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Esercizi per il corso di Statistica
Seconda Parte: Variabilit`a, concentrazione, asimmetria
E. Fabrizi
- Il numero di richieste di intervento pervenute al centralino di un’impresa di assistenza infor- matica nelle domeniche dell’ultimo anno hanno dato luogo alla seguente distribuzione:
xi ni 0 22 1 14 2 4 3 4 4 6 5 1 6 1
- Calcolare la deviazione standard.
- Calcolare lo scostamento medio semplice dalla mediana.
- Rappresentare la concentrazione del carattere attraverso il diagramma di Lorenz.
- Calcolare l’indice di concentrazione di Gini.
- I seguenti dati sono relativi ad una coppia di variabili quantitative:
- Rappresentare la concentrazione di entrambe le distribuzioni attraverso due spezzate di
xi yi 0 29 2 20 23 41 0 32 5 33 64 24 165 55 13 38
Lorenz nello stesso grafico;
- Sulla base del grafico possiamo affermare che una delle due variabili ha un indice di con- centrazione pi`u basso dell’altra?;
- Calcolare, per Y , l’indice R di concentrazione;
- Sempre per Y , calcolare una misura di asimmetria basata sul confronto di media e mediana;
- L’affermazione: ¯za = M ez implica R = 0 `e sempre vera, vera in alcuni casi o sempre falsa?
- Su un campione di dimensione n = 250, i dati relativi ad una variabile X sono riassunti nella seguente distribuzione di frequenze:
xj nj 1 84 2 96 3 44 5 15 8 6 13 1 21 3 34 1
Per la variabile X calcolare:
- la media aritmetica;
- la media geometrica;
- la deviazione standard;
- Rappresentare la concentrazione di X attraverso la curva di Lorenz;
- Calcolare l’indice R di concentrazione; Un indice di concentrazione alternativo a R noto in letteratura `e quello di Herfindal:
H =
∑n i=1 x 2 ( ∑^ i n i=1 xi
- Se X
e equidistribuita, allora H = 1/n. Questa affermazionee vera o falsa? Motivare la risposta; - Dimostrare che, in generale, H = CV^ (^2) + n. (in questo caso si intenda^ CV^ =^
σ ¯xa , quindi senza la post-moltiplicazione per 100);
- Calcolare la mediana della variabile X;
- Calcolare un indice normalizzato di asimmetria per la distribuzione di X.
- Si consideri il seguente campione di n = 13 strutture ospedaliere per cui `e stato rilevato il numero di posti letto (X).
260 , 128 , 374 , 118 , 261 , 400 , 154 , 305 , 93 , 239 , 65 , 177 , 210
- Calcolare media aritmetica e geometrica di X;
- Rappresentare la distribuzione del carattere mediante un box-plot;
- Rappresentare la distribuzione del carattere mediante la curva di Lorenz;
- Calcolare una misura di concentrazione del carattere;
- Calcolare una misura di asimmetria basata sul confronto di media e mediana.
- Nella seguente tabella sono riportate le prime otto citt
a tedesche rispetto al numero di edizioni a stampa nel periodo 1450-1469 (X); per le stesse citta `e riportato anche il numero di edizioni a stampa nel periodo 1470-1479 (Y ).
- Un’azienda `e presente in 8 paesi. Per ciascuno viene riportato nella tabella seguente il fatturato realizzato nell’ultimo anno (migliaia di euro)
Paese A B C D E F G H Fatturato 21 67 299 120 53 157 1981 43
- Calcolare il fatturato medio aritmetico e medio geometrico. Per quale ragione il secondo il risulta pi`u piccolo del primo?;
- Calcolare la media aritmetica trimmed al 75% ;
- Calcolare il coefficiente di variazione del fatturato;
- Rappresentare la concentrazione del fatturato mediante il diagramma di Lorenz;
- Calcolare l’indice di concentrazione R;
- Scrivere la distribuzione di massima concentrazione (lasciando invariato il fatturato comp- lessivo nell’insieme dei paesi);
- Calcolare una misura di asimmetria del fatturato.
- Relativamente ad una certa variabile discreta Y `e stato raccolto un campione di dimensione n = 205. I valori osservati sono stati riassunti nella seguente tabella:
yj nj 0 36 1 72 2 60 4 27 6 6 8 4
Calcolare:
- il coefficiente di variazione;
- l’asimmetria per mezzo dell’indice di Fisher e del confronto fra media e mediana;
- una misura di concentrazione del carattere;
- spiegare cosa succede alla concentrazione se viene applicata la trasformazione Z = Y 2.
- I seguenti dati sono relativi al numero di contratti conclusi da un campione di agenti di una certa azienda: X = { 7 , 18 , 1 , 5 , 19 , 4 , 1 , 1 , 2 , 4 , 5 , 2 }
- Rappresentare la distribuzione di X attraverso il diagramma di Lorenz;
- Calcolare l’indice di concentrazione R di Gini;
- Se 3 contratti attribuiti al primo agente (x 1 = 7) venissero attribuiti al secondo (x 2 = 18), l’indice di concentrazione aumenterebbe, diminuirebbe o rimarrebbe invariato?
- I seguenti dati sono relativi al volume di ordini nei confronti dei principali fornitori di un’azienda:
X = { 283 , 73 , 329 , 78 , 61 , 99 , 8 , 112 , 79 , 74 , 157 }
- Calcolare la media aritmetica di X;
- Calcolare il coefficiente di variazione;
- Calcolare l’indice β di asimmetria;
- L’affermazione: ’Se considerassimo la variabile Y = aX + b (con a, b costanti note), per l’indice di asimmetria β avremmo che βY = βX ’ `e vera o falsa? Perch´e?;
- Su un campione di dimensione n = 9 la variabile X assume i seguenti valori:
{36, 6, 9, 11, 17, 9, 12, 2, 6}
- Calcolare la media geometrica;
- Determinare un decimo valore che se incluso nel campione portebbe ad una media geomet- rica uguale a 10;
- Calcolare l’indice β di asimmetria di Fisher;
- Un indice di asimmetria normalizzato basato sul confronto tra ¯xa e M e;
- Si consideri la trasformazione Y = X + c. L’indice di asimmetria β relativo a Y `e uguale a quello relativo a X. Perch´e?
