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Formulario di Fisica Generale I
Cinematica
Velocit`a: ~v = d~dtr ( ∆ ∆rt ) Accelerazione: ~a = d~dtv = d
(^2) ~r dt^2 (^
∆v ∆t ) Moto uniformemente accelerato v − v 0 = a · t x − x 0 = v 0 · t + 12 at^2 x − x 0 = 12 (v 0 + vx)t v x^2 − v 02 = 2a(x − x 0 ) Corpo in caduta da fermo: v =
2 gh t =
2 h/g Moto del Proiettile y = x · tan θ −
g 2 v^20 cos^2 θ
x^2
hmax =
v^20 sin^2 θ 2 g Gittata R = xmax =
v^20 sin(2θ) g Moto Circolare Frequenza f = (^) T^1 Velocit`a angolare: ω = dθdt Accel. angolare: α = dωdt = d
(^2) θ dt^2 Moto Circolare Uniforme ω = 2π/T vtangenziale = ωr acentripeta = v^2 /r = ω^2 r M. Circ. Uniformemente Accelerato ω − ω 0 = α · t θ − θ 0 = ω 0 · t + 12 αt^2
Forze, Lavoro ed Energia
2 a^ Legge di Newton: F~ = m~a 3 a^ Legge di Newton: F~AB = −FBA Forze Fondamentali e Pressione Pressione: P = (^) AreaF Forza peso: Fg = mg Forza elastica: Fel = −kx, x=spostamento dalla posizione di equilibrio
Gravit`a: F~g = −G M m r^2
ˆr Forza Normale: |FN | = |Fg | Forza di Coulomb: F~E =
4 πε 0
q 1 q 2 r^2
ˆr
Forze di Attrito Statico: |FS | = μS |FN (| F~S | ≤ μS | F~N |) Dinamico:|FD | = μD |FN |( F~D = μD | F~N |ˆv) Viscoso: F~V = −β~v Resistenza aerodinamica: D = 1 2 CρAv
(^2) , con C=costante di resistenza del mezzo, ρ=densita del mezzo, A=area esposta, v=velocita Lavoro e Potenza L =
∫ (^) xf xi F^ ~ · d~l =
∫ (^) θf θi τ dω L = −∆U , U=energia potenziale L = ∆K, K=energia cinetica Forza costante: L = F~ · ~spostamento Forza elastica: L = − 12 kx^2 Forza peso: L = −mgh Gravit`a: L = Gm 1 m 2 ·
rf
ri
Elettrostatica: L = q 1 q 2 4 πε 0
ri
rf
Potenza: P =
dL dt
(o
∆L
∆t
) = F~ · ~v Energia Cinetica: K = 12 mv^2 Forze vive: Kf − Ki = LTOT Potenziale: U = −L = −
∫ (^) xf xi F^ ~ · d~l Meccanica: E = K + U = 12 mv^2 + U Conservazione: Ef − Ei = LNON CONS, con LNON CONS=lavoro delle forze non conservative E = costante ⇔ LNONCONS = 0
- En. potenziale forze fondamentali: Forza peso: U (h) = mgh Forza elastica: U (x) = 12 kx^2 Gravit`a: U (r) = −G
m 1 m 2 r Elettrostatica: U (r) =
4 πε 0
q 1 q 2 r E = costante ⇔ LNONCONS = 0
Moto Armonico
x(t) = A cos
ωt + φ 0
con A = xm = ampiezza, ω = pulsazione = (^2) Tπ , t = tempo, φ = f ase
v(t) = −ωA sin
ωt + φ 0
a(t) = −ω^2 A cos
ωt + φ 0
= −ω^2 x(t)
A =
x^20 +
( (^) v 0 ω
φ 0 = arctan
v 0 ωx 0
ω = (^2) Tπ f = ω/ 2 π T = 2π/ω E = 12 kA^2 = 12 mω^2 A^2 Molla: ω =
k/m Pendolo: ω =
g/L
Onde
Onde sinusoidali y(x, t) = ymsin(kx − ωt), Velocita v, pulsazione ω, lunghez- za d’onda λ, periodo T , frequenza f , numero d’onda k, fase ϕ ϕ = kx − ωt v = ω/k = λ/T = λf ω = 2π/T k = 2π/λ Onde su una corda Velocita: v =
T /μ, con T =tensione della corda Spostamento: y = ymax sin(kx − ωt) Frequenze proprie: ν = 2 nL
τ μ , n^ = 1 , 2 , 3 , ...(risonanza: ν = nv 2 L ) Potenza: P = 12 μv(ωymax)^2 Onde sonore Velocit`a: v =
B/ρ =
γp/ρ v(T ) = v(T 0 )
T /T 0
Spostamento: s = smax cos(kx − ωt) Pressione: ∆P = ∆Pmax sin(kx − ωt) ∆Pmax = ρvωsmax Intensita: I = 12 ρv(ωsmax)^2 = ∆P^ max^2 2 ρv Intensita(dB): β = 10 log (^10) II 0 Soglia udibile I 0 = 1. 0 × 10 −^12 W/m^2
Formulario di Fisica Generale II
Elettrostatica
4 πε 0
q 1 q 2 r^2
ˆr
- Campo elettrico: E~ = F~E q 0
- Vettore polarizzazione P~ = ε 0 (εr −
- E~ = ε 0 χ E~; | P~ | = σp=densit`a su- perficiale di carica di polarizzazione
- Induzione elettrica: D~ = ε 0 E~ + P~ = ε E~, ε = ε 0 εr
- Flusso campo E: Φ( E~) =
Σ E~ · ~ndΣ (=| E~|A se E costante)
- Legge di Gauss: Φ( E~)|Σ =
i
qi ε 0 , con qi cariche racchiuse dalla super- ficie chiusa Σ
- Distribuzioni di carica:
- lineare su lunghezza L: λ = QL
- superficiale su superficie A: σ = QA
- di volume su volume V: ρ = QV Campi elettrici (k= (^4) π^10 )
- Carica puntiforme: E~ = k (^) |q~r^1 | 2 rˆ
- Dipolo in P: E(P ) = k (^2) |~rqd| 3 dˆ, con q=ciascuna delle cariche, d=distanza tra la cariche, ~r=distanza di P dal centro del dipolo,
- Campo guscio sferico carico (Q): esterno: E = k Qr 2 , interno: E = 0
- Lamina conduttrice carica (σ): est.: E = σε 0 , int.:E = 0
- Lamina isolante carica spessore fine (σ): E = 2 σε 0
- Due piastre conduttrici cariche (σ): tra le piastre: E = (^) εσ 0 , est.: E = 0
- Sfera isolante carica Q, raggio R, ad una distanza r: E(r) = k QrR 3
Enegia potenziale e potenziale
- Potenziale carica puntiforme q 1 : V = k q r^1
- Energia potenziale U = L = qV = k qq r^1 , sentita da carica q in campo ge- nerato da carica q 1 a distanza r da essa
- V= Uq , ∆V = −qL (in Joule)
- Lavoro svolto da forza esterna: L = q∆V
- Se campo costante e carica si muove di ∆x, V = −E · ∆x Sistema N cariche:
- Potenziale: V =
∑N
i Vi^ =^ k^
∑N
i
qi ri
- Energia potenziale: U = 1 2
∑N
j
∑N
i Ui^ =^ k^
∑N
j
∑N
i
qiqj ri (i^6 =
j) Potenziali particolari
- Potenziale di un dipolo: V = k qdcosθr 2
- Potenziale distribuzione continua: V = k
∫ (^) dq r
- Potenziale sfera non conduttrice ca- rica (Q) raggio R, isolata: interno : V = k 32 QR , esterno : V (r) = k Qr , r=distanza dalla sfera
- Potenziale guscio conduttore carico (Q) raggio R: interno : E = 0, V = k QR esterno : V (r) = k Qr , r=distanza dalla sfera
Condensatori
- Capacit`a C = (^) Vq (in Farad,F), q=carica su ciascuna armatura, V = differenza di potenziale tra le armature
- Condensatore piano: C = ε 0 Ad , A= superficie delle armature, d=distanza tra le armature
- Condensatore sferico: C = 4πε (^0) bab−a , a,b=raggi interno ed esterno armatu- re
- Condensatore cilindrico: C = 2 πε (^0) ln(Lb/a) , a,b=raggi interno ed esterno armature
- Sfera isolata raggio R: C = 4πε 0 R
- Capacit`a equivalente Ceq : * N Condensatori in serie: (^) C eq^1 = ∑N i
1 Ci ;
- N Condensatori in parallelo: Ceq = ∑N i Ci;
- Se presente un dielettrico con εr , C = εr C 0 , con C 0 =capacit`a nel vuoto.
- Energia immagazzinata in un con- densatore: U = q
2 2 C =^
1 2 CV^
2
- Densit`a di energia elettrica uE = 1 2 ε^0 E
2
Circuiti
- Intensit`a di corrente i = dqdt (in Ampere)
- Densit
a di corrente j = (^) Ai = nevd, con A=area di sezione del conduttore e vd=velocita di deriva - Forza elettromotrice f.e.m. E = ∆ ∆Lq
- Legge di Ohm: V = Ri, V=differenza di potenziale, R=resistenza, i=intesit`a di corrente
- Resistenza R = ρ (^) AL , conduttore lungo L e sezione A, resistivit`a ρ. - Potenza P = ∆ ∆Ut = V i = Ri^2 = V^
2 R (in Watt)
- Resistenza equivalente Req :
- N resistori in parallelo: (^) R eq^1 = ∑N i
1 Ri
- N resistori in serie: Req =
∑N
i Ri
- Leggi di Kirchoff
- in un nodo
i ii^ = 0
- E +
i ∆Vi^ = 0, con^ E= forza elettromotrice del generatore (f.e.m.) Circuito corrente alternata
- V (t) = V 0 sin(ωt + ϕ) (V 0 ∼ 320 V )
- I(t) = I 0 sin(ωt + ϕ) = V R^0 sin(ωt + ϕ)
- P (t) = V^ 02 R sin
(^2) (ωt + ϕ)
• P = 12 V^
02 R =^ f racV^
2 qmR^ =^ I 2 qmR Circuito RC
- Carica:
- q(t) = CE(1 − e−^ τt ), τ = RC, CE = Q. * i(t) = ( (^) RE )(e−^ τt ), τ = RC
- Scarica:
- q(t) = CEe−^ tτ , τ = RC, CE = Q.
Magnetismo
- Forza di Lorentz con solo B: F~M = q~v × B~, | F~M | = |q||~v|| B~|sinθ
- Campo magnetico: B~ = (^) |q|FvsinθM (in Tesla,T= (^) AmN )
- Forza di Lorentz con B ed E: F~L = q E~ + q~v × B~
- Raggio traiettoria particella carica in B: r = (^) |mvq|B , m, v=massa, velocit`a particella
- Legge di Ampere:
B~ · d~s = μ 0 ich
- II Legge Laplace: F~ = i~L × B~, |F | = |i||L||B|sinθ
- I legge Laplace: Filo percorso da corrente i a distanza r: d B~ = μ 0 4 π
i ds~×~r r^3
- Filo rettilineo lunghezza infinita: B = 2 μπr^0 i
- Spira circolare (al centro): B = μ 0 i 4 πr 2 π^ =^
μ 0 i 2 r
- Forza tra due conduttori paralleli: Fba = ibLBa = μ^02 Liπdaib
- Solenoide N spire, lungo L (al centro): B = μ 0 i NL = μ 0 in
Calcolo vettoriale
q
A
Ax
Ay
x
y
O
| A~x| = | A~|cosθ | A~y | = | A~|sinθ Prodotto scalare: A^ ~ · B~ = | A~|| B~| cos θ A~ · B~ = AxBx + Ay By + Az Bz | A~| =
A~ · A~ =
A^2 x + A^2 y + A^2 z versore: Aˆ = A/~| A~| Prodotto vettoriale:
A^ ~ × B~ =
ˆi ˆj ˆk Ax Ay Az Bx By Bz
A^ ~ × B~ = (Ay Bz − Az By )ˆi
- (Az Bx − AxBz )ˆj
- (AxBy − Ay Bx)kˆ | A~ × B~| = | A~|| B~| sin θ
Costanti fisiche
Costanti fondamentali Grav.: G = 6. 67 × 10 −^11 m^3 /(s^2 · kg) Vel. luce nel vuoto: c = 3. 00 × 108 m/s Carica elementare: e = 1. 60 × 10 −^19 C Massa elettrone: me = 9. 11 × 10 −^31 kg
Massa protone: mp = 1. 67 × 10 −^27 kg Cost. dielettrica: ε 0 = 8. 85 × 10 −^12 F/m k= (^4) πε^10 = 8. 99 × 109 m/F(Nm^2 /C^2 ) Perm. magnetica: μ 0 = 4π × 10 −^7 H/m
Altre costanti Accel gravit`a sulla terra: g = 9.81 m/s^2 Raggio terra: RT = 6. 37 × 106 m Massa terra: MT = 5. 98 × 1024 kg Massa sole: MS = 1. 99 × 1030 kg Massa luna: ML = 7. 36 × 1022 kg Temp 0 assoluto θ 0 = − 273. 15 ◦C
Trigonometria
sin^2 (α) + cos^2 (α) = 1, tan(α) = sin(cos(αα)) sin(−α) = − sin(α), cos(−α) = cos(α) sin(α±β) = sin(α) cos(β)±cos(α) sin(β) cos(α±β) = cos(α) cos(β)∓sin(α) sin(β) sin(α) = ± cos(π/ 2 ∓ α) = ± sin(π ∓ α) cos(α) = sin(π/ 2 ± α) = − cos(π ± α) sin^2 (α) = 1 −cos(2 2 α), cos^2 (α) = 1+cos(2 2 α) sin(α) + sin(β) = 2 cos α− 2 βsin α+ 2 β cos(α) + cos(β) = 2 cos α− 2 βcos α+ 2 β
Derivate
d dx f^ (x) =^ f^
′(x) d dx (a^ ·^ x) =^ af^
′(a · x) d dx f^ (g(x)) =^ f^
′(g(x)) · g′(x) d dx x
n (^) = nxn− 1 d dx
1 xn^ =^ −n^
1 xn+ d dx e
x (^) = ex d dx ln^ x^ =^
1 x d dx sin(x) = cos(x) d dx cos(x) =^ −^ sin(x)
Integrali
f (x)dx = I(x) ∫ f (x − a)dx = I(x − a)
f (a · x)dx =
I(a · x) ∫^ a xndx = xn+ n + 1
, n 6 = − 1 ∫ 1 xn^
(n − 1)
xn−^1 , n 6 = 1 ∫ 1 x
dx = ln x ∫ exdx = ex ∫ sin(x)dx = − cos(x) ∫ cos(x)dx = sin(x) ∫ (^) x 1
x 0
f (x)dx = I(x 1 ) − I(x 0 )
Approssimazioni (x 0 = 0)
sin x = x + O(x^2 ) (1 + x)α^ = 1 + αx + O(x^2 ) ln(1 + x) = x + O(x^2 )
Prefissi SI
[email protected], [email protected] et al. Versione 3, 2 maggio 2023.
