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Esercitazione di Matematica Generale CLEF
27 Novembre 2025 A.A. 2025-
Esercizio 1. Calcolare il polinomio di Taylor delle seguenti funzioni attorno al punto specificato e arrestando
lo sviluppo all’ordine indicato:
a) f (x) = ln(3 + x) (x 0 = 0, n = 3),
b) f (x) =
1 + cos x (x 0 = 0, n = 2).
c) f (x) =
cos x x+1 (x^0 = 0, n^ = 2).
d) f (x) = e
x+ (x 0 = 0, n = 2).
e) f (x) = ex^ (x 0 = 1, n = 3).
f) f (x) =
3
x^2 + 4x + 1 (x 0 = 0, n = 3).
Approssima con un polinomio di Taylor di grado 2:
e.
Esercizio 2. Calcolare i seguenti integrali immediati:
(a)
Z
e
√ x+ √ x + 1
dx
(b)
Z
cos(x) sin
4 (x)dx
(c)
Z
x^2 + 4x + 1 √ x
dx
(d)
Z
x
2 cos(x
3 )dx
(e)
Z
cot(x)dx
(f )
Z
e^2 x
1 + e^4 x^
dx
(g)
Z
sin(
x + 1) cos(
x + 1) √ x + 1
dx
(h)
Z
sin(ln(x))
x
dx
Esercizio 3.
Calcolare i seguenti integrali per sostituzione:
(a)
Z
ex^ − e−x
ex^ + e−x^
dx
(b)
Z
e^2 x √ e^2 x^ + 1
dx
(c)
Z
x
p ln(x)
dx
(d)
Z
ln
2 (x) + 2 ln(x) + 1
x
dx
(e)
Z
x √ x + 1
dx
(f )
Z
1 − cos(x)
(x − sin(x))^2
dx
(g)
Z
cos(1 +
x)
2
x
dx
(h)
Z
x
2
1 + x^6
dx
Esercizio 4.
Calcolare i seguenti integrali per parti:
(a)
Z
xe
−x dx
(b)
Z
x sin(x)dx
(c)
Z
x ln(x)dx
(d)
Z
(3x + 4) sin(x)dx
(e)
Z
arcsin(x)dx
(f )
Z
x + 1
x^2
ln(x)dx
(g)
Z
e
2 x cos(x)dx
(h)
Z
cos
2 (x)dx
Esercizio 5.
Calcolare i seguenti integrali definiti:
(a)
Z 2
1
x
2
x
dx
(b)
Z (^) e
1
x
p ln(x)
dx
(c)
Z (^) ln(3)
0
ex+
ex^ + 2
dx
(d)
Z (^) π/ 2
0
x cos(x) dx
