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Attività didattica integrativa: Dott.ssa Maria Carannante
Variabili casuali
ESERCIZIO 1
Per sostenere un esame, bisogna rispondere a dieci domande, ognuna delle quali ha quattro possibili risposte. Decidi di rispondere casualmente alle domande. Determinare:
a. Il numero medio di risposte esatte; b. La probabilità di dare un numero di risposte esatte maggiore della media; c. La probabilità di dare tutte le risposte esatte.
SVOLGIMENTO
Il numero di risposte esatte ottenute rispondendo in modo causale è una variabile casuale binomiale con parametri n = 10 e p = 0,25:
∼ Bin 10;0,25
a. Il numero medio di risposte esatte è dato dal valore atteso della variabile casuale binomiale:
10 ∗ 0,25 2, b. Per calcolare la probabilità di dare un numero di rispose esatte superiore alla media si fa riferimento all’intero successivo, quindi alla probabilità di dare almeno 3 risposte esatte:
3 3 4 5 6 7 8 9 10
Sapendo che la funzione di probabilità è data da:
Si ottiene:
3
∗ 0,25(^ ∗ 1! 0,25&'$(^ 0,
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Variabili casuali
∗ 0,25^ ∗ 1! 0,25&'$^ 0,
∗ 0,25,^ ∗ 1! 0,25&'$,^ 0,
∗ 0,25-^ ∗ 1! 0,25&'$-^ 0,
c. La probabilità di rispondere in modo esatto a tutte le domande è la seguente:
10
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Variabili casuali
d. La soglia di QI che supera il 95% della popolazione è dato dal 95esimo quantile della distribuzione. Sapendo che nella distribuzione normale è 1,645. Quindi sapendo che la standardizzata è:
2
Bisogna trovare il valore di x :
1,645
ESERCIZIO 3
Il consumo medio annuo di cosmetici si distribuisce come una normale con media 1,7 mila euro e scarto quadratico medio di 400 euro per gli uomini e con media 3,1 mila euro e scarto quadratico medio di 300 euro per le donne. Determinare la probabilità che i consumi totali siano maggiori di 5,1 mila euro;
SVOLGIMENTO
a. Per la proprietà riproduttiva, la somma di due variabili casuali normali è ancora una variabile causale normale:
<= ~N9"; :"^3 ; >~N?9@; :@^3 A BCCDEB > ~N9" 9@; :"^3 :@^3
Sapendo quindi che i consumi delle donne si distribuiscono come una normale con media 3.100 e varianza 90.000 e quelli degli uomini come una normale con media 1.700 e varianza 160.000 si ha che i consumi totali si distribuiscono come una normale con media 4.800 e varianza 250.000.
<= FG~N3.100; 90.000; FH~N1.700; 160.000 BCCDEB FIJI. ~N4.800; 250.000
Si calcola, quindi, la probabilità che i consumi totali siano maggiori di 5.100 calcolando i valori corrispondenti sulla variabile casuale normale standardizzata:
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Variabili casuali
La funzione di ripartizione è Φ0,6 0,7257 da cui si ottiene che:
P K 5.100 L K 0,6 1! Φ0,6 1! 0,7257 0,
