Scarica Esercitazioni sulle distribuzioni probabilistiche binomiale e normale e più Esercizi in PDF di Statistica solo su Docsity!
Esercitazione 3
Probabilità binomiale e normale
Rosalba Rosato
Esercizio 1
• Se i punteggi ad un test di socievolezza si
distribuiscono normalmente con media 35 e
deviazione standard 10, quale proporzione di
punteggi è:
a) Maggiore di 34
b) Maggiore di 42
c) Compresa tra 29 e 37
- XN(35,10^2 ); =35 e = a) Quale proporzione di punteggi è maggiore di 34? P(X>34)=?
- Standardizziamo il punteggio 34
ൌ ݖ
- Cerchiamo il valore z=0.1 sulle tavole (sono riportati solo i valori positivi di Z poiché la distribuzione è simmetrica) e troviamo la probabilità compresa tra la media e Z P(‐0.1<Z<0)=0.
- L’esercizio chiede di trovare la probabilità (proporzione di soggetti) con valore superiore a 34, quindi alla probabilità calcolata bisogna aggiungere 0.5,ovvero la probabilità di ottenere un punteggio superiore alla media (P(Z>0)=0.5): P(Z>‐0.1)= P(‐0.1<Z<0)+ P(Z>0)=0.0398+0.5=0.
- XN(35,10^2 ); =35 e = b) Quale proporzione di punteggi è maggiore di 42? P(X>42)=?
- Standardizziamo il punteggio 42
ൌ ݖ
- Cerchiamo il valore z=0.7 sulle tavole e troviamo la probabilità compresa tra la media e Z P(0<Z<0.7)=0.
- L’esercizio chiede di trovare la proporzione di soggetti con un valore superiore a 42, quindi la probabilità nella coda della distribuzione. Tale probabilità può essere calcolata sottraendo alla probabilità sopra la media (P(Z>0)=0.5) il valore trovato sulle tavole (P(0<Z<0.7)=0.2580) P(Z>0.7)= P(Z>0)‐ P(0<Z<0.7)=0.5‐.2580=0.
a. Il 30% degli studenti con un punteggio più alto, ottengono un certificato. Qual è il punteggio più basso per ottenere il certificato?
- In questo esercizio dobbiamo invertire le formule della standardizzazione, perché conosciamo la probabilità nella coda, conosciamo la media e la deviazione standard, dobbiamo ricavare il valore di X. Per fare questo prima ricaviamo il valore di z.ܼܲ ? ൌ 0.
- Cerchiamo sulle tavole qual è il valore di z che lascia alla sua destra una probabilità pari a 0.30. Poiché la tavola riporta la probabilità compresa tra la media e z, cercheremo il valore di probabilità 0.20.5‐0.3=0.2; Z=0.52 lascia alla sua destra una probabilità pari a circa il 30% ܼܲ 0.52 ൌ 0.5 െ 0.1985 ൌ 0.3015 0.
- Partiamo dalla formula della Standardizzazione ൌ ݖ ௫ିఓఙ ൌ⇒ 0.52 ൌ ௫ିଶହସ ൌ 0.52 ∗ 4 ൌ ݔെ 25 → ݔൌ 25 0.52 ∗ 4 ൌ27.
- Il punteggio minimo per ottenere il certificato è 27
- XN(25,4^2 ); =25 e =
Il 5% dei più bravi prende il patentino di guida turistica. Qual è il punteggio più basso per ottenere il patentino?
- In questo esercizio dobbiamo invertire le formule della standardizzazione, perché conosciamo la probabilità nella coda, conosciamo la media e la deviazione standard, dobbiamo ricavare il valore di X. Per fare questo prima ricaviamo il valore di z: x ܼܲ. ? ൌ 0.
- Cerchiamo sulle tavole qual è il valore di z che lascia alla sua destra una probabilità pari a 0.05. Poiché la tavola riporta la probabilità compresa tra la media e z, cercheremo il valore di probabilità 0.45=0.5‐0.05 Z=1.64 lascia alla sua destra una probabilità pari a circa il 0.05 ܼܲ 1.64 0.
- Partiamo dalla formula della Standardizzazione ൌ ݖ ௫ିఓఙ ൌ⇒ 1.64 ൌ ௫ିଶହସ ൌ 1.64 ∗ 4 ൌ ݔെ 25 → ݔൌ 25 1.64 ∗ 4 ൌ31.
- Il punteggio minimo per ottenere il patentino è 32.
Esercizio 3
- Supponiamo di estrarre casualmente 7 studenti del corso di
statistica. Per ciascuno di essi la probabilità di frequentare il
corso di matematica è 2/5.
a) Qual è la probabilità che 2 studenti frequentino il corso di
matematica?
b) Qual è la probabilità che tutti frequentino il corso di
matematica?
c) Qual è la probabilità che nessuno frequenti il corso di
matematica?
d) Qual è la probabilità che almeno 2 studenti frequentino il
corso di matematica?
e) Qual è la probabilità che al massimo 5 studenti
frequentino il corso di matematica?
Questo esercizio fa riferimento alla distribuzione di probabilità binomialeܺܲ
ݔ ൌ ݊ൌ (^) ݊!ݔ െ ݔ !! ௫^ ሺ1 െ ሻ ି௫
n=7; p=1/5=0.2; (1‐p)=0. a) Qual è la probabilità che 2 studenti frequentino il corso di matematica?
x=2 ܺܲ ൌ 2 ൌ (^) ଶ! ିଶ !! 0.2ଶ^ ∙ 0.8ିଶ^ coefficiente binomiale:∗∗ହ!ଶ!∗ହ! ൌ ସଶଶ ܺܲൌ 21
ൌ 2 ൌ 21*0.131=0. b) Qual è la probabilità che tutti frequentino il corso di matematica?
x=7 ܺܲ ൌ 7 ൌ (^) ! ି !! 0.2^ ∙ 0.8ି^ =1*1.28°‐5=0.
c) Qual è la probabilità che nessuno frequenti il corso di matematica?
x=0 ܺܲ ൌ 0 ൌ (^) ! ି !! 0.2^ ∙ 0.8ି^ =1*0.21=0.
Entro quali valori è racchiuso il 65% centrale dei casi?
- In probabilità, questo esercizio conosciamo dobbiamo la media invertire e la deviazione le formule standard, della standardizzazione, dobbiamo ricavare perché i valori conosciamo di X che la racchiudono il 65% centrale dei casi.
- Per sopra fare e metàquesto sotto prima la media.dividiamo 0.65/2=0.325 in due l′area 0.65, perché questa va cercata intorno alla media, metà
- A questo punto cerchiamo nelle tavole il valore di probabilità pari a 0.325 e risaliamo al valore di z.
- ܲ 0 ൏ ܼ൏ 0.93 ൌ 0.
- Poiché punteggi la normaledi x: è simmetrica il valore di Z va preso in modulo |Z=0.94| per determinare i due
- Partiamo dalla formula della Standardizzazione ൌ ݖߤ െ ݔߪ ൌ⇒ െ0.93 ൌ ݔെ 60 12 ൌ െ0.93 ∗ 12 ൌ ݔെ 60 → ݔൌ 60 െ 0.93 ∗ 12 ൌ 48.84 ≅ 49 ⇒ 0.93 ൌ ݔെ 60 12 ൌ 0.93 ∗ 12 ൌ ݔെ 60 → ݔൌ 60 0.93 ∗ 12 ൌ 71.16 ≅ 71
- Il 65% centrale dei punteggi di funzionamento fisico è compreso tra i valori 49 e 71
