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Compito Matematica Attuariale^1
25 settembre 2007 - Tempo 1h 30 min
Esercizio 1. Si precisi il significato delle seguenti espressioni:
- Nx =... Simbolo di commutazione utilizzato nei calcoli di premi di assicurazioni caso vita. In particolare, rappresenta la somma di tutti i Dx+h con h variabile da 0 a n (o anche ω). Pi`u formalmente:
Nx = Dx + Dx+1 +... + Dω =
∑^ ω
h=
Dx+h
in cui a sua volta Dx = lx · vx
2. R ·
N 65 − N 90
N 35 − N 50
Premio periodico vitalizio di un’assicurazione di rendita vitalizia, dif- ferita e temporanea, stipulata da un soggetto di eta x = 35 con decor- renza a partire dall’eta (x + m) = (35 + 30) = 65 e di durata n = 25 anni, dove m = 30 sono gli anni di differimento. Le rate di premio sono s = 15. Le rate di rendita sono pari a R.
lx+m lx
· vm^ =...
=m Ex = vm^ ·m px
Premio unico di un’assicurazione di capitale differito con capitale uni- tario, di durata m anni e stipulata da un soggetto di et`a x.
∑ω h=10 v hh− 1 / 1 q 36 ∑ 9 h=0 vhhp^36 premio periodico vitalizio, pagabile in s = 10 rate, di un’assicurazione caso morte, differita di m = 9 anni e vita intera, stipulata da un soggetto di et`a x = 36 anni, con capitale assicurato di 130. 000 e.
lx+h+1 − lx+h lx (^1) Tavole attuariali Italia m. 1981 - 4%.
Simbolo che non esiste, poiche il numeratoree privo di senso. Infatti, se al numeratore ci fosse stato lx+h −lx+h+1, allora il rapporto indicava la probabilita per un soggetto di eta x, di decedere nell’arco temporale (x + h) e (x + h + 1).
- ( 10 V 30 + P 11 ) · u =...
Espressione che permette di calcolare il fondo F 11 , ovvero un impor- to inferiore alla riserva matematica del contratto in questione. Ta- le situazione si verifica quando facciamo riferimento ad un contratto di capitale differito o di rendita differita (epoca antecedente al godi- mento), poiche in tali contratti il premio di rischio ha segno nega- tivo e dunque quello di risparmio supera il premio globale. Il con- tratto in esamee comunque riferito all’eta corrente dell’assicurato (x + t + 1) = (30 + 10 + 1) = 41 anni ede ancora in corso il pagamento dei premi periodici.
M 65
D 30
Premio unico di un’assicurazione caso morte differita di m = 35 anni e vita intera, stipulata da un soggetto di et`a x = 30 e con capitale assicurato pari a 50.000 euro.
Esercizio 2. Pagando all’eta di 40 anni, un premio unico puro di 5.000 e, quale pensione annua (anticipata) ci si puo assicurare dall’eta di 66 anni in poi? Si tratta di un’assicurazione di rendita differita e vita intera con R inco- gnita; l’assicurazionee stipulata da un soggetto di 40 anni ed e differita di m = 26 anni. La soluzione sara:
5 .000 = R · (^26) /∞a 40
R =
26 /∞a 40
D 40
N 66
Esercizio 3. Un 50-enne stipula un’assicurazione di rendita vitalizia dif- ferita di 15 anni, vita intera, di rata annua pari a 25.000 euro. E previsto il` pagamento di 10 rate di premio vitalizio. Calcolare^2 :
(^2) Impostare e risolvere gli esercizi scrivendo le formule in tutti i modi conosciuti e facendo i calcoli utilizzando simboli di commutazione
