Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Algebra Lineare e Geometria
A.A. 2023/2024
Foglio esercizi n°2
(1) Studiare, al variare dei parametri reali λ, µ ∈R, i seguenti sistemi lineari (determinare
esplicitamente le soluzioni quando esistono).
(a)⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
2x+3y=3
x+y+z=3
x+2y+λ2z=λ
;(b)⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x+2y+6z=2
x−y+z=λ2+λ−4
x−y+z=2
;
(c)⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
2x−3y+z=0
−4x+(λ+4)y−2z=1
2x−3y+(λ−2)z=λ2−2λ−3
;(d)⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x−y+λz +w=0
(λ−2)x+3y−λz −w=0
x+λz +3w=1
;
(e)⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x+2y−z=1
2x+(λ+4)y−2z=5
−x−2y+6z=µ−1
.
(2) Determinare le equazioni parametriche delle rette passanti per le seguenti coppie di punti.
(a) A=(7,4
5,−1), B =(1
3,−2,8);
(b) A=(2023,1,0), B =(2024,2,1);
(c) A=(√2,3,4), B =(1,1
9,8).
(3) Determinare la mutua posizione tra le seguenti coppie di rette.
(a) r1∶(1,1,1)+t(0,0,7)t∈R, r2∶(1,1,1)+t(−2,0,9)t∈R;
(b) r1∶(−5−2t, 8+2t, 3t)t∈R, r2∶(−1,5,0)+t(−1,2,3)t∈R;
(c) r1∶(1
2,1
3,1
4)+t(5,6,7)t∈R, r2∶(15t, 18t, 21t)t∈R;
(d) r1∶(1−2t, 3−4t, 5−6t)t∈R, r2∶(−1,−1,−1)+t(1,2,3)t∈R;
(e) r1∶(t+1
3,1−t, t)t∈R, r2∶(1,1,0)+t(1
3,−1,1)t∈R;
(f) r1∶(1+t, 2+2t, 3+t)t∈R, r2∶(3,2,2)+t(1,0−1)t∈R.
(4) Scrivere equazioni parametriche e cartesiane dei piani passanti per i tre punti dati.
(a) A=(1,0,0), B =(2,1,1)C=(−1,3,8);
(b) A=(4,14,10), B =(4,0,0)C=(4,7
5,5
7);
(c) A=(6,−1,0), B =(4,0,0)C=(0,0,2);
(d) A=(0,−1,−1), B =(1,1,0)C=(−1,−1
3,2);
(e) A=(3,3,3), B =(1,1,7)C=(8,−1,2);
(f) A=(2,0,1), B =(0,1,1)C=(1,1,−1).
(5) Determinare la mutua posizione tra le seguenti coppie di piani.
(a) π1∶x+y+z=12, π2∶(6,5,1)+t(1,0−1)+s(0,3,−3)t, s ∈R;
(b) π1∶(0,2,1)+t(1,−1,1)+s(0,1,−1)t, s ∈R, π2∶x−y−z=3;
(c) π1∶(2,0,1)+t(3,0,−1)+s(1,1,0)t, s ∈R, π2∶(4,0,1)+t(4,1,−1)+s(0,3,1)s, t ∈R;
(d) π1∶5x+7y−z=12, π2∶2x−y+3z=1.
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