvQ)=-PA-Q T=F FEST (P>Q)=-PvQ (P=Q)=(P>0)(Q>P) Alcuni connettivi logici possono essere definiti in termini di altri permettendo quindi di derivarne altri, definendo quindi sotto insiemi funzionalmente completi. > , = A, —, v, «} è l'insieme dei connettivi tale per cui è possibile esprimere e formalizzare ragionamenti in cui compaiono tutti e 5 i connettivi a. PA(PvQ)=P b. Pv(PAQ)=P Dimostrazione PA(PVOQ) ={Unità} (PvF)A(PVQ) ={Distributività (al contr.)} PV(FAQ) PV(PAQ) ={Unità} (PAT)V(PAQ) ={Distributività (al contr.)} PA(TVQ) ={Zero} ={Dominanza} PVF PAT ={Unità} ={Unità} P P C si Eliminazi = (big) (P9Q)=(-Q>-P) (P=Q)=(PAQ)V(=PA-=Q) Dimostrazione Dimostrazione (P>Q) (P=0) {Eliminazione >} {Eliminazione =} -PvQ (P>Q)=(Q>P) ={Commutatività} {Eliminazione > (2 volte)} Qv-P (PvQ)A(QvP) ={Doppia negazione} “pQvoP {Eliminazione > (al contr.)} -Q>-P ={Distributività} (-=PA(QvP))v(QA(=QvP)) ={Complemento (2 volte)} (=PA-Q)V(QAP) ={Commutatività} (PAQ)V(-=PA3Q) Scambio (PAQ>R)=((PA-R)>-Q) Dimostrazione PaQ>R ={Eliminazione =} =(PAQ)vR ={De Morgan} (-Pv-Q)vR ={Associatività, commutatività} (PvR)vaQ {Eliminazione > (al contr.)} -(-PvR)>-Q ={De Morgan} Pa-R>-Q Medus Ponens Se P implica Q e P vale, allora anche Q vale. (P>Q)AP>Q Dimostrazione (P>Q)AP>Q ={Eliminazione >} (-PvQ)AP>Q ={Complemento} (QAP)>Q {Eliminazione >} —(QaP)vQ ={De Morgan} (CQv-P)vQ ={Associatività, terzo escluso} Tv-P ={Dominanza} T Semplificazione A Inheduziene V PAQ=>P oppure PAQ>Q P2PvQ oppure Q>PvQ Dimostrazione Dimostrazione PaQ=>P P>PvQ ={Eliminazione >} ={Eliminazione >} “(PAQ)vP “PV(PVOQ) ={De Morgan} ={Associatività, terzo escluso} (Pv-Q)vP TvQ ={Associatività, terzo escluso} Tv-Q ={Dominanza} T ={Dominanza} T 10 Esempio ((PvQ)>R)>(P>R) Dimostrazione PSR «{Introduzione v: P>PVQ, (P)} (Pvo)>R 12 Fowme Normali Spesso è desiderabile semplificare, mediante l'uso di tautologie, formule complicate fino a portarle in una forma più semplice, in cui compaiono solo alcuni dei connettivi visti. Tali forme sono dette forme normali - forma normale congiuntiva: (pl v p2 V...) A(A1Vvq2 Vv...) A. dove pi, p2,..,q1, q2,.. sono lettere proposizionali (cioè identificatori/simboli) o la negazione di lettere proposizionali. - forma normale disgiuntiva: (pl A p2 A..)v(qglA1q2/...)v.. Le forme normali forniscono un meccanismo per verificare, tra l'altro, se una data formula è o meno una tautologia. Principio di Risoluzione (esempio f. normale) (PvQ)A(-PvR))(QvR) Dimostrazione (PvQ)A(-P vR) {Eliminazione >2 VOLTE } (-Q=P) A (P> R) = { Transitività= } -Q> R > {Eliminazione > } QvR Tollende Tellens (P>Q)A-Q>-P Dimostrazione (P9Q)A-Q ={Eliminazione >} (PvQ)A3Q ={Complemento} =PA-Q =>{Semplificazione A} -P 13 Dimoshazione pev assude 1. Per dimostrare P basta mostrare che negandola si ottiene una contraddizione. P=(-P>F) Dimostrazione (-P>F) ={Eliminazione >, Doppia negazione} PVF ={Unità} P 2. Per mostrare che P (ipotesi) implica Q (tesi) basta mostrare che se vale P e si nega Q si ottiene una contraddizione. (P>Q)((PA=Q)>F) Dimostrazione (PA-Q)>F ={Eliminazione >} =(PA=Q)vF ={De Morgan, Doppia negazione} (-PvQ)vF ={Unità} aPvQ {Eliminazione > (al contr.)} P>Q Esempio Si vuole dimostrare (PvQ>R)>(P>R) per assurdo. (PvQ>R)A-(P>R)>F ipotesi negip assurdo Dimostrazione (PvQ>R)A-(P>R) {Eliminazione > (2 volte)} ((PvQ)vVR)A-(-PVR) ={De Morgan, Doppia negazione} ((PA=Q)vVR)A(PA=R) ={Associatività, Commutatività} ((PA-Q)vR)ARAP ={Complemento] (PA=Q)A-RAP ={Associatività, Commutatività} =PAPA-QA5R ={Contraddizione} FA(2QA-R) 15 ={Zero} F Dimeshazione della contappesizione. Sapendo che una proposizione è vera solo se è vera un'altra, deduciamo che se non è vera non lo è neppure l'altra. Viene espressa formalmente dalla seguente tautologia: (P> Q)=(-Q> -P) Analisi per casi. Se è possibile dedurre una conclusione tanto da una proposizione quanto dalla sua negazione, allora la conclusione è sempre vera: (P3Q)A(-P3Q) Alte tecniche di dimostrazione (P AQ)=(QnS) Basta fornire due prove separate per: 1. P>Q 2. R>S Dunque : {(P> Q) (R> S))> ((P AQ)9(QAS)) Dimostrazione (P>Q)A(-P3Q) {Eliminazione > (2 volte)} (PVQ)APVO) ={Distributiva al contraio} (PvP)vQ ={Contraddizione} FvQ ={Unità} Q Dimostrazione (P> Q)A (R> S) {Eliminazione > (2 volte)} (PvQ)A (-Rv S) = {Introduzione V, (-P v Q)>(-P vQ)v-R, (PvO)} (SP v Q)v-Ra (R> S) > {Introduzione V, (-R v S)>(-Rv S)vP, RVS)) (Pv QvaR)A (Rv S vaP) ={Associativa, Commutativa} ((P vaR)vQ) A (Pv R)v S) ={Distributiva al contrario} (PvaR) A(QA S) =*{De Morgan} «(PvR) A (QAS) ={Eliminazione > al contrario} Logica dei predicati LOGICA DEI PREDICATI Il Calcolo Proposizionale non è in grado di cogliere relazioni fra enunciati diversi (elementi del dominio di interesse), che potrebbero aiutare nel ragionamento su di essi. Questo limite della logica proposizionale viene superato dalla Logica dei Predicati, una sua estensione così detta per il fatto che "predica", ossia dice qualcosa di uno o più oggetti La logica dei predicati analizza: - le persone (oggetti) coinvolti - le proprietà di essi - le relazionitra i vari elementi Rappresentano le proprietà e le relazioni tra i vari elementi. Possono essere unari (predicati ad 1 elemento), binari (predicati a 2 elementi)... Un predicato è una proposizione dalla quale siano stati eliminati uno o più oggetti. Ciascuno di essi verrà sostituito da una variabile, alla quale potrà essere, di volta in volta, assegnato un valore fra quelli di un insieme ad essa associato, detto il suo dominio. Gli argomenti dei predicati vengono definiti termini. | predicati con più argomenti possono avere notazione: e infissa: esempio .>. e suffissa: esempio >(. , .) A partire dai predicati vengono costruite formule, con significato vero o falso. Dominio di interesse è l'insieme degli elementi di cui si sta “predicando”: costanti o variabili 
