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STATISTICA
#' Giugno#!")
Studente ______________________________
Esercizio " Si consideri un'urna contenente % palline contrassegnate dai numeri da " a %. Si supponga di estrarre, senza reinserimento, due palline dall'urna e sia \la v.c. che indica il minimo tra i numeri e ] la v.c. che denota la somma dei due numeri. +Ñ Determinare la funzione di probabilità congiunta di (\ß ] ). Sapendo che
0 ÐBß CÑ œ
B œ " C œ $ B œ " C œ % B œ " C œ & B œ # C œ & B œ # C œ ' B œ $ C œ (
]
" ' " ' " ' " ' " ' " '
se e se e se e se e se e se e
,Ñ CalcolareT Ð! \ Ÿ #ß ] %ÑÞ -Ñ Determinare le funzioni di probabilità marginali di \ e di ]. .Ñ Determinare la funzione di ripartizione marginale di . /Ñ Determinare la funzione di probabilità di ] subordinata a \ œ ". 0 Ñ Calcolare la covarianza tra \ e] Þ
Soluzione
+Ñ Lo spazio fondamentale è dato da
H œ Ö ÐA ß A Ñ ÐA ß A Ñ ÐA ß A Ñ ÐA ß A Ñ ÐA ß A Ñ ÐA ß A" # ß (^) " $ ß (^) " % ß (^) # " ß (^) # $ ß # % Ñß
ÐA ß A Ñ ÐA ß A Ñ ÐA ß A Ñ ÐA ß A Ñ ÐA ß A Ñ ÐA ß A$ " ß (^) $ # ß (^) $ % ß (^) % " ß (^) % # ß (^) % $Ñ×
e la funzione di probabilità quindi risulta
(^0) ] Ð"ß $Ñ œ T ÐA ß A Ñ T ÐA ß A Ñ œ" # # " " "% $^ " "% $^ œ"'
(^0) ] Ð"ß %Ñ œ T ÐA ß A Ñ T ÐA ß A Ñ œ" $ $ " " "% $^ " "% $^ œ"'
(^0) ] Ð"ß &Ñ œ T ÐA ß A Ñ T ÐA ß A Ñ œ" % % " " "% $^ " "% $^ œ"'
(^0) ] Ð#ß &Ñ œ T ÐA ß A Ñ T ÐA ß A Ñ œ# $ $ # " "% $^ " "% $^ œ"'
(^0) ] Ð#ß 'Ñ œ T ÐA ß A Ñ T ÐA ß A Ñ œ# % % # " "% $^ " "% $^ œ"'
(^0) ] Ð$ß (Ñ œ T ÐA ß A Ñ T ÐA ß A Ñ œ$ % % $ " "% $^ " "% $^ œ"'
,ÑT Ð! \ Ÿ #ß ] %Ñ œ (^0) ] Ð"ß %Ñ 0 (^) ] Ð"ß &Ñ 0 (^) ]Ð#ß &Ñ
0 (^) ] Ð#ß 'Ñ œ%'
-Ñ La funzione di probabilità marginale di \risulta
0 ÐBÑ œ
$Î' B œ " #Î' B œ # "Î' B œ $
\
se se se
mentre la funzione di probabilità marginale di ] risulta
0 ÐCÑ œ
"Î' C œ $ "Î' C œ % #Î' C œ & "Î' C œ ' "Î' C œ (
]
se se se se se
.Ñ La funzione di ripartizione marginale di \è
J ÐBÑ œ
! B "
$Î' " Ÿ B
&Î' # Ÿ B $
" B $
\
se se se se
/Ñ Ricordando che (^0) ] l\ ÐCl"Ñ œ (^0) ] Ð"ß CÑ / (^0) \Ð"Ñ, la funzione di probabilità di ]
subordinata a \ œ "è data da
0 ÐCl"Ñ œ
"Î$ C œ $ "Î$ C œ % "Î$ C œ &
] l\
se se se
0 Ñ Dato che
EÐ\Ñ œ " ‚ # ‚ $ ‚ œ
EÐ\Ñ œ $ ‚ % ‚ & ‚ ' ‚ ( ‚ œ œ &
EÐ] Ñ œ " ‚ $ ‚ " ‚ % ‚ " ‚ & ‚ # ‚ & ‚ # ‚ ' ‚ $ ‚ ( ‚ œ
da cui
CovÐ\ß ] Ñ œ Ð] Ñ Ð\Ñ Ð\Ñ œ & ‚ œ
E E E
Esercizio # Il numero di automobili prodotte da una fabbrica in una settimana si distribuisce secondo una variabile casuale \ con valore atteso pari a &! e varianza #&. +Ñ Determinare un limite inferiore per la probabilità che la produzione sia compresa tra %! e '!pezzi.
,Ñ Ñ œ Ñ œ J Ð Ñ œ Þ
# # %
P Ð\ PÐ\ Ÿ
\
-Ñ EÐ\ Ñ œ B0 ÐB Ñ.B œ B .B œ œ
" B
" ∞ ! # %
∞ # # !
,)^ ) ) )
) (^) )
.Ñ Ð\ Ñ œ B 0 ÐB Ñ.B œ B .B œ œ
" B %
E "# #^
∞!
∞ # \
$ # !
,)^ ) )
da cui
VÐ\ Ñ œ Ð\ Ñ Ò Ð\ ÑÓ œ œ Þ
#
"
E E
/Ñ ÐX Ñ œ Ð Ñ œ Ð\ Ñ œ
E (^) "8 E \ 8 E 3 )e quindi lo stimatore è distorto con distorsione
B ÐX Ñ œ EÐX Ñ œ
"8 "8 )^ )
0 Ñ X ÐX Ñ X Þ
MSE Ð Ñ œ V Ð Ñ œ V Ð\ Ñ œ VÐ\ Ñ œ
"8 "8 #^ "8 #^ #^ #^
B ) ) )
(^8) # 3 3œ"
8
1Ñ Poichè lim X 8Ä∞ " MSE Ð Ñ Á !, lo stimatore non è coerente in media quadratica.
Esercizio % Sia ÐB ß á B Ñ" 8 un campione casuale realizzazione di v.c. campionarie\ 3 Ð3 œ "ß á 8Ñ
con funzione di densità
(^0) \ ÐBà ) Ñ œ ) exp^ )B ^ IÐ!ß∞Ñ B ß )− ‘Þ
+Ñ Determinare una statistica sufficiente per )Þ ,Ñ Scrivere la funzione di verosimiglianza di ) dato ÐB ß á B Ñ" 8. -Ñ Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza di ). Supponendo di aver osservato un campione casuale di 8 œ &!osservazioni tali che
3œ"
&! B œ &! 3
.Ñ determinare la stima di massima verosimiglianza di )à /Ñ determinare lo stima di massima verosimiglianza di 68 ) "Þ
Soluzione +Ñ La funzione di densità congiunta del campione risulta
(^0) \ß8 ÐB ß á B à" 8 Ñ œ œ M ÐB Ñ 3 3œ" 3œ"
8 8 8 ) ^ ) exp ^ ) B 3 IÐ!ß∞Ñ B 3 ) exp^ )8B– Ð!à ∞Ñ
e pertanto, utilizzando il Criterio di fattorizzazione e ponendo
2ÐB ß á ß B Ñ œ" (^8) ∞ 1ÐBà Ñ œ 8B 3œ"
8 Ð!à Ñ 3 M ÐB Ñ e –^ ) ) 8 exp^ ) –^ , si può affermare che–
è una statistica sufficiente per ).
,ÑLa funzione di verosimiglianza risulta
PÐ Ñ œ -ÐB ß á ß B Ñ) (^) " 8 ) 8 )8B B 3 3œ"
8 exp^ – ^ IÐ!ß∞Ñ
-Ñ La funzione di logverosimiglianza risulta
6Ð Ñ œ) ln -ÐB ß á ß B Ñ 8" 8 ln ) )8B ln B 3 3œ"
8
Poichè: 3Ñ il supporto delle v.c. campionarie non dipende da ); 33Ñ lo spazio parametrico @è aperto;
333Ñ esiste, a ) −@, 6Ð àB ßáB Ñ^ )^ ")^8 ; 3@Ñ se ) Ä! ^ , 6Ð à B ß á B Ñ Ä) " 8 - ∞ per individuare la stima di massima verosimiglianza si può ricorrere all'equazione di verosimiglianza che risulta
8
6Ð Ñ œ 8B œ! ) )
) –^ ,
che ha un'unica soluzione )s œ "ÎB–^. Pertanto lo stimatore di m.v. risulta "Î\Þ–
.Ñ Poichè B œ &! , la stima di massima verosimiglianza di risulta sœ œ ". 3œ"
&! 3 " ) ) "
/Ñ Poichè la funzione logaritmo è monotona crescente di ), applicando la proprietà di
equivarianza si ha che la stima di massima verosimiglianza di 68 ) " è 68 s) " œ "
Esercizio & Un noto quotidiano afferma che, per quanto riguarda la composizione del management delle aziende italiane, il $&% delle aziende italiane è gestito da donne. Un ricercatore dubita dell'affermazione e a tale scopo seleziona un campione casuale di 8 œ '% aziende: di esse solo "'sono gestite da donne. +Ñ Determinare una stima puntuale della proporzione di aziende gestite da donne ed una stima della sua precisione.
,Ñ Costruire un intervallo di confidenza al livello " αœ !Þ*!per la proporzione di
aziende gestite da donne.
-Ñ Verificare, al livello αœ !Þ"!, se l'affermazione del quotidiano può essere accettata.
.Ñ In relazione al test effettuato al punto precedente, calcolare il : valore.
/Ñ Sulla base del p-valore dire se l'ipotesi che formulata al punto -Ñpuò essere accettata
al livello α œ !Þ!&Þ
Soluzione
/Ñ Dimostrare cheß dati due campioni casuali indipendenti di numerosità (^8) " e (^8) #relativi a v.c. normali con valori attesi rispettivamente. " e. # e uguale varianza 5 #, lo stimatore W (^) :#^ è uno stimatore corretto di 5 #Þ
Soluzione +Ñ L'intervallo ha come estremo inferiore B (^) " >8 " "" , αÎ# (^) ="- (^8) "e come estremo superiore B (^) " > (^) 8 "ß "" αÎ# (^) ="- (^8) "Þ Poichè > (^) %ß !Þ&œ #Þ"$#ß l'intervallo risulta Ð#&%Þ#à )#&Þ!)ÑÞ ,Ñ La stima puntuale risulta B (^) " B# œ &%! $!! œ #%! euroÞ Poichè = #:œ œ œ '*(%'Þ)ß la stima della varianza dello Ð8 "Ñ= Ð8 "Ñ= Ð8 8 #Ñ "!
" #"-^ # ##- %‚#** '‚#$) " #
stimatore è = Ð#: 8 " (^) "^ 8 " (^) #^ Ñ œ '(%'Þ) ‚ Ð "&^ "(Ñ œ #$"$Þ"e una stima della precisione relativa è RRMSE œ #$"$Þ"*Î#%! œ !Þ'%Þ -Ñ L'intervallo di confidenza al livello ha come estremi B C > (^) 8 8 # "" # , αÎ# = Ð#: 8 " (^) "^ 8 " (^) #^ Ñ e B C > (^) 8 8 # "" # , αÎ#= Ð#: 8 " (^) "^ 8 "#Ñ. Poichè
> (^) "! !Þ*&, œ "Þ)"# , l'intervallo risultaÐ %!Þ#"à &#!Þ#"ÑÞ .ÑIl sistema di ipotesi risulta H (^)! À ." œ .# ß H (^) " À ." Á .#ÞLa statistica test assume valore
> œ œ œ "Þ&&Þ
Ð B C^ Ñ &%! $!!
= Ð #: 8 " "^ 8 "#Ñ #$"$Þ"
La regione di rifiuto è (^7) V œ > À l>l ^ > (^) 8 8 # "" # , αÎ# . Poichè > (^) "! !Þ*&, œ "Þ)"# si accetta l'ipotesi nulla al livello di significatività α œ !Þ"!.
/Ñ Vedi appunti.
