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Universit`a Ca’ Foscari Venezia – Dipartimento di Economia
Prova scritta di Statistica [ET0060, cdl in Economia e Commercio]
Data: 17 gennaio 2017 Prova A
Domande a risposta multipla
- Sia X ∼ U nif orme[− 5 , 15] una variabile casuale continua con funzione di densit
a di probabilita
fX (x) =
05 se − 5 ≤ x ≤ 15 , 0 altrimenti. Si indicano con xq, 0 < q < 1, il quantile di ordine q di X e con FX (x) la funzione di ripartizione di X nel punto x. Allora: (a) FX (14) = 0. 95 (b) FX (6) = 0. 65 (c) FX (12) = 0. 15 Soluzione (a) Vero (b) Falso (c) Falso
Sono state raccolte le seguenti 10 osservazioni su una variabile quantitativa X: 0.21 0.21 0.21 0.21 0.23 0.35 0.77 1.8 1.8 1.86. Sia F 10 (x) la funzione di ripartizione empirica della variabile X. F 10 (0.63) vale: (a) 0. (b) 0. (c) 0. Soluzione (a) Falso (b) Vero (c) Falso
- Sono state raccolte 500 osservazioni su una variabile quantitativa X. La distribuzione di frequenza `e riportata nella seguente tabella Fr. ass.^ X^ 2.8 1 2.9 29 120 3.0^187 3.1^114 3.2^ 3.3 44 3.4 5 Lo scarto quadratico medio vale approssimativamente: (a) 0. (b) 0. (c) 0. Soluzione (a) Falso (b) Vero (c) Falso
- Sia X ∼ N (− 803 , 51076) e sia FX (x) la funzione di ripartizione di X. FX (− 938 .6) vale, approssimativamente: (a) 0. (b) 0. (c) 0. Soluzione (a) Vero (b) Falso (c) Falso
- Sono state raccolte 2309 osservazioni sulla variabile numerica X, di cui l’istogramma in Figu- ra 1(a) sintetizza la distribuzione di frequenza. La funzione di ripartizione empirica dei dati osservati `e rappresentata in Figura (a) 1(b) (b) 1(c) (c) 1(d) Soluzione (a) Falso (b) Vero (c) Falso
(b) P(B) = 0. 56 (c) P( A¯) = 0. 59 Soluzione (a) Falso (b) Falso (c) Vero
- Il boxplot in Figura 2 rappresenta la distribuzione di frequenza della variabile X. (a) Il primo quartile vale 4. (b) Il primo quartile vale 2. (c) Il primo quartile vale 3. Soluzione (a) Falso (b) Vero (c) Falso
- Sia X ∼ N (500, 11025). Il quantile di ordine 0.00082 di X vale, approssimativamente: (a) 0. (b) 207. (c) 169. Soluzione (a) Falso (b) Falso (c) Vero
- Sia Tn uno stimatore di un parametro θ, con V(Tn) = 0.27 e B(Tn) = − 0 .61. Il valore di MSE(Tn) `e (a) 0. (b) -0. (c) 0. Soluzione (a) Vero
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Figura 2: Boxplot
(b) Falso (c) Falso
- Sia X ∼ N (θ, 28224) e si supponga di disporre di un campione bernoulliano di dimensione n = 9. Il valore della media campionaria
e ¯x 9 = −3930. Sie costruito il seguente intervallo di confidenza per θ: [− 4060. 48 , − 3799 .52]. Il livello di fiducia `e: (a) 0.
(b) 0. (c) 0. Soluzione (a) Falso (b) Falso (c) Vero
- Sono state raccolte le seguenti 11 osservazioni su una variabile quantitativa X: 2.54 2.93 3.57 4.27 5.15 5.57 6.35 6.68 8.11 10.59 10.9. Il quantile di ordine 0.75 vale: (a) 0. (b) 8. (c) 3. Soluzione (a) Falso (b) Vero (c) Falso
Esercizi
- Un’azienda agricola vende cassette di arance di produzione propria. Le cassette hanno una tara di grammi 250 e vengono riempite con 25 arance estratte in modo casuale da una grande cassa. Il peso delle arance contenute nella grande cassa
e una variabile casuale gaussiana, con valore atteso 150 grammi e scarto quadratico medio 4 grammi. Le cassette hanno un costo unitario di spedizione pari a 2 euro, se il loro pesoe inferiore a 4020 grammi, o pari a 2.75 euro altrimenti. (a) Determinare il valore atteso e lo scarto quadratico medio della variabile aleatoria che rappresenta il peso delle cassette preparate per la vendita (b) Dire, giustificando la risposta, qual e la legge di probabilita del peso della cassette prepa- rate per la vendita (c) Determinare il costo atteso di spedizione di una cassetta di arance Soluzione Denominiamo con Xi la variabile aleatoria che rappresenta il peso dell’i−esima aran- cia inclusa nella cassetta, i = 1,... , 25. Si tratta di variabili aleatorie indipendenti, con distri- buzione gaussiana, e con E[Xi] = 150 e V[Xi] = 4^2 , i = 1,... , 25. Sia inoltre Y la variabile aleatoria che rappresenta il peso di una cassa. Risulter`a: Y = 250 + ∑^25 i=1 Xi.
Soc. persone Soc. capitali Regolare 683 570 Non regolare 201 116
Tabella 1: Rilevazione della regolarita nella tenuta dei libri contabili su societa di persone e di capitali del Veneto
(a) E[Y ] = 250 + ∑^25 i=1 E[Xi] = 4000; V[Y ] = ∑^25 i=1 V[Xi] = 400; √V[Y ] = 20 (b) Essendo una combinazione lineare di variabili aleatorie gaussiane, Y ha distribuzione gaussiana, con valore atteso e varianza determinate nel punto precedente (c) Sia Z la variabile aleatoria che rappresenta il costo di spedizione di una cassetta. La distribuzione di probabilita di Z puo essere scritta come segue:
pZ (z) =
1 − θ z = 2 θ z = 2. 75 0 altrove dove θ = P (Y > 4020). Il costo atteso di spedizione di una cassa risulter`a: E[Z] = 2 · (1 − θ) + 2. 75 · θ Dato che: P (Y > 4020) = 1 − Φ (^402020 −^4000 )^ = 0.1587, risulta E[Z] = 2. 119
- Nel corso di un’attivit
a di verifica fiscale, la Guardia di Finanza del Veneto ha svolto un controllo su un campione casuale di 1570 societa, rilevando la regolarita nella tenuta delle scritture contabili e il tipo di societa (di persone o di capitali). I dati sono riportati nella tabella 1. (a) Verificare, ad un livello di significativita α = 0.05, se vi sia indipendenza tra tipo di societa e regolarita nella tenuta delle scritture fiscali (b) Costruire un intervallo di confidenza, al livello 0.95, per la probabilita che una societa di capitali sia in regola con la tenuta delle scritture fiscali. Soluzione (a) Con pij , i = 1, 2 , j = 1, 2 , 3 , si indicano le probabilita congiunte degli eventi indicati nella tabella di contingenza. Si definiscono, inoltre, pi· = ∑^3 j=1 pij e p·j = ∑^2 i=1 pij. Il sistema di ipotesi sara quindi: H 0 : Le due variabili sono indipendenti H 1 : Le due variabili non sono indipendenti. La statistica teste X^2 =
∑^2
i=
j=
(nij − nˆij )^2 n ˆij^ ,
Essendo α = 0.01 e z 0. 995 = 2.57583, l’intervallo cercato `e: [67. 555 , 69 .931].
(c) Fissati 1 − α e σ, l’ampiezza dell’intervallo dipende solo da n:
∆ = 2 √σnz 1 − α 2. Se, a partire da un certo n vogliamo aumentare la dimensione campionaria fino a dimezzare l’ampiezza dell’intervallo di confidenza, dovremo trovare un n∗^ tale che: ∆∗^ = 2 √σn∗ z 1 − α 2 e ∆
∗ ∆ =
2 , ovvero: 1 2 =
2 √σn∗ z 1 − α 2 2 √σnz 1 − α 2 =
√n √n∗. Segue immediatamente che n∗^ = 4n. Quindi, la dimensione campionaria che ci porta a dimezzare l’ampiezza dell’intervallo di confidenza, a parita di livello di fiducia, sara n∗^ = 4 · 7 = 28.
