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Argomento 14
Numeri Complessi
`
E ben noto che l’insieme R dei numeri reali (che include tutti gli altri insiemi numerici finora
incontrati in questo corso) non `e sufficientemente “ampio” da permettere la risoluzione di equazioni,
anche semplici, a coefficienti reali, come ad esempio x
+ 1 = 0. Per risolvere questo problema
costruiamo l’insieme dei numeri complessi.
Numeri complessi. Loro rappresentazione geometrica.
L’equazione x
+ 1 = 0 ha soluzione in un certo insieme numerico solo se esso contiene un numero
il cui quadrato vale − 1. Chiamiamo questo “numero” unit`a immaginaria e lo denotiamo con i.
Per definizione si ha quindi
i
A partire dall’unit`a immaginaria si costruiscono i numeri complessi nel modo seguente.
Definizione 14.1 Si dice numero complesso ogni scrittura della forma a + ib, con a, b numeri
reali e i unit`a immaginaria. L’insieme dei numeri complessi si denota con C e si ha:
C =
a + ib tali che a, b ∈ R e i
Di solito, i numeri complessi si indicano con le ultime lettere dell’alfabeto: z, w,...
Dato il numero complesso z = a + ib, i numeri reali a e b si dicono rispettivamente parte reale e
parte immaginaria di z e si scrive: a = Re(z), b = Im(z).
Esempi 14.
• z = 1 − 2 i `e un numero complesso con parte reale 1 e parte immaginaria − 2.
• z = −
2 + 0i = −
2 `e un numero complesso con parte reale −
2 e parte immaginaria 0.
• z = 0 + 4i = 4i `e un numero complesso con parte reale 0 e parte immaginaria 4.
Due numeri complessi z = a + ib e w = c + id si dicono uguali se hanno la stessa parte reale e la
stessa parte immaginaria:
z = w ⇐⇒ a = c e b = d.
Nell’insieme C dei numeri complessi si definiscono inoltre le seguenti operazioni:
I Somma di due numeri complessi z = a + ib e w = c + id `e il numero complesso
z + w = (a + c) + i (b + d) ;
I Prodotto di due numeri complessi z = a + ib e w = c + id `e il numero complesso
z · w = (ac − bd) + i (ad + bc).
Esempio 14.3 Dati z = 2 + i e w = 1 + 3i, calcoliamo z + w e z · w.
- (2 + i) + (−1 + 3i) = 1 + 4i
- (2 + i) · (−1 + 3i) = −2 + 3i
− i + 6i = − 2 − 3 + 5i = −5 + 5i
Osserviamo che le due operazioni si eseguono usando le ordinarie regole del calcolo letterale e
ricordando che i
= − 1.
Per la somma e il prodotto appena definiti valgono le usuali propriet`a delle operazioni (commutativa,
associativa, distributiva). Inoltre:
- il numero complesso 0 = 0 + i0 `e tale che z + 0 = z per ogni z;
- il numero complesso 1 = 1 + i0 `e tale che z · 1 = z per ogni z;
- il numero complesso −z = −a − ib `e l’opposto di z = a + ib;
- se z 6 = 0, il numero complesso
1
z
=
a
a
− i ·
b
a
`e il reciproco di z = a + ib. (Ovviamente si ha z ·
1
z
= 1 per ogni z 6 = 0.)
Esempio 14.4 Dati z = 2 + i e w = 1 + 3i, calcoliamo: −w;
1
w
;
z
w
.
1
w
=
1
10
−
3
10
i ;
z
w
= (2 + i)
μ
1
10
−
3
10
i
¶
=
1
2
−
1
2
i.
`
E noto che numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta euclidea.
Analogamente, associando al numero della forma z = a + ib il punto di coordinate (a, b), si realizza
una corrispondenza biunivoca tra i numeri complessi e i punti del piano cartesiano (detto in questo
contesto piano di Argand—Gauss).
In tale corrispondenza: a = Re(z) e l’ascissa di (a, b) e b = Im(z)e l’ordinata di (a, b).
I numeri della forma a + 0i, (che sono di fatto numeri reali) corrispondono ai punti dell’asse delle
ascisse che verra percio detto asse reale, evidenziando che si ha R ⊂ C.
I numeri della forma 0 + ib = ib, (detti immaginari puri) corrispondono ai punti dell’asse delle
ordinate che verra percio detto asse immaginario.
L’opposto di z, ossia il numero −z = −a − ib corrisponde al punto (−a, −b) simmetrico di (a, b)
rispetto all’origine.
6
¦ z = a + ib
¦
a
¦
b
¦
−z
6
¦ z
w ¦
¦ z + w
Non e altrettanto facile dare l’interpretazione geometrica del prodotto. Anche a questo scopo puo
essere utile introdurre la forma trigonometrica dei numeri complessi.
Forma trigonometrica dei numeri complessi
Osserviamo che ogni punto P = (a, b) , diverso dall’origine, nel piano di Argand—Gauss pu`o essere
individuato anche assegnando la sua distanza r dall’origine O e l’angolo θ compreso tra il semiasse
positivo delle ascisse e la semiretta OP.
6
O
¦
θ
r
P = (a, b)
Per definizione di coseno e seno (vedi MiniMat Lezione7) si ha:
a = r cos θ; b = r sin θ. (1)
Si ottiene quindi: z = a + ib = (r cos θ) + i (r sin θ).
Definizione 14.
r(cos θ + i sin θ)
si chiama forma trigonometrica del numero complesso z = a + ib.
Per distinguere le due rappresentazioni, la scrittura a + ib si chiama forma algebrica del numero
complesso z.
Osserviamo che il numero reale positivo r `e il modulo di z.
Inoltre, poich´e le funzioni sin e cos sono periodiche di periodo 2π, nelle formule (1) nulla cambia se a
θ si sostituisce θ +2kπ: uno qualunque di questi numeri si dice argomento di z. Quindi l’argomento
`e definito a meno di multipli interi di 2π
.
Assegnare un numero complesso in forma trigonometrica significa evidenziarne il modulo e un ar-
gomento.
Dunque, due numeri complessi (espressi in forma trigonometrica) sono uguali se e solo se hanno
moduli uguali e argomenti uguali, a meno di un multiplo intero qualsiasi di 2π.
Notiamo che numeri complessi con ugual modulo stanno sulla stessa circonferenza con centro nell’ori-
gine O del piano di Argand-Gauss, mentre numeri complessi con argomento uguale (a meno di
multipli interi di 2π) stanno sulla stessa semiretta avente origine in O.
Dato un numero complesso in forma trigonometrica (ossia noti r e θ), la sua forma algebrica si
ricava mediante le formule (1); viceversa dato un numero complesso in forma algebrica si ricavano
r e θ osservando che:
r = |z| =
√
a
cos θ =
a
√
a
sin θ =
b
√
a
.
Per convenzione, al numero complesso zero si attribuisce modulo zero e argomento qualsiasi.
Esempio 14.8 Determiniamo il modulo ed un argomento dei seguenti numeri complessi: −2; 5i;
1 + i; −
√
3 + i.
- −2
e un numero reale negativo e quindi ha argomento π; inoltre il suo moduloe 2. - 5 i `e un numero immaginario puro (sul semiasse positivo) e quindi ha argomento
π
2
; inoltre il suo
modulo `e 5.
√
1 + 1 =
√
2; inoltre cos θ = sin θ =
1
√
2
e quindi un argomento di 1 + i `e
π
4
.
¯
¯
−
√
3+i
¯
¯
=
√
3 + 1 = 2; inoltre cos θ = −
√
3
2
e sin θ =
1
2
: quindi un argomento di −
√
3+i `e
5 π
6
.
La forma trigonometrica permette di calcolare pi`u agevolmente il prodotto di numeri complessi e di
capire il significato geometrico del prodotto.
Dati z = r(cos θ + i sin θ) e w = ρ (cos ϕ + i sin ϕ) si ha
r(cos θ + i sin θ) · ρ (cos ϕ + i sin ϕ) = rρ[(cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ) + i(sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ)]
e quindi
z · w = rρ[cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ)]
Il risultato mostra che il modulo del prodotto `e dato dal prodotto dei moduli: rρ, e un argomento
del prodotto `e la somma degli argomenti: (θ + ϕ).
Esempio 14.9 Il prodotto di z = 2
h
cos
³
π
12
´
³
π
12
´i
e w = 3
·
cos
μ
3 π
4
¶
μ
3 π
4
¶¸
vale
z · w = 6
·
cos
μ
π
12
3 π
4
¶
μ
π
12
3 π
4
¶¸
= 6
·
cos
μ
5 π
6
¶
μ
5 π
6
¶¸
= − 3
√
3 + 3i.
Tra questi, si usa indicare l’argomento appartenente all’intervallo (−π, π] con il nome di argomento principale.
Le considerazioni precedenti ci permettono di affrontare il problema di trovare le radici n−esime di
un numero complesso z cio`e di trovare eventuali numeri w tali che w
n
= z.
Teorema 14.12 (Radici n−esime di un numero complesso) Ogni numero complesso non
nullo z = r(cos ϕ + i sin ϕ) ha esattamente n radici n−esime complesse: w
, w
,... , w
n− 1
. Se
w
k
= ρ
k
(cos θ
k
k
) si ha
ρ
k
=
n
√
r k = 0, 1 ,... , n − 1
θ
k
=
ϕ + 2kπ
n
k = 0, 1 ,... , n − 1
Dunque nel piano di Argand-Gauss le radici n−esime di un numero complesso z si trovano ai vertici
di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza centrata nell’origine e di raggio uguale
alla radice n−esima (aritmetica) del modulo di z.
Dimostrazione. Se w = ρ (cos θ + i sin θ) `e una radice n−esima di z deve essere:
ρ
n
(cos nθ + i sin nθ) = r (cos ϕ + i sin ϕ)
In questa equazione r e ϕ sono noti, mentre ρ e θ sono le incognite. Per risolvere l’equazione applichiamo il seguente
principio: due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno moduli uguali e argomenti uguali a meno di un multiplo
intero qualsiasi k di 2π. Dunque:
ρ
n
= r ⇒ ρ =
n
√
r (radice aritmetica di un numero reale positivo!)
e
nθ=ϕ + 2π ⇒ θ =
n
n
k ∈ Z
`
E quindi univocamente determinato il modulo ρ, mentre l’argomento pu`o avere diversi valori (che danno luogo a
diverse radici) che si ottengono come segue. Un primo valore `e dato da
n
. Gli altri valori si ottengono aggiungendo
ad esso multipli successivi di
n
.
`
E chiaro che dopo n passi si ottiene
n
- 2 π e quindi si torna alla prima radice.
Esempio 14.13 Calcoliamo le radici seste di −1. Tale numero ha argomento π e modulo ovvia-
mente uguale a 1:
−1 = 1(cos π + i sin π) = 1(−1 + i0).
Le radici seste hanno tutte modulo uguale a 1 perch´e la radice sesta aritmetica di 1 `e 1. L’argomento
della prima radice `e
π
6
; gli argomenti delle successive radici si otterranno aggiungendo via via
2 π
6
=
π
3
all’argomento della prima.
6
O
− 1
¦
¦
w
= cos
¦
¦..... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ¦
¦
¦
Quindi si ha:
w
= cos
π
6
π
6
=
√
3
2
1
2
i
w
= cos
³
π
6
π
3
´
³
π
6
π
3
´
= cos
π
2
π
2
= i
w
= cos
μ
π
6
2 π
3
¶
μ
π
6
2 π
3
¶
= cos
5 π
6
5 π
6
= −
√
3
2
1
2
i
w
= cos
³
π
6
´
³
π
6
´
= cos
7 π
6
7 π
6
= −
√
3
2
−
1
2
i
w
= cos
μ
π
6
4 π
3
¶
μ
π
6
4 π
3
¶
= cos
3 π
2
3 π
2
= −i
w
= cos
μ
π
6
5 π
3
¶
μ
π
6
5 π
3
¶
= cos
11 π
6
11 π
6
=
√
3
2
−
1
2
i
Osserviamo che nessuna delle sei radici sta sull’asse reale, come c’era da aspettarsi dal momento
che sono le radici di indice pari (6) di un numero negativo (−1). Notiamo inoltre che, avendo gi`a
rappresentato le sei radici nel piano di Argand-Gauss, dopo aver trovato la prima radice si sarebbe
potuta trovare la forma algebrica delle altre con semplici considerazioni geometriche.
Esempio 14.
`
E facile convincersi che le radici seste (complesse) di 1 si trovano nei vertici di
un esagono regolare ottenuto ruotando il precedente di −
π
6
in modo che la prima radice w
si trovi
sull’asse reale nel punto 1 (e la quarta nel punto −1).
Abbiamo appena risolto le equazioni w
± 1 = 0, trovando in entrambi i casi sei soluzioni. Questo `e
un caso particolare dell’equazione w
n
− z = 0 che, se z 6 = 0, ha esattamente n soluzioni distinte nel
campo complesso. Pi`u in generale vale il
Teorema fondamentale dell’algebra Ogni polinomio (a coefficienti complessi) di grado n ha,
nel campo complesso, esattamente n radici (pur di contarle con la loro molteplicit`a).
Da questo teorema si deduce che:
- Ogni polinomio a coefficienti complessi di grado n si pu`o scrivere come prodotto di n polinomi a
coefficienti complessi di primo grado.
- Ogni polinomio a coefficienti reali di grado dispari ha almeno una radice reale.
- Le eventuali radici complesse di un polinomio a coefficienti reali sono a due a due complesse
coniugate e quindi un polinomio a coefficienti reali si pu`o scrivere come prodotto di un opportuno
numero di polinomi a coefficienti reali di grado non superiore a 2.
In generale non e pero facile trovare le n radici complesse di un polinomio di grado n. Si troveranno
alcuni semplici esempi negli esercizi 14.10 e 14.11.
Nota Anche i numeri complessi hanno un “lato oscuro”: non `e possibile definire in C un ordina-
mento che sia compatibile con le operazioni di somma e prodotto, cioe none possibile suddividere
i numeri complessi non nulli in positivi e negativi in modo tale che il prodotto di due positivi
comunque scelti sia positivo, come succede invece nei numeri reali.
