Esercizi su numeri complessi, Esercizi di Analisi Numerica

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9. 9 Risolvere e rappresentare sul piano di Gauss le soluzioni delle seguenti equazioni: a) 2°2+3i:+4=0 , b) 25+222+44=0 , è) skl-22+i=0 , d 2-3+1=0 , e) = (a) 2° +3i2+4=0 Applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado otteniamo: —3i + v9i? — 16 _ —3Bi+t V-25 _ —3Zi + 571 _ —3i + 5i 2 7 2 n° 2 Co 2 da cui = di. 2=i. z= Sul piano di Gauss, sono i due punti situati sull’asse delle y di coordinate (0,—4) e (0,1). (b) 25+22°+4=0 Posto :2=4, risolviamo l’equazione di secondo grado #2 +2t+4=0: t=-1+VvT1-4=-1+v73=-1+v3i Dobbiamo ora trovare » = vÎ , cioè i due numeri complessi +vii. vBi e i due numeri Iniziamo con Poiché -1- y3i ha modulo 2 e argomento de le sue due radici quadrate hanno modulo cu i 27 27 cu v2 e argomenti rispettivamente TeEgtr cioè V-1-vii= ave sv(- ps) + Livi « Proseguiamo calcolando {/-14 v3i Il numero complesso —1+ v3i ha modulo 2 e argomento un Pertanto le sue due radici quadrate hanno modulo v2 e argomenti 3 e 35 +7: dunque: V-1+ vBi= +v2 et — +V2 (+10) = 2a +iv3) Dunque le soluzioni dell'equazione di partenza sono i quattro numeri complessi n= La +iv3), Pia +iv3) 23= La —ivi), 2=(1-iv3) Nel piano di Gauss, appartengono ad una circonferenza di raggio y2 , ai vertici di un rettangolo, ’ le (6 2 6 6 6 di coordinate (£, 0) (-L,4) (LD) (4). 2|al-22+i=0 € Pesto == 2 + iy l'equazione diventa: (tiva Fy -2r-2iy+i=0 a [VER -2]+i[1-20+ 47] =0 Pertanto parte reale e parte immaginaria devono essere nulli. Si ottiene dunque il sistema: feta =0 1-2y+yvi+=0 Le soluzioni di questo sistema sono l’unione delle soluzioni dei due sistemi: