A.A. 2022/2023
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Algebra Lineare e Geometria
3 luglio 2023
Esercizio 1.
Discutere, al variare dei parametri h,k ∈R, il numero di soluzioni del seguente sistema lineare:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x−y+2z−2w=3
2x+(k−2)y+(k+1)z−3w=h+4
x−y+kz −2w=h+3
.
Determinare inoltre le soluzioni quando k=2 e h=0.
Esercizio 2.
Si consideri l’applicazione lineare f∶R3→R4associata alla seguente matrice:
F=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 2 −1
−1−1 1
120
3 6 −3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
a) Per ciascuno dei seguenti vettori dire se appartengono o meno all’Im(f)(giustificare la risposta):
v1=⎛
⎜
⎜
⎝
1
−1
0
⎞
⎟
⎟
⎠
, v2=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2
−2
2
6
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
, v3=⎛
⎜
⎜
⎝
0
1
1
⎞
⎟
⎟
⎠
, v4=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
0
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
b) Determinare la dimensione e una base di Ker(f)eIm(f).
Esercizio 3.
Si considerino i punti A=(0,1,3),B=(1,−2,0)eC=(1,0,1)e il piano ˜πdi equazione ˜π∶x+3y=7.
Determinare:
a) equazioni parametriche e cartesiane del piano πpassante per A,BeC;
b) equazioni parametriche e cartesiane della retta rpassante per P=(−2,−5,3)e perpendicolare a ˜π;
c) la mutua posizione di πed r.
Esercizio 4.
Determinare gli autovalori e gli autospazi della matrice
A=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2 0 0 0
−1201
0 0 3 0
−1003
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
La matrice data `e diagonalizzabile? Se s`ı, esibire una matrice diagonalizzante.
Esercizio 5.
Si considerino i seguenti sottospazi di R3:
V=Span
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎛
⎜
⎜
⎝
1
1
1
⎞
⎟
⎟
⎠
,
⎛
⎜
⎜
⎝
1
2
3
⎞
⎟
⎟
⎠
,
⎛
⎜
⎜
⎝
0
1
2
⎞
⎟
⎟
⎠
,
⎛
⎜
⎜
⎝
1
3
5
⎞
⎟
⎟
⎠
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
eW=Span
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎛
⎜
⎜
⎝
1
3
5
⎞
⎟
⎟
⎠
,
⎛
⎜
⎜
⎝
0
2
4
⎞
⎟
⎟
⎠
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
.
Determinare la dimensione e una base per V,W,V∩WeV+W.