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Prova scritta di Statistica (10 CREDITI)
II canale (Dott.ssa Conigliani)
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Nota: rispondere a ciascuna domanda utilizzando lo spazio
sottostante; i calcoli effettuati sulla brutta copia (che non si
consegna) non verranno presi in considerazione ai fini della
valutazione.
Esercizio 1. [10 punti]. Data la seguente distribuzione doppia che riguarda un collettivo di studenti iscritti al terzo anno secondo i caratteri “crediti conse- guiti” (X) e “media dei voti” (Y):
Y
X
a) rappresentare graficamente la distribuzione marginale di Y e la sua fun- zione di ripartizione; b) calcolare la mediana, i quartili, un indice di asimmetria per il carattere Y [R: M e = 26.91; Q 1 = 23.77; Q 3 = 28.78; A = − 0 .25]; c) calcolare la proporzione di individui con piu di 60 crediti e media inferiore a 28 [R: 0.49]; d) valutare se tra i due caratteri X e Y vie dipendenza assoluta [R: χ^2 rel = 0 .15].
Esercizio 2. [8 punti]. In una lotteria nazionale sono stati venduti 30 mila biglietti, di cui 30 vincenti. Si determini la probabilita’ di vincere almeno un premio acquistando 100 biglietti. E se si acquistano 1000 biglietti? [R: P(N¿0)=0.095; P(N¿0)=0.632]
Esercizio 3. [12 punti]. Date le seguenti coppie di valori (x,y):
(3,5), (6,9), (9,11), (15,18), (25,27)
a) Individuare quale delle due funzioni y = α + βx e y = α + βx^2 approssima meglio la relazione esistente tra x e y e stimarne i parametri [R: la retta, con R^2 = 0.996; α = 2. 48 , β = 0.99].
b) Nell’ipotesi di normalita’ della componente accidentale, sottoporre a test l’ipotesi di indipendenza lineare β = 0 con livello di significativita’ pari a 0. [R: rifiuto H 0 ]. c) Spiegare quale e’ la relazione tra l’indice di bonta’ di adattamento R^2 e il test di indipendenza lineare.
Esercizio 3. [12 punti]. Un campione di intervistati e’ stato classificato rispetto al grado di istruzione e al reddito mensile espresso in euro, dando luogo alla seguente distribuzione doppia:
Grado di istruzione Licenza media Diploma Laurea Reddito 0-1000 40 38 12 1000-2000 17 35 43 2000-4000 3 27 45
a) Costruire un intervallo di confidenza al 90% per la proporzione di laureati nella popolazione da cui e’ stato estratto il campione [R: (0.33;0.43)]. b) Si puo’ affermare che il reddito medio mensile della popolazione dei diplo- mati sia uguale al reddito medio mensile della popolazione dei laureati? Con- siderare l’alternativa unidirezionale piu’ opportuna e un livello di significativita’ pari a 0.05 [R: si rifiuta l’ipotesi nulla di uguaglianza delle medie].
Prova scritta di Statistica (10 CREDITI)
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Esercizio 1. [10 punti]. Data la seguente distribuzione doppia relativa che riguarda un collettivo di studenti iscritti al terzo anno secondo i caratteri “crediti conseguiti” (X) e “media dei voti” (Y):
Y
X
a) rappresentare graficamente la distribuzione marginale di Y e la sua fun- zione di ripartizione; b) calcolare la moda, il terzo decile e, il quarto percentile per il carattere Y [R: classe modale: (28-30); D 3 = 24.48; P 4 = 18.92]; c) calcolare la proporzione di individui con meno di 120 crediti e media superiore a 24 [R: 0.34]; d) valutare se tra i due caratteri X e Y vi `e dipendenza lineare e stimare i parametri della retta di regressione che esprime il voto medio in funzione dei crediti [R: rxy = 0.47; α = 21.8; β = 0.037].
Esercizio 2. [8 punti]. Sia X il peso in grammi del contenuto di una scatola di detersivo, ed Y il peso della scatola vuota. Assumendo che X e Y siano due variabili casuali normali indipendenti, con μx = 500, μy = 30, σx = 5, σy = 0.8: a) calcolare la distribuzione del peso complessivo di scatola e contenuto (specificando anche media e varianza) [R: N (530; 25.64)]; b) calcolare la probabilita’ che in un campione casuale di 10 unita’ almeno una scatola abbia peso complessivo superiore a 530 grammi [R: P (N > 0) = 0 .999].
Esercizio 3. [12 punti]. Per una popolazione Normale di media e varianza incognita, si vuole verificare l’ipotesi H 0 : μ = 0 contro H 1 : μ = −1. Si estrae un campione di n = 50 unita’ di media ¯x = − 0 .5 e varianza S¯^2 = 4.
Prova scritta di Statistica (10 CREDITI)
II canale (Dott.ssa Conigliani) - 01/07/
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Esercizio 1. [10 punti]. Data la seguente distribuzione doppia secondo i caratteri Y = ”spesa annua per generi alimentari” e X = ”spesa annua per vestiario” (in migliaia di euro)
Y X 0-10^ 10-30^ 30- 0-10 10 5 0 15 10-30 30 15 55 100 30-60 10 0 5 15 50 20 60 130 a) rappresentare graficamente la distribuzione marginale di Y e la corrispon- dente funzione di ripartizione; b) sintetizzare la distribuzione marginale di Y con un indice di dimensione, uno di variabilita’ e uno di asimmetria [R: μ = 26.05; σ^2 = 342.64; γ = − 0 .065]; c) calcolare la proporzione di unita’ con spesa annua per vestiario e spesa annua per generi alimentari (in migliaia di euro) minore o uguale di 30 [R: 0.46]; d) verificare se tra i caratteri X e Y vi e’ dipendenza assoluta [R: χ^2 rel = 0 .087]; e) come cambia l’indice calcolato al punto d) se i caratteri spesa per generi alimentari e spesa per vestiario fossero espressi in migliaia di lire? Motivare la risposta.
Esercizio 2. [8 punti]. Un’urna contiene 3 palline rosse e 3 nere; un’altra urna contiene 2 palline rosse e 4 nere; una terza urna contiene 1 pallina rossa e 5 nere. Si estraggono con reimmissione due palline da una delle urne scelta me- diante il lancio di un dado nel seguente modo: se sul dado esce il 2 si estraggono le palline dalla prima urna; se sul dado esce il 4 o il 6 si estraggono le palline dalla seconda urna; se sul dado esce un numero dispari si estraggono le palline dalla terza urna. Se si osservano due palline nere, quale e’ la probabilita’ che siano state estratte dalla prima urna? [R: P (U 1 |N ∩ N ) = 0.077]
Esercizio 3. [12 punti]. In un campione di 200 persone in procinto di presentare la dichiarazione dei redditi, solo 72 sono a conoscenza che e’ possibile dedurre le spese veterinarie.
a) Costruire un intervallo di confidenza al 95% per la stessa proporzione nella popolazione [R: (0.294;0.426)]. b) Se il livello di confidenza fosse 99%, l’intervallo di confidenza sarebbe piu’ o meno ampio di quello calcolato al punto a)? Perche’? c) Quale deve essere la numerosita’ campionaria affinche’ (con 1 − α = 0.95) sia possibile ottenere un intervallo di ampiezza minore di 0.08? [R: 554]
(X) del farmaco stesso. I tempi di reazione (Y) ottenuti nell’esperimento sono stati i seguenti:
Y 14.29 15.25 16.85 18.72 19.09 20. X 7 8 9 10 11 12
a) Stimare i parametri della retta di regressione di Y in funzione di X e determinare la bonta’ di adattamento della relazione stimata [R: α = 4.97; β = 1 .32; R^2 = 0.99]. b) Nell’ipotesi di normalita’ della componente accidentale, sottoporre a test l’ipotesi di indipendenza lineare con livello di significativita’ pari a 0.05 [R: si rifiuta l’ipotesi di indipendenza lineare]. c) Infine calcolare un intervallo di previsione per il tempo di reazione di una cavia a cui e’ stata inoculata una dose X=13 [R: (19.35;24.91)].
Prova scritta di Statistica (10 CREDITI)
II canale (Dott.ssa Conigliani) - 13/07/
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Esercizio 1. [10 punti].Sul volume I conti degli Italiani 1997 si trovano i seguenti dati relativi al tasso di disoccupazione (X) e al tasso di inflazione dei consumi privati (Y) in Italia negli anni 1991-1996:
X 8.8 9.0 10.3 11.4 11.9 12 Y 6.9 5.6 5.1 4.6 5.7 4.
a) rappresentare graficamente la distribuzione doppia; b) calcolare media, mediana e varianza di Y [R: μ = 5.4; M e = (5.1; 5.6); σ^2 = 0 .653]; c) stimare i parametri della retta di regressione del tasso di inflazione dei consumi privati in funzione del tasso di disoccupazione e determinare la bonta’ di adattamento della relazione stimata [R: α = 10.049; β = − 0 .44; R^2 = 0.5]; d) la retta stimata al punto c) puo’ essere utilizzata per prevedere il tasso di inflazione dei consumi privati in corrispondenza di un tasso di disoccupazione pari a 13? Motivare la risposta, e in caso affermativo effettuare la previsione richiesta [R: Yˆ = 4.329; la previsione non e’ attendibile].
Esercizio 2. [8 punti]. Due giocatori, A e B, fanno il seguente gioco: lanciano un dado, e se esce un numero pari vince il giocatore A, mentre se esce un numero dispari il dado viene lanciato nuovamente; se in questo secondo lancio esce il numero 1 vince il giocatore A, altrimenti vince il giocatore B. a) Determinare la probabilita’ di vincere per A e per B [R: P (A) = 0.58; P (B) = 0 .42]. b) Sia X la variabile casuale che assume valore 0 se A perde e valore 1 se A vince. Calcolare il valore atteso e la varianza di X [R: E(X) = 0.58; var(X) = 0 .24].
Esercizio 3. [12 punti]. Per andare ad un rifugio vi sono due percorsi. Ventotto persone scelgono il primo percorso, le rimanenti sedici persone scelgono il secondo, e i loro tempi di percorrenza (in minuti) danno luogo alle seguenti statistiche: n X S 2 Percorso 1 28 58 49. Percorso 2 16 66 114.
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Esercizio 1. [10 punti] Data la seguente distribuzione doppia delle fre- quenze relative secondo i caratteri continui Y = livello di istruzione (in anni di scolarizzazione) e X = reddito netto annuo (in migliaia di euro)
Y X 0-5 5-8 8-13 13-18 18- 0-20 0.26 0.03 0.01 0 0 20-50 0.06 0.15 0.02 0.03 0. 50-100 0.01 0.02 0.08 0.03 0. 100- 0.01 0.02 0.09 0.03 0.
a) rappresentare graficamente la distribuzione marginale del livello di istruzione; b) con riferimento alla distribuzione del punto a) calcolare mediana e quartili [R: M e = 7.18; Q 1 = 3.68; Q 3 = 12.75]; c) calcolare la proporzione di unita con almeno 10 anni di scolarizzazione [R: 1 − F (10) = 0.36]; d) calcolare la proporzione di unita con reddito minore o uguale a 50 mila euro e al piu 8 anni di scolarizzazione [R: 0.5]; e) sapendo che la numerosita del collettivo in esame `e pari a 100, valutare il grado di dipendenza assoluta tra il reddito e il livello di istruzione [R: χ^2 rel = 0 .27].
Esercizio 2. [8 punti] Un test effettuato su alcune cavie consiste in tre prove distinte. I risultati sperimentali hanno valutato che le probabilita’ che una cavia esegua correttamente tutte e tre le prove e’ pari a 0.15; la probabilita’ che sbagli al massimo una prova e’ 0.35; la probabilita’ che sbagli al massimo due prove e’ 0.7. a) Quale e’ la probabilita’ che la cavia sbagli tutte e tre le prove? [R. P (X = 3) = 0.30] b) Calcolare valore atteso e varianza della variabile casuale X =“numero di prove sbagliate” [R: E(X) = 1.80; var(X) = 1.06].
Esercizio 3. [12 punti] Per una popolazione Normale di varianza pari a 1 si vuole sottoporre a test l’ipotesi H 0 : μ = 0 contro l’alternativa H 1 : μ = 1. a) Posto α = 0.06, sulla base di una numerosita’ campionaria n = 10, individuare la regione di rifiuto del test [R: R = { X >¯ 0. 49 }].
b) Calcolare la potenza del test [R: 1 − β = 0.9463]. c) Supponendo che la potenza del test calcolata al punto b) non sia ritenuta sufficiente, dove possiamo agire per aumentare la potenza del test? d) Modificare l’esercizio facendo in modo che la potenza sia almeno 0.99 [R: n = 21].
