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Statistica – Esercitazione riepilogativa
ESERCIZIO 1. Sia (X, Y ) una variabile aleatoria bivariata, la cui distribuzione congiunta `e rappresentata nella seguente tabella
Y / X 1 4 6 0 0.05 0.2 0. 2 0.1 0.1 - 4 - 0.05 0.
a) Determinare la funzione di ripartizione (marginale) della variabile X.
b) Calcolare il coefficiente di correlazione lineare tra X e Y.
c) Si definisca la variabile statistica Z = 3X + 12 Y e si determinino E[Z] e Var[Z].
ESERCIZIO 2.
a) Calcolare la probabilita che lanciando due volte un dado regolare la somma dei punteggi dei due lanci sia inferiore a 4 e la probabilita che sia minore o uguale a 10.
b) Si consideri un’urna contenente 4 palline rosse e 3 nere. Si estraggono senza reimmis- sione due palline dell’urna.
(i) Calcolare la probabilita che siano entrambe nere. E quanto vale la probabilita che siano dello stesso colore? (ii) Se la seconda pallina estratta e rossa, quale la probabilita che la prima estratta sia stata nera? (iii) Si supponga di partecipare ad un gioco che consiste in un’unica estrazione: si vince 2 se la pallina estrattae rossa, si perde 3 se la pallina estratta e nera. Si calcoli il guadagno atteso. Il giocoe equo? In caso contrario, si proponga una modifica che renda il gioco equo. (iv) Si supponga di disporre di una seconda urna che contiene 5 palline nere e 10 rosse. Viene estratta un’unica pallina: la probabilita di estrarla dalla prima urnae pari a 3/4, mentre, ovviamente, la probabilita di estrarla dalla secondae pari a 1/4. Calcolare la probabilit`a che la pallina estratta sia nera.
c) Un gruppo di amici organizza una gita escursionistica in montagna. Il 30% dei parteci- panti e fuori allenamento mentre il restante 70% ha un buon allenamento. Si ipotizza che coloro che non sono allenati abbiano una probabilita pari a 0,6 di raggiungere la cima della montagna e che quelli allenati abbiano, invece, una probabilit`a pari a 0,9.
(i) Calcolare la probabilita che un escursionista, scelto a caso, raggiunga la cima. (ii) Sapendo che un escursionista non ha raggiunto la cima, determinare la probabilita che appartenga al gruppo degli escursionisti non allenati.
ESERCIZIO 3. La lunghezza X delle viti di una certa marca e una variabile aleatoria la cui legge di probabilita e continua ed ammette funzione di densita
f (x) =
2 0 ≤^ x^ ≤^2 0 altrove a) Calcolare E(X). b) Determinare l’espressione analitica della funzione di ripartizione di X. c) Sia Y = 3X + 2. Calcolare P (3 < Y ≤ 6) d) Viene estratto un campione casuale di 4 viti dalla popolazione. (i) Qual e la probabilita che esattamente 2 viti siano piu lunghe di 1, 5? (ii) Quante viti piu lunghe di 1, 5 mi aspetto di trovare tra le 4 estratte?
ESERCIZIO 4. Si consideri una variabile aleatoria biavariata (X, Y ). Supponendo che le possibilie realizzazione di X siano { 0 , 1 } e quelle di Y siano { 0 , 1 / 2 }, determinare, se possibile, almeno una distribuzione di probabilit`a congiunta per (X, Y ) che soddisfi, rispettivamente, le seguenti condizioni
a) X indipendente da Y ; E(X) = E(Y ). b) E(X) = E(Y ); Moda(X) =Moda(Y ).
ESERCIZIO 5. Sia X una variabile aleatoria distribuita secondo la legge normale di media 1 e varianza 9.
a) Calcolare P (1. 3 < X ≤ 2 .8). b) Determinare c tale che P (X ≤ c) = 0.85314.
SOLUZIONI
ESERCIZIO 1.
a) Funzione di ripartizione di X
F (x) =
0 x < 1
- 15 1 ≤ x < 4
- 5 4 ≤ x < 6 1 x ≥ 6 b) E(X) = 4.55, E(Y ) = 2.4, E(XY ) = 12.6 e Cov(X, Y ) = 1.68. Inoltre, Var(X) = 23. 75 − (4.55)^2 = 3.0475 e Var(Y ) = 8. 8 − (2.4)^2 = 3.04. Infine, il coefficiente di correlazione lineare `e pari a
ρ(X, Y ) = √^1.^68
- 0475
c) E[Z] = 3E[X] + 12 E[Y ] = 14. 85 Var[Z] = 3^2 Var[X] + 2−^2 Var[Y ] + 2 3 12 Cov[X, Y ] = 33, 23 ESERCIZIO 2. a) X=punteggio
P (X < 4) = P (X ≤ 3) = P ({ 1 , 1 } ∪ { 1 , 2 } ∪ { 2 , 1 }) = 3/ 36 P (X ≤ 10) = 1 − P (X > 10) = 1 − P (X ≥ 11) = = 1 − P ({ 5 , 6 } ∪ { 6 , 5 } ∪ { 6 , 6 }) = 1 − 3 /36 = 33/ 36
b)
(i) P (N 1 N 2 ) =^37 × 26 = 42 6 =^17 ∼= 0, 142
P (“2 palline dello stesso colore”) = P (R 1 R 2 ) + P (N 1 N 2 ) =^4736 +^17 =^37 ∼= 0, 406
(ii) P (N 1 |R 2 ) = (^) P (R P^ (R^2 |N^1 )P^ (N^1 ) 1 )P^ (R 2 |R 1 ) +^ P^ (N 1 )P^ (R 2 |N 1 )
46 × 37
(^1242) 47 =
(iii) E[X] = 2^47 + (−3)^37 = − 17 < 0
modifica ovvia: stesso numero palline nere e rosse n e stessa vincita/perdita c:
=⇒ E[X] = c 2 nn + (−c) 2 nn = 0
possibili anche altre modifiche: ad esempio, 3 rosse e 2 nere senza cambiare vincite
oppure vincita di 3 e perdita di 4 senza cambiare palline
(iv) P (N 1 ) =^3437 +^14155 ≈ 0 , 40476
c) FA= {fuori allenamento} e C= {raggiunto la cima}
(i) P (C) = P (F A)P (C|F A) + P (A)P (C|A) = 0, 30. 0 , 60 + 0, 70. 0 , 90 = 0, 81
(ii) P (F A|C) = P^ (F A P)P (C^ (C) |F A)=^01 ,^30 −. 00 ,, 8140 = 0, 6316.
ESERCIZIO 3.
a) E(X) =
0 x^12 dx^ =^12
[ (^) x 2 2
] 2
0 =^
b)
F (x) =
0 x < 0 (^12) x 0 ≤ x < 2 1 x ≥ 2
c) P (3 < Y ≤ 6) = P (3 < 3 X + 2 < 6) = P
3 < X^ ≤^43
= F
3
− F
3
d) Per i = 1,... , 4, si definisce
Zi =
1 se i–esima vite e piu lunga di 1, 0 altrimenti =⇒ Zi ∼ bern(θ) con θ = P (Zi = 1) = P (X > 1 , 5) = 1 − F (1, 5) = 1 − 12 1 , 5 = 1 − 0 , 75 = 0, 25 =⇒ Z := ∑^4 i=1 Zi ∼ binom(4; 0, 25)
(i) P (Z = 2) =
(0, 25)^2 (0, 74)^4 −^2 ∼= 0, 21
(ii) E(Z) = nθ = 4 × 0 , 25 = 1
ESERCIZIO 4. a) In virtu dell’indipendenza, le probabilita congiunte sono note una volta che abbiamo determinato le marginali; infatti pXY (x, y) = pX (x)pY (y). Poich´e
E(X) = pX (1), E(Y ) =^12 pY
Ora Φ(0, 25) ≈ 0 , 6 e, quindi, −d − 1 3 = 0,^25 da cui −d = 1, 75 ossia d = − 1 , 75. b) E(Y ) = 3E(X) + 1 = 4, V(Y ) = 3^2 V(X) = 81.
ESERCIZIO 6. a) λ = 1/ 2 b) P (X ≤ 3) = 1 − exp(− 0 , 5 3) = 0, 7769 c) P (X > 3) = 1 − P (X ≤ 3) = 1 − Φ(− 0 , 25) = 1 − [1 − Φ(0, 25)] = 0, 59871 d) P (X ≤ 10) = Φ(1, 5) = 0, 93319 > 0 , 9.
ESERCIZIO 7. a) λ = 4; Q ∼ Poisson(4) ⇒ P (Q ≥ 1) = 1 − P (Q = 0) = 1 − e−^4 ( (^4) 0!^0 ) = 1 − e−^4 = 1 − 0. = 0. 981684. b) S ∼ Poiss(4/2) ⇒ P (S = 0) = e−^2 ( (^2) 0!^0 ) = e−^2 = 0. 135335. c) E[X] = λ ∗ 60 = 4 ∗ 60 = 240. d) P (T ≤ 60) = 1 − e−^60 /^20 = 1 − e−^3 = 0. 950213 ESERCIZIO 8. a) X ∼ Exp(λ) : Var(X) = E(X^2 ) − [E(X)]^2 ⇒ E(X^2 ) = Var(X) + [E(X)]^2 = (^) λ^12 + (^) λ^12 = (^) λ^22 λ =
2 /E(X^2 ) = 4
b) P (X > 1) = 1 − P (X ≤ 1) = 1 − (1 − e−^4 ·^1 ) = e−^4 c) Y 1 = “numero stelle cadute in un minuto” ⇒ Y 1 ∼ Poisson(λ) Y 2 = “numero stelle cadute in due minuti” ⇒ Y 2 ∼ Poisson(2λ) = Poisson(8) P (Y 2 < 5) = (^80) 0!e− 8 + (^81) 1!e− 8 + (^82) 2!e− 8 + (^83) 3!e− 8 = 126. 33 · e−^8 = 0. 042
