Induzione matematica, disequazioni e numeri reali
1. Usando il principio di induzione dimostrare che sono vere le seguenti relazioni
(a) Per ogni a, b ∈Re per ogni n∈Nvale
an−bn= (a−b)·
n−1
X
k=0
an−k−1·bk, a, b ∈R
(b) Provare che per a∈(0,1) vale la disuguaglianza
(1 −a)n<1
1 + na
(c) Trovare una formula per Pn
k=1 k2e provarla per induzione. Suggerimento : le som-
matorie possono essere viste come degli integrali discreti e l’integrale indefinito di x2
`e, a meno dicostanti, x3. Da questa osservazione, ugugliare Pn
k=1 k2ad un gener-
ico polinomio di ordine 3 nella variabile n, determinarne le costanti e verificarne la
correttezza di quanto ottenuto per induzione.
(d) Provare che la disuguaglianza di Bernoulli vale in senso stretto per n≥2 e h≥ −1 e
h= 0, ossia
(1 + h)n>(1 + nh),∀n≥2, h ≥ −1, h = 0 .
2. Binomio di Newton. Il fattoriale di un numero naturale n∈N`e un numero naturale n!
definito dalle relazione
0! = 1 , n! := n(n−1)! .
Usando il fattoriale possiamo definire i coefficienti binomiali: per ogni coppia di naturali
k, n tale che k≤nsia
n
k:= n!
k! (n−k)!
Si provi che valgono le seguenti relazioni
n
k=n
n−k,n+ 1
k+ 1 =n
k+ 1 +n
k
(a) Usando la formula del binomio di Newton provare che per il trinomio vale la seguente
relazione
(a+b+c)n=
n
X
k=0
n−k
X
m=0 n!
k!m!(n−m−k)!ambkcn−m−k
(b) Utilizzare la formula del binomio di Newton per dimostrare che la cardinalit`a dell’insieme
delle parti P(X) di un insieme di nelementi `e pari a 2n. (Suggerimento: pensare a
quanti sono i sottoinsiemi di Xcon k-elementi).
3. Provare che sono vere le seguenti affermazioni:
(a) se p∈Qer∈Irr(R) allora p+r∈Irr(R).
(b) se p∈Qep= 0 ed r∈Irr(R) allora p·r∈Irr(R).
(c) Dire se `e vera la seguente affermazione: la somma ed il prodotto di numeri irrazionali
`e un numero irrazionale. Nel caso in cui non sia vera fare degli esempi.
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