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Esercizio 1
Si supponga che una grande catena di negozi alimentari operante su scala nazionale intenda
introdurre una barretta energetica di basso prezzo, chiamata Omnipower. Si intende stabilire
l’effetto che il prezzo e le promozioni all’interno dei negozi possono avere sulle vendite.
Un campione di 5 negozi viene selezionato per una ricerca di mercato sulla Omnipower. Si prenda
in considerazioni una variabile indipendente – il prezzo in centesimi di una barretta Omnipower (X)
e come variabile dipendente Y il numero di barrette di Omnipower vendute in un mese. Nella
Tabella di seguito si riportano i valori osservati per le tre variabili considerate.
Negozio Vendite Prezzo
1 4141 59
2 3842 79
3 3056 59
4 3519 99
5 2114 89
Si determinino:
a) il coefficiente di correlazione lineare e si commenti brevemente il risultato ottenuto.
b) la retta di regressione di Y in funzione di X.
c) le misure di variabilità TSS, SSR e SSE.
d) il valore di R quadro e si commenti brevemente il risultato ottenuto.
Svolgimento
a)
𝟐
(𝒀 − 𝒀
𝟐
𝑿
𝟐
𝒀
𝟐
59 4141
-18 806.6 -14518.8 324 650603.6 3481 17147881
79 3842
2 507.6 1015.2 4 257657.8 6241 14760964
59 3056
-18 -278.4 5011.2 324 77506.6 3481 9339136
99 3519
22 184.6 4061.2 484 34077.2 9801 12383361
89 2114
12 -1220.4 -14644.8 144 1489376 7921 4468996
SOMMA
385 16672 -19076 2509221 30925 58100338
ଷ଼ହ
ହ
ଵଶ
ହ
Calcoliamo il coefficiente di correlazione.
∑ (ି ത)(ି ത)
ே
ି ଵଽ
ହ
ଶ
=
∑ ௫
మ
ே
ଶ
=
ଷଽଶହ
ହ
ଶ
=
∑ (^) ௬
మ
ே
ଶ
=
ହ଼ଵଷଷ଼
ହ
Il coefficiente di correlazione è 𝑟 =
ఙ ೊ
ఙ
ఙ ೊ
ି ଷ଼ .ଶ
ଵଵଷଷସ.ସ
b)
Supponendo 𝑌
= 𝑎 + 𝑏𝑋 calcoliamo i parametri della retta
ଶ
−
1280
La retta di regressione è 𝑌
c)
𝑦ො
(𝑦ො
− 𝑦ത) (𝑦ො
− 𝑦ത)
ଶ (𝑦
− 𝑦ො
) (𝑦
− 𝑦ො
)
ଶ
3602.6 268.2 71931.24 538.4 289874.
3304.6 - 29.8 888.04 537.4 288798.
3602.6 268.2 71931.24 - 546.6 298771.
3006.6 - 327.8 107452.8 512.4 262553.
3155.6 - 178.8 31969.44 - 1041.6 1084931
𝑇𝑆𝑆 = ∑^ (𝑦
− 𝑦ത)
ଶ
= 2509221
𝑆𝑆𝑅 = ∑^ (𝑦ො
− 𝑦ത)
ଶ
= 284172.
𝑆𝑆𝐸 = ∑ (𝑦
− 𝑦ො
)
ଶ
= 2224930
d)
E calcoliamo il valore di 𝑅
ଶ
் ௌௌିௌௌா
்ௌௌ
=
ଶହଽଶଶଵିଶଶଶସଽ
ଶହଽଶଶଵ
= 0.
Oppure, alternativamente, 𝑅
ଶ
ௌௌோ
்ௌௌ
=
ଶ଼ସଵଶ .଼
ଶହଽଶଶଵ
= 0.
Il coefficiente di determinazione è prossimo allo zero. L’evidenza è che la retta non si adatta in maniera
soddisfacente ai dati in esame.
E calcoliamo il valore di 𝑅
ଶ
ௌௌோ
்ௌௌ
=
ଶହ.ଵ
ସହ.ଶ
= 0.
b)
Per R quadro corretto
ଶ = 1 − (1 − 𝑅
ଶ )
൨ = 1 − [0.32 ∗ 2] = 1 − 0.
Esercizio 3
Si vogliono calcolare le vendite giornaliere di gelato 𝑌 (in Kg), sulla base del prezzo di vendita 𝑋 ଵ
(euro al Kg) e della temperatura media giornaliera 𝑋 ଶ
(in gradi centigradi). Sulla base di alcuni dati
campionari (n=10) il modello stimato è 𝑌
ଵ
ଶ
a) si interpreti il valore del coefficiente della variabile 𝑋 ଵ
(PREZZO)
b) si interpreti il valore del coefficiente della variabile 𝑋 ଶ
(TEMPERATURA)
Svolgimento
a)
Le vendite medie giornaliere di gelato diminuiscono di 0,20 kg per ogni euro di incremento del
prezzo, se la temperatura rimane costante
b)
Le vendite medie giornaliere di gelato aumentano di 0,28 kg per ogni grado di aumento della
temperatura, a parità di prezzo.
Esercizio 4
Allo scopo di studiare la relazione tra le variabili “età” e “pressione sistolica” (PAS), si rilevano i
valori di questi caratteri su un campione di 4 individui.
Età (anni) PAS (mm Hg)
22 131
28 114
35 121
47 111
a) si calcoli la retta di regressione e si fornisca un commento sui parametri della retta.
b) si calcoli il coefficiente di determinazione R quadro.
c) utilizzando i dati a disposizione e senza calcolare ulteriori elementi, si fornisca il valore del
coefficiente di correlazione
d) qual è la pressione sistolica per un individuo con un’età di 32 anni?
Svolgimento
a)
𝟐
(𝒀 − 𝒀
𝟐
𝑿
𝟐
𝒀
𝟐
22 131
-11 11.75 -129.25 121 138.06 484 17161
28 114
-5 -5.25 26.25 25 27.56 784 12996
35 121
2 1.75 3.5 4 3.06 1225 14641
47 111
14 -8.25 -115.5 196 68.06 2209 12321
SOMMA
-215 346 236.
Supponendo 𝑌
= 𝑎 + 𝑏𝑋 calcoliamo i parametri della retta
ଶ
−
346
La retta di regressione è 𝑌
Il coefficiente di regressione (b= -0.62) sta ad indicare che, teoricamente, la PAS diminuisce,
mediamente, di 0.62 mm Hg per ogni anno di età, il valore di a (139.71) rappresenta il valore
teorico della PAS corrispondente all’età 0.
b)
𝒚ෝ 𝒊
(𝒚ෝ 𝒊
− 𝒚ഥ) (^) (𝒚ෝ 𝒊
− 𝒚ഥ)
𝟐
126.07 6.82 46.
122.35 3.10 9.
118.01 - 1.24 1.
110.57 - 8.68 75.
133
1
n
y
y
n
i
i
x
y a
b
yˆ^ 64 , 7133 0 , 0168 x
Il coefficiente angolare, b 0 , 0168 , rappresenta la diminuzione del prezzo medio dell’abbonamento
corrispondente ad un incremento unitario del numero di abbonamenti sottoscritti.
L’intercetta, a = 64,7133, rappresenta il prezzo medio dell’abbonamento nel caso in cui non ci siano
abbonamenti sottoscritti.
