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234 Capitolo 12. Divisione tra due polinomi
12.4 Esercizi
12.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi
12.1 - Divisioni in una variabile
12.1. Completa la divisione
7 x 4
- 0 x 3 − 5 x 2 +x − 1 2 x 2
- 0 x − 1
...
7 2
x...
−
3 2
x 2 +x − 1
...
x −
7
4
∗ ). Esegui le divisioni tra polinomi.
a )
3 x 2 − 5 x + 4
: ( 2 x − 2 ); b )
4 x^3 − 2 x 2 + 2 x − 4
: ( 3 x − 1 );
c )
5 a 3 − a 2 − 4
: (a − 2 ); d )
6 y^5 − 5 y^4 + y^2 − 1
2 y^2 − 3
12.3 ( ∗^ ). Esegui le divisioni tra polinomi.
a )
− 7 a 4
a 3 − 2
b )
x 7 − 4
x 3 − 2 x 2
c )
x 3 −
x 2 − 4 x +
x 2
d )
2 x 4 + 2 x^3 −
x 2 − 15 x − 7
: ( 2 x + 3 ).
12.4 ( ∗^ ). Esegui le divisioni tra polinomi.
a )
6 − 7 a + 3 a^2 − 4 a^3 + a^5
1 − 2 a^3
b ) (a 6 − 1 ) : ( 1 + a 3
c )
a 4 −
a 3
a 2 −
a
2
a 2 −
a
2
d )
2 x 3 − 6 x 2
: ( 2 x − 2 ).
12.5. Esegui le divisioni tra polinomi.
a )
2 x 5 − 11 x 3
x 3 − 2 x 2
b )
15 x 4 − 2 x + 5
2 x 2 + 3
c )
x 2 − 2 x 4
x 3 −
x −
x 5
− 2 x 2 − 3 x −
Sezione 12.4. Esercizi 235
12.2 - Polinomi in più variabili
12.6. Dividi il polinomio A(x , y) = x 3
- 3 x 2 y + 2 xy 2 per il polinomio B(x , y) = x + y rispetto
alla variabile x. Il quoziente è Q(x, y) =........ ., il resto è R(x, y) = 0.
Ordina il polinomio A(x , y) in modo decrescente rispetto alla variabile y ed esegui
nuovamente la divisione. Il quoziente è sempre lo stesso? Il resto è sempre zero?
12.7. Esegui le divisioni tra polinomi rispetto alla variabile x.
a )
3 x 4
- 5 ax 3 − a 2 x 2 − 6 a 3 x + 2 a 4
3 x 2 − ax − 2 a 2
b )
− 4 x 5 + 13 x^3 y^2 − 12 y^3 x^2 + 17 x^4 y − 12 y^5
2 x 3 − 3 yx^2 + 2 y^2 x − 3 y^3
c )
x 5 − x 4 − 2 ax 3
x 2 − 2 a
12.3 - Regola di Ruffini
12.8. Completa la seguente divisione utilizzando la regola di Ruffini:
x^2 − 3 x + 1
: (x − 3 ).
➡ Calcolo del resto: (+ 3 ) 2 − 3 (+ 3 ) + 1 =.. .; ➡ calcolo del quoziente: Q(x) = 1 x + 0 = x R =.. .;
➡ verifica: (x − 3 ) · x +... = x 2 − 3 x + 1.
∗ ). Risolvi le seguenti divisioni utilizzando la regola di Ruffini.
a )
3 x 3 − 4 x 2
: (x − 2 );
b )
x 5 − x 3
: (x − 1 ); c )
x 4 − 10 x^2 + 9
: (x − 3 ).
∗ ). Risolvi le seguenti divisioni utilizzando la regola di Ruffini.
a )
x 4 + 5 x^2 + 5 x^3 − 5 x − 6
: (x + 2 );
b )
4 x 3 − 2 x 2
: (x + 1 );
c )
y 4 − 2 y 2
y − 2
y +
12.11 (∗^ ). Risolvi le seguenti divisioni utilizzando la regola di Ruffini.
a )
x 5 −
x − 2
: (x + 2 );
b )
2 a −
a^4 − 2 a^2 −
a −
c )
y 4 −
y 3 +
y − 2
: (y + 3 ).
12.12. Risolvi le seguenti divisioni utilizzando la regola di Ruffini.
a )
27 x 3 − 3 x^2 + 2 x + 1
: (x + 3 );
b )
2 x 4 − 5 x 3 − 3 x + 2
: (x − 1 );
c )
x 2 −
x^3
2 x −
Sezione 12.4. Esercizi 237
12.9. a) Q(x) = 3 x 2
- 2 x + 9; R(x) = 17, b) Q(x) = x 4
- x 3
- x + 1; R(x) = 0,
c) Q(x) = x 3
12.10. a) Q(x) = x^3 + 3 x 2 − x − 3; R(x) = 0, b) Q(x) = 4 x^2 − 6 x + 8; R(x) = −12,
c) Q(y) = 4 3 y^
3 − 2 3 y^
2 − 5 3 y^ +^
7 3 ;^ R(y) =^ −^
19
12.11. a) Q(x) = 1 3 x 4 − 2 3 x 3 + 4 3 x^2 − 8 3 x + 23 6 ; R(x) = − 29 3 , b) Q(a) = − 4 3 a^3 − 2 3 a^2 − 7 3 a + 5 6
R(a) = 1 12 , c) Q(y) = 4 3 y 3 − 11 2 y 2 + 33 2 y − 48; R(y) = 142.
12.14. a) Q(x) = 1 2 x
2 − 1 2 x^ +^
1 2 ;^ R(x) =^ −3,^ b)^ Q(x) =^
3 2 x
3
5 4 x^
2
15 8 x^ +^
53 16 ;^ R(x) =^
143 16 ,
c) Q(a) = 1 2 a
3
1 6 a
2 − 11 18 a^ +^
7 54 ;^ R(a) =^ −^
10
12.15. a) Q(a) = 3 a^3 b 3 + 3 a 2 b 2 + 4 ab + 6; R(a) = 8, b) Q(a) = 3 a^2 b + 7; R(a) = 21.
12.16. a) Q(x) = x 3
- ax 2 − 2 a 2 x + 3 a 3 ; R(x) = 0 b) Q(x) = x 3 − 3 ax 2
- 3 a 2 x − a 3 ; R(x) = 0.
12.17. a) k = −1, b) nessuno, c) k = −22, d) a^4 − 2.
12.18. a) − 2 x 2
- 6 x − 4, b) a = 0, c) k = −4, d) k = 2.
