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Formulario
Tipologia: Formulari
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Luciano Battaia
a^2 = |a|; lim sinx^ x = 1, se x → 0; sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β; f (x) = ex 2 ⇒ f ′(x) = 2xex 2 ;
sin x dx = − cos x + k; x 1 , 2 = −b±
√ ∆ 2 a ;^ a
m (^) · an (^) = an+m; loga x^2 = |x|; y = ax^2 + bx + c; x^2 + y^2 = r^2 ;
ex^ dx = ex^ + k; cos^2 x + sin^2 x = 1; y = mx + q; lim x ln x = 0, se x → 0; tan x = sin x/ cos x; f (x) = x^3 + 4 x^2 + 2x − 1 ⇒ f ′(x) = 3 x^2 + 8x + 2
ax^2 + bx + c = 0: x 1 , 2 = −b±
√ b^2 − 4 ac 2 a.^ La quantit`a ∆ =^ b
(^2) − 4 ac si chiama
anche discriminante: se e negativo l’equazione non ha soluzioni, see zero ha una soluzione (o, come si usa dire, due soluzioni coincidenti), se `e maggiore di zero ha due soluzioni distinte.
Equazione di terzo grado elementare. ax^3 + b = 0 : x = 3
−b a. Nello stesso modo si risolvono tutte quelle di grado dispari elementari.
Equazione di quarto grado elementare. ax^4 + b = 0 : x = ± 4
−b a , purch´e −ab ≥ 0, altrimenti non ci sono soluzioni. Nello stesso modo si risolvono tutte quelle di grado pari elementari.
Equazioni scomposte in fattori. f (x) · g(x) = 0. Si applica la legge del- l’annullamento del prodotto: basta trovare le soluzioni di f (x) = 0 o di g(x) = 0 (attenzione tutte le soluzioni dell’una oppure dell’altra!).
Distanza tra due punti. Dati A (xA, yA) e B (xB , yB ), per la distanza si ha AB =
(xA − xB )^2 + (yA − yB )^2.
Punto medio di un segmento. Dati A (xA, yA) e B (xB , yB ), le coordina- te del punto medio M del segmento AB sono la media delle coordinate di A e B: M =
(xA+xB 2 ,^
yA+yB 2
Equazione generica di una retta. ax + by + c = 0.
Equazione di una retta non verticale. y = mx + q. Il coefficiente di x, m, si chiama coefficiente angolare e caratterizza la pendenza della retta; il termine noto, q, si chiama ordinata all’origine.
Equazione di una retta verticale (parallela all’asse y). x = k.
Equazione di una retta parallela all’asse x. y = k.
Equazione di una retta passante per due punti. Se sono dati due pun- ti A (xA, yA) e B (xB , yB ), la retta passante per entrambi ha equazione (x − xA)(yB − yA) = (y − yA)(xB − xA).
Parabola con asse verticale Ha equazione y = ax^2 + bx + c. Se a > 0 la parabola volge la concavita verso l’alto, se a < 0 verso il basso. L’a- scissa del verticee: − 2 ba , l’ordinata del vertice si trova per sostituzione nell’equazione.
Parabola con asse orizzontale. Ha equazione x = ay^2 + by + c. Se a > 0 la parabola volge la concavita verso destra, se a < 0 verso sinistra. L’or- dinata del verticee: − 2 ba , l’ascissa del vertice si trova per sostituzione nell’equazione.
Circonferenza. Ha equazione x^2 + y^2 + ax + by + c = 0. Perch`e sia effettiva- mente una circonferenza deve verificare la condizione a
(^2) +b (^2) − 4 c 4 ≥^ 0 (se vale l’uguale a zero si tratta di una circonferenza ridotta ad un punto). Il centro ha coordinate C =
−a 2 , − b 2
, il raggio `e r =
a^2 +b^2 − 4 c
e scritta nella forma riportata sopra, cioe con i coefficienti di x^2 e y^2 uguali a 1. L’equazione di una circonferenza con centro C (xC , yC ) e raggio r si scrive semplicemente (x − xC )^2 + (y − yC )^2 = r^2.Ellisse ed iperbole. L’equazione x 2 a^2 ±^
y^2 b^2 =^ ±1, rappresenta:
y^2 b^2 = +1;
y^2 b^2 = +1 oppure^
x^2 a^2 −^
y^2 b^2 =^ −1;
y^2 b^2 =^ −^1
Nei primi due casi per la rappresentazione grafica si comincia col trac- ciare un rettangolo di centro l’origine e lati 2a (sull’asse orizzontale) e 2b (sull’asse verticale). Se si tratta di un’ellisse il suo grafico `e im- mediato. Se si tratta di un’iperbole bisogna ancora tracciare le rette diagonali del rettangolo e poi procedere come nei grafici riportati oltre.
x
y
O a
b
x^2 a^2
y^2 b^2
x
y
a
b
x^2 a^2
y^2 b^2
x
y
O a
b
x^2 a^2
y^2 b^2
x
y
f (x) = x^3
x
y
f (x) = ex
x
y
f (x) = ln x
x
y
f (x) = sin x
x
y
f (x) = cos x
Alcune tecniche elementari per ottenere nuovi grafici di funzioni, a partire da grafici noti.
Esempi:
x
y
f (x)
x
y
f (x) − 1
x
y
f (|x|)
x
y
|f (x)|
Se a `e un numero reale qualunque si ha:
Se a `e un numero reale diverso da zero si ha:
In tutti i casi elencati, quando il segno di “∞” non `e precisato, si applica la usuale regola dei segni, con qualche attenzione per il “segno di zero”.
f (x) g(x)
, y′^ =
f ′(x) · g(x) − f (x) · g′(x) (g(x))^2
x
; y = loga x, y′^ =
x
loga e
f ′(x)g(x) dx = f (x)g(x) −
f (x)g′(x) dx
f (x)g(x) dx = F (x)g(x)−
F (x)g′(x) dx , ove F (x) =
f (x) dx
e−x 2 dx
∫ (^) sin x x dx
Sia f (x, y) una funzione di due variabili, derivabile quanto serve, e indichiamo con f (^) x′(x, y) e f (^) y′(x, y)
le sue derivate parziali prime, e con
f (^) xx′′(x, y) , f (^) xy′′ = f (^) yx′′(x, y) e f (^) yy′′(x, y)
le sue derivate parziali seconde. Un punto (x 0 , y 0 ) interno al dominio pu`o essere di massimo o di minimo solo se { f (^) x′(x 0 , y 0 ) = 0 f (^) y′(x 0 , y 0 ) = 0
Se poi poniamo H(x 0 , y 0 ) = f (^) xx′′(x 0 , y 0 ) · f (^) yy′′(x 0 , y 0 ) −
f (^) xy′′(x 0 , y 0 )
, si ha che:
Sia f (x, y) una funzione di due variabili e g(x, y) = 0 un vincolo, con tutte le ipotesi di regolarita che servono per le funzioni f e g. Per la ricerca dei massimi e minimi vincolati si puo procedere come segue:
f (^) x′(x, y) + λg′ x(x, y) = 0 f (^) y′(x, y) + λg′ y(x, y) = 0 g(x, y) = 0
Se il vincolo rappresenta un insieme chiuso e limitato e sono verificate tutte le ipotesi di regolarit`a che servono, tra le soluzioni del sistema indicato ci sono sicuramente sia il punto di massimo assoluto che quello di minimo assoluto.