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Corso diCorso di
Statistica per l’impresa
Prof. A. Regoli
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a.a. 2010-
Corso di Statistica per l'impresa
a.a. 2010-2011 – Univ. NA Parthenope - Prof. Regoli
Indicatori sintetici
Tendenza centraleTendenza centrale(media, mediana, moda) Variabilità(varianza, campo di variazione,concentrazione
eterogeneità)
concentrazione, eterogeneità)^ Forma(asimmetria)
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Tendenza centrale: la media• Il modo più intuitivo per sintetizzare
i^ i^
di^
l^ i^
tt
un insieme di valori passa attraversoil calcolo della media• Media (aritmetica) = punto diequilibrio o baricentro dell’insieme divalorivalori• È una media analitica, funzione ditutti i valori
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Calcolo della media dei ricavi• Conoscendo i ricavi dei 9 punti
dit^
d ll’
i^
d
vendita dell’azienda, posso essereinteressato ad ottenere il ricavomedio, un unico valorerappresentativo dell’intero insieme• Si sommano i ricavi di tutti i puntiSi sommano i ricavi di tutti i puntivendita e il risultato si divide per ilnumero delle osservazioni (n=9)
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Calcolo della media
Puntivendita
Ricavi
Somma dei ricavi (Intensità totale del carattere) = 350 + 200 + 600 + 500 + 270 + 180
180 + 205 + 340 + 280 = 2925Media dei ricavi = 2925:9=
12 (^98)
L’intera tortarappresenta la sommadei ricavi di tutti ipunti vendita
(^345) 7 6
p La singola fettarappresenta la media deiricavi
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Formula della media
•^ Dati n valori osservati x
, x,…, x 12
di un caratteren
quantitativo X
Media = 325
quantitativo
X
=^ ∑=
=^
n i^1 i n 2 1 a^
x
1 )n
x
x
1 x(n
x
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Effetto dei valori estremiSe il valore estremo fosse 800 invece di 600la media aumenterebbe(il punto di equilibrio si sposta verso destra) 100
Media = 347,
La media aritmetica risente fortemente dei valori estremi
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Media di una distribuzione di
frequenza
Addetti(valori^
x ) j
Numero puntivendita(frequenze
n^ )
xjnj*^
6 è il numerocomplessivo diaddetti nei primi 2ti^
dit
(frequenze
n ) j
3
punti vendita18 è il numerocomplessivo diaddetti nei 3 puntivendita in ciascunodei quali lavorano 6addetti
K^ ∑
K ∑^
55 è il numerocomplessivo di addetti(l’intensità totale delcarattere)
Media^
(^11) , 6 559 nx n nx n x
K^1 j
jj
K jj^1 jK j^1 j a^
= ⋅ = ⋅ = =
∑^ ∑
=
==∑j = 1 j = =
(^9) n n^
(^55) n x^ jj^1 j
=⋅
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Trimmed mean( lett. media tagliata)
• È la media aritmetica calcolata su unapredeterminata percentuale di valori centralidi^
i^ i^
di d^
i
di un insieme di dati• Permette di eliminare l’influenza dei valoriestremiAd esempio per il calcolo della trimmed mean al 50%si esclude il 25% dei valori più piccoli e il 25% dei
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valori più grandiPer il calcolo della trimmed mean all’80% si esclude il10% dei valori più piccoli e il 10% dei valori più alti
Media geometrica
•^ Dati n valori osservati x
, x,…, x 12
positivi di unn
carattere quantitativo X• Data una distribuzione di frequenza (x
,n, j=1,..,.k)j^ j^
k n^1 j nj nn^1 k n 2 n 1 g^
j k 2 1
x
)x
...x
x(
x^
nn 1 ni^1 i n (^21) g^
x
)x...
xx(
x^
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Applicazione tipica: in matematica finanziaria per ilcalcolo del tasso di interesse medio su un arcotemporale attraverso la formula dell’interessecomposto
Mediana
• È il valore che occupa la posizione
t^ l^
ll’i^
i^
di^
t^ di t
tti i
centrale nell’insieme ordinato di tutti ivalori
(^ )^ (^ )^
(^ )^ maxn 2 1 min^
x x... x x x^
= ≤≤ ≤ =
Tra x(1) e Me ècontenuto il 50%dei valori
Tra Me e x(n) ècontenuto il restante50% dei valori
• È una media di posizione
X(1)^
X(n) Me
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Come individuare la posizionecentrale o rango della mediana
- Insieme di n valori• n dispari
la posizione centrale è data da
le posizioni centrali sono due,
e
) (^1) n( + 2 n^2 n^1 + 2
+⎞⎛ ⎟⎜⎠⎝ =xMe^1 n^2
Di solito
2 2
xx 2 Me^
n^12 n^2
⎞⎛ +⎟⎜⎠⎝ +⎞⎛ ⎟⎜⎠⎝=
⎞⎛ ⎟⎜+⎠⎝ ⎞⎛ ⎟⎜⎠⎝
≤ ≤^
n^12 n^2
x Me x
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Calcolo della mediana
• In un insieme di 9 valori, la posizionecentrale è la quinta
Il termine che occupa
centrale è la quinta. Il termine che occupala quinta posizione è la mediana 100
X^
X
X^
X
X^
X
X^
X
Elimino ogni voltal’osservazione più
Mediana = 280,cioè il valore che occupa la quinta posizione
p piccola e quellapiù grande
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Calcolo della mediana
Se il valore estremo fosse 800 invece di 600^100
X^
X
X^
X
X^
X
X^
X
la mediana resterebbe invariataMediana = 280
La mediana non è influenzata dalla presenza di valori estremiFornisce una misura della tendenza centrale migliore rispetto allamedia quando ci sono alcune osservazioni molto grandi o moltopiccole
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Mediana da una distribuzione difrequenza Addetti(x)j
Numeropunti vendita(n )
FrequenzecumulateNj
1052 (^1) n 2 Me rango
== +=
(n)^ j
Nj
3
La mediana è il valore cheoccupa la quinta posizione
2 2 x^ (^ )^5 Me^ =
Sulla colonna delle frequenze cumulate si individuala prima N
che è uguale o maggiore del rangoj^
Il corrispondente valore x
è la mediana della distribuzionej^
Me=
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Mediana da una distribuzione difrequenza (con le freq. rel. cum.) Addetti(x)j
Numeropunti vendita(n )
FrequenzecumulateNj
Frequenzerel cum.Fj
(n)^ j
Nj
3
Fj 0,220,330,670,781,
Sulla colonna delle frequenze relative cumulate siindividua la prima F
che è uguale o maggiore di 0,5j
Il corrispondente valore x
è la mediana della distribuzionej^
Me=
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Moda di una distribuzione di
frequenza
Addetti(valoridi ti^
Numeropuntivenditati)
La frequenza maggiore è 3L^
d lità d l
tt
distinti)
vendita (frequenze) 3
La modalità del carattere“Numero di addetti” cui èassociata la frequenzamaggiore è 6
Moda=6 La maggioranza dei puntivendita ha un numero diaddetti pari a 6
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Moda di una distribuzione difrequenza con classi di valori Classi disuperficie(i i)
Numeroaziende
Ampiezzaclasse
Densità difreq
In presenza dil^ i di
i
(in ettari)
(n
)j^ 0-^
1-^
2-^
3-^
5-^
(aj)^
(dj) 1
classi di ampiezzadiversa,la classe modale èquella che ha ladensità difrequenzamaggiore
10 -20 La classe modale è 2-
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Moda
• Può non esistereP^
ò^
i
• Può non essere unica• Può essere una modalità “pocorappresentativa” del fenomeno• Per chi vende abbigliamento, la modarappresenta un parametro utile per deciderein merito a come rifornire il negozio:saranno ordinati più capi delle taglie piùdiffuse
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La scelta tramedia, moda emediana
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Fonte: Magnello e Van Loon (2011), La statistica a fumetti,Raffaello Cortina Editore
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Calcolo dei valori medi in base
al tipo di carattere
Caratteri Q^
tit ti i
Q^
lit ti i
Q
lit ti i
Quantitativi
Qualitativiordinati
Qualitativisconnessi
Media
9
Mediana
9
9
Moda
9
9
9
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Quartili
• Sono 3 indici di posizione, Q
Q^1
e Q
(^ )^
(^ )^
(^ )^
maxn 2 1 min^
x x... x x x^
= ≤≤ ≤ =
Tra x(1)
e Q 1
è
contenuto il 25% deivalori (più bassi)
Tra Q^3
e x (n)
è
contenuto il 25% deivalori (i più alti)
X(1)^
X(n)
Q2=Me Q^
Q
Tra Q^1
e Q 2
è
contenuto il 25%dei valori
Tra Q^2
e Q 3
è
contenuto il25% dei valori
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Primo quartile Q
• Q1 Primo quartile: è preceduto dal 25%dei termini (e seguito dal 75%)dei termini (e seguito dal 75%)• n dispari• n pari
+⎞⎛ ⎟⎜⎠⎝ =xQ^1 n 1 4 xx^2 Q^
n^14 n 4 1
⎞⎛ + ⎟⎜⎠⎝ +⎞⎛ ⎟⎜⎠⎝=
Se n (o n+1) non èdivisibile per 4, il rangopuò non essere unnumero intero
• In ogni caso,
Q^ è il primo valore^1
xini^
corrispondenza del quale la frequenzacumulata relativa
(^25) , 0 F≥j^
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Terzo quartile Q
• Q3 Terzo quartile: è preceduto dal 75%dei termini (e seguito dal 25%)dei termini (e seguito dal 25%)• n dispari• n pari
⎞⎛ ⎟⎜+⎠⎝ =^ 3 )^1 n( 4 xQ 3 2 x x Q^
n 314 n 34 3
⎞⎛ + ⎟⎜⎠⎝ +⎞⎛ ⎟⎜⎠⎝ =
Se n (o n+1) non èdivisibile per 4, il rangopuò non essere unnumero intero
• In ogni caso,
Q^ è il primo valore^3
xini^
corrispondenza del quale la frequenzacumulata relativa
(^75) , 0 F≥j^
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