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CORSO DI STATISTICA PER L’IMPRESA
ESERCITAZIONE DI RIEPILOGO DEL
Gaetano Grilli [email protected]
Esercizio 1
In uno studio condotto sull’indice di gradimento di un certo prodotto si sostiene che la percentuale di consumatori che ha dato il massimo punteggio è circa il 40 %. Si seleziona casualmente un campione di 5 consumatori.
Determinare la probabilità che tra i 5 consumatori estratti:
- Nessuno abbia dato il massimo punteggio
- Esattamente 1 consumatore abbia dato il massimo punteggio
- Al massimo 2 consumatori abbiano dato il massimo punteggio
- Per determinare le probabilità richieste si utilizza la funzione di probabilità Binomiale
con probabilità di successo costante π = 0.40 e numero di prove bernoulliane pari a n = 5
Essendo richiesta la probabilità che nessun consumatore dia il punteggio massimo bisogna calcolare la probabilità che X = 0
- La probabilità di successo e il numero delle prove bernoulliane restano invariati, rispettivamente pari a π = 0.40 e n = 5
Essendo richiesta la probabilità che esattamente un consumatore abbia espresso il punteggio massimo, bisogna calcolare la probabilità che X = 1
- La probabilità di successo e il numero delle prove bernoulliane restano invariati, rispettivamente pari a π = 0.40 e n = 5
La probabilità che al massimo due consumatori abbiano dato un punteggio massimo (cioè che sia X ≤ 2 ) può essere ottenuta come
Esercizio 2
In una caffetteria vengono serviti in media quattro clienti al minuto
Determinare:
- La probabilità che in un minuto vengano serviti esattamente 5 clienti
- La probabilità che in un minuto vengano serviti al massimo 3 clienti
- La probabilità che in un minuto vengano serviti più di 2 clienti
- La probabilità che in 5 minuti vengano serviti esattamente 10 clienti
- Bisogna fare riferimento ad una v.c di Poisson con parametro λ = 4 , pari al valore atteso della variabile Numero di clienti serviti in un minuto Dovendo determinare la probabilità che in un minuto siano serviti esattamente 5 clienti, si deve calcolare la probabilità che X = 5
- Il parametro λ resta invariato e pari a 4 Dovendo determinare la probabilità che in un minuto vengano serviti al massimo 3 clienti, si deve calcolare la probabilità che X ≤ 3
Si può procedere come nell’esercizio precedente:
- Si procede prima di tutto al calcolo del valore standardizzato
Quindi si calcola la probabilità che un pacco di pasta pesi meno di 495 gr
- Si procede prima di tutto al calcolo dei valori standardizzati
Quindi si calcola la probabilità
Esercizio 4
Da una popolazione di imprese tessili si estrae un campione di 25 unità su cui viene osservato il fatturato. Si suppone che la popolazione sia distribuita normalmente con media μ incognita e varianza pari a 16000 Euro. Nel campione il fatturato medio è pari a 173000 Euro.
Determinare:
- La stima per intervallo ad un livello di confidenza dl 95% per la media μ della popolazione
- La stima per intervallo ad un livello di confidenza del 99% per la media μ della popolazione
- Dato che la varianza del fatturato nella popolazione è nota e fissata la dimensione campionaria n = 25 , la media campionaria si distribuisce come una Normale con media μ e varianza σ^2 /n
Per costruire un intervallo di confidenza per μ di livello 1-α = 0.95 si consideri che:
1 – α = 0.95 α = 1-0.95 = 0.05 α/2 = 0.
Il valore critico zα/2 è il valore della distribuzione Normale standardizzata tale che:
Dalle tavole della distribuzione Normale standardizzata si ha che:
zα/2 = z0.025 = 1.
Perciò, l’intervallo di confidenza per il fatturato medio delle imprese μ si costruisce come:
Pertanto, i dati campionari portano a concludere che con un livello di confidenza del 95% il fatturato medio delle imprese della popolazione sia compreso tra i 171400 Euro e i 174600 Euro.
- Per costruire un intervallo di confidenza per μ di livello 1-α = 0.99 si consideri che:
1 – α = 0.99 α = 1-0.99 = 0.01 α/2 = 0.
Dalle tavole della distribuzione Normale standardizzata si ha che:
zα/2 = z0.005 = 2.
Perciò, l’intervallo di confidenza per il fatturato medio delle imprese μ si costruisce come:
Pertanto, i dati campionari portano a concludere che con un livello di confidenza del 99% il fatturato medio delle imprese della popolazione sia compreso tra i 170900 Euro e i 175100 Euro.
Esercizio 5
Il manager di una grande multinazionale operante nel settore tessile vuole stimare il fatturato medio annuo dei punti vendita a tre anni dalla loro apertura. A tale scopo, viene selezionato un campione casuale di 8 punti vendita e viene rilevato il fatturato medio annuo in milioni di euro. I fatturati osservati per ciascuno degli 8 punti vendita del campione sono:
Determinare:
- La stima per intervallo al 95% del fatturato medio annuo della popolazione.
Punto vendita (^1 2 3 4 5 6 7 ) Fatturato medio annuo (mln euro) 15 14 20 9 8 11 19 12
- La stima puntuale della media campionaria è data da:
La varianza del fatturato nella popolazione è ignota perciò è necessario stimarla. Uno stimatore appropriato è la varianza campionaria corretta S^2 , che in questo caso è pari a:
Se nella standardizzazione di la varianza (ignota) della popolazione viene sostituita con la varianza campionaria corretta S^2 , si ottiene la variabile casuale
che si distribuisce secondo una distribuzione t-Student con n – 1 gradi di libertà.
Per costruire un intervallo di confidenza per μ di livello 1-α = 0.95 si consideri che:
1 – α = 0.95 α = 1 – 0.95 = 0.05 α/2 = 0.
Il valore critico tα/2 è il valore della distribuzione t-Student tale che:
Dalle tavole della distribuzione t-Student con n – 1 = 8 – 1 = 7 gradi di libertà si ha che: tα/2 = t0.025 = 2.
Nell’esercizio:
Dalle tavole della distribuzione Normale standardizzata si ha che:
zα/2 = z0.025 = 1. Pertanto:
I dati campionari portano a concludere che, con un livello di confidenza del 95%, la proporzione della popolazione che legge abitualmente “The Economist” è compresa tra il 10.6% e il 13.4%
Esercizio 7
Il laboratorio di analisi di una azienda farmaceutica esamina un campione casuale di 32 compresse di un nuovo farmaco per verificare che la concentrazione media del principio attivo sia 1.25 gr (così come previsto dalle specifiche del processo produttivo) oppure sia diversa. La concentrazione media nel campione è pari a 1.247 gr. La deviazione standard della concentrazione nella popolazione è nota e pari a 0.0076 gr. Il livello di significatività è fissato al 5%.
Dal testo dell’esercizio è possibile dedurre il seguente sistema di ipotesi:
H 0 : μ = 1.25 gr
H 1 : μ ≠ 1.25 gr
Si tratta perciò di un test a due code (bidirezionale) per la media di una popolazione Normale con varianza nota.
Sotto H 0
e la statistica test appropriata è
Il livello di significatività scelto è α = 0.05 ed, essendo il test bilaterale, il valore critico che determina le regioni di accettazione e di rifiuto è ottenuto tramite le tavole della Normale standard e cioè:
zα/2 = z0.025 = 1.
e la regione di rifiuto è data da tutti i valori della statistica test Z tali che:
Dai dati dell’esercizio:
Poiché Z = -2.23 < -1.96 si rifiuta l’ipotesi nulla che la concentrazione
media di principio attivo nella popolazione sia pari a 1.25 gr
Utilizzando l’approccio del p-value , si ha che per il valore osservato della statistica test e il livello di significatività scelto:
Poiché p-value < α = 0.05 c’è una evidenza fornita dai dati contro H 0 la quale viene rifiutata.
Esercizio 8
In un’industria che produce componenti meccaniche si vuole verificare se il tempo medio per produrre uno specifico componente sia pari a 190 secondi oppure sia maggiore di 190 secondi. Si estrae un campione di 9 processi produttivi e si rileva che il tempo medio di produzione per il campione è 200 secondi con una varianza campionaria corretta pari a 225. Il livello di significatività è fissato al 10%.
E se si estraggono 150 processi produttivi?
Dal testo dell’esercizio è possibile dedurre il seguente sistema di ipotesi:
H 0 : μ = 190 secondi
H 1 : μ > 190 secondi
Si tratta perciò di un test a una coda (unidirezionale) per la media di una popolazione Normale con varianza incognita.
La dimensione campionaria è piccola (n < 30). La varianza σ^2 del tempo di produzione nella popolazione non è conosciuta e pertanto bisogna sostituirla con la varianza campionaria corretta S^2
Sotto H 0 la statistica test appropriata è
Il livello di significatività scelto è α = 0.10 ed, essendo il test unilaterale a destra, il valore critico che determina le regioni di accettazione e di rifiuto è ottenuto tramite le tavole della t-Student e cioè:
t n-1;α = t 8;0.10 = 1.
e la regione di rifiuto è data da tutti i valori della statistica test T tali che:
Dal testo dell’esercizio è possibile dedurre il seguente sistema di ipotesi:
H 0 : π = 0.
H 1 : π < 0.
Si tratta perciò di un test a una coda (unidirezionale) per una proporzione.
La dimensione campionaria è elevata (n = 600) pertanto si può utilizzare l’approssimazione Normale.
Sotto H 0 la statistica test appropriata è
Il livello di significatività scelto è α = 0.05 ed, essendo il test unilaterale a sinistra, il valore critico che determina le regioni di accettazione e di rifiuto è ottenuto tramite le tavole della Normale standardizzata e cioè:
-z α = -z 0.05 = -1.
e la regione di rifiuto è data da tutti i valori della statistica test T tali che:
Dai dati dell’esercizio:
Poiché Z = -1.083 > -1.645 non si rifiuta (ovvero si accetta) l’ipotesi nulla
che almeno un decimo della popolazione comprerebbe il nuovo gelato: il gelato sarà prodotto dall’azienda.
Utilizzando l’approccio del p-value , si ha che per il valore osservato della statistica test e il livello di significatività scelto:
Poiché p-value > α = 0.05 c’è una forte evidenza fornita dai dati a favore di H 0 la quale viene accettata per qualunque livello di significatività.
