Fondamenti di matematica base I, Formulari di Matematica Generale

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Gli elementi di legami matematica

Proposizione : è una frase di senso compiuto che si può ottenere senza equivoci - Vera o Falsa Predicato: è frase contenente una variabile libera P(x)= x È una città di mare P (Napoli): Napoli è una città di mare P (Milano): Milano è una città di mare Universale equivale “PER OGNI” Esistenziale “ESISTE” Rafforzamento del quantificatore esistenziale “ESISTE ED È UNICO”

Connettivi Logici

Negazione (NON) Supponiamo che P è una preposizione Se P è vera Non (P) è falsa Se P è falsa Non (P) è vera Non (Non (P)) = P

Tabella di verità della NEGAZIONE

Congiunzione (e ) Date da preposizioni P e Q allora P Q è vera se entrambe sono vere

Disgiunzione (o v) Date da preposizioni P e Q allora PvQ è vera se almeno una tra P e Q è vera

Implicazione ( =>) Date da preposizioni P e Q il connettivo => crea la preposizione P => Q che si legge P implica Q

Se P allora Q

P Fido è un cane

Q Fido è un mammifero

P => Q

P => Q EQUIVALE non (Q) => non (P)

P è condizione sufficiente per Q

Q è condizione necessaria per P

<=> (Doppia implicazione)

P <=> Q = ( P=>Q Q=>P)

P equivale a Q

P è condizione necessaria e sufficiente per Q

P se e solo se Q

Quantificatori M.C.D: è il prodotto dei fattori primi comuni, presi una sola volta con il minimo esponente m.c.m: è il prodotto dei fattori primi comuni non comuni presi una sola volta con il massimo esponente Vi J : J!:

• (^) NON P VF FV (^1 ) PQPQ FF F F FFF PQ (^) PVQ F F FFF SE FIDO È un^ cane per forza è un mammifero P=> Q SE FIDO Non È un (^) cane e) non è un (^) mammifero Non P REGOLA

B c A l’insieme B è contenuto o è uguale all’insieme A - B è sottoinsieme improprio di A b E B => b E A B c A contenuto propriamente ( b E B => b E A) ( a c A:a E B) (^) (B c A) (A c B) <=> A = B Tra i sottoinsiemi di A vi è uno che non ha elementi Ø Insieme vuoto P(A) si chiama insieme delle parti di A ed è l’insieme costituito da tutti i sottoinsiemi di A Esempio A = {a,b} P(A)= {{ø},{a},{b},{ab}} Gli insiemi costituiti da un singolo elemento si chiamano Singelton o Singoletto A={1,2,3} P(A)={{ø,A},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} Concetto di numero A) parole numerali (uno, due, tre…) B) simboli numerali (cifre indo-arabe) Insieme di numeri naturali Insieme di numeri interi Insieme di numeri razionali Insieme di numeri reali {1,2,3,4,5….}

• esprimere quantità
• mettere in sequenza
• per misurare Per definire i numeri naturali ho bisogno 1 numero particolare n E n +1 E I numeri naturali sono infiniti perché a partire da 1 trovo sempre il suo successivo La scrittura posizionale (decibali) 6743 6x1000 7x100 4x10 3x In base 2 0,1,10,01,100,101, I numeri naturali e l’ordinamento (Legge di TRICOTOMIA) Dati due numeri naturali nE e mE può accadere solo una delle seguenti eventualità

1. nm Addizioni e sottrazione in N Cosa vuol dire a+b? Significa sommare ad a tante unità quanto quelle contenute in b a+b=c a,b si chiamano addendo c si chiama somma Proprietà dell’addizione in L’addizione in è un’operazione interna n,m E => n+m E Quando aggiungiamo una linea indica che è un insieme f CONTENUTO^ SE^ E^ SOLO^ SE f (^17) / NON FA PARTE COO I P N: n = 1 SUCCESSIVO (^) n (^) + 1 = 1 + 1 = (^2) n+ (^1) = 2 + 1 = (^3) K n^ da (^) U 6000 + 700 + -I 6000 700 40 3 6743 IN I

Proprietà associativa n,m, p E => (m+n)+p= m+(n+p) Proprietà commutativa cambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia m,n E m+n=n+m {0,1,2,3,…} n E n+o=o+n=n Una relazione che gode delle seguenti tre proprietà:

• riflessiva (in relazione con me stesso)
• simmetrica (se A è in relazione con B o viceversa)
• transitiva (se A è in relazione con B e B è in relazione con C, lo stesso a e in relazione con C) SI CHIAMA REAZIONE D’EQUIVALENZA L’uguaglianza in è una relazione di equivalenza perché n=n riflessiva n=m => m=n simmetrica n=m e m=l transitiva Sottrazione Cosa vuol dire a-b?
• togliere ad a tante volte quante contenute in b
• troviamo il numero c che sommato a b mi da a 65- 31= 34 Minuendo Sottraendo Differenza Proprietà invariantiva a-b = (a+c)-(b+c) Le differenze di due numeri non cambia se ad entrambi i numeri si addizionano lo stesso numero. Ricorda che la sottrazione non è un’operazione interna n,m E n+m E 3,5 3-5 E {…-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4…} Moltiplicazioni m,n E m•n= m+m+m+m+ ……+m m•n=n•m Proprietà commutativa m•(n•l)= (m•n)•l Proprietà associativa per le moltiplicazioni l’elemento neutro è 1 m•1 = 1•m=m La moltiplicazione è un’operazione interna in Z e in N. Se moltiplico due numeri interi ottengono un risultato, numero, prodotto intero m•0=0•m=0 Elemento neutro della somma annulla il prodotto Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione m(n+p)= mn+np m,n,re Cosa significa m è il numero che risolve l’equazione m m=n•x Definizione Un numero naturale b=o è divisore di un numero naturale a se esiste un numero naturale c tale che b•c=a a si dice multiplo di b Divisione La frazione è quel numero X che moltiplicato per N mi dà come risultato M. Insieme dei numeri naturali senza lo zero Insieme dei numeri naturali compresi lo zero n = 2 (2+ 1) + 4 = 1 + (2+ (^) a) m = (^1 3) + p = 4 i m volte

Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione si estendono ai numeri razionali. Vale inoltre la legge di Tricotomia a, b E =>^ c E a ≠ b (ad esempio a c b) a {1,2,3,6{u},2,3,4,6,8}={1,2,3,4,6,8} {1,2,3}u{1,2,3,4,5}={1,2,3,4,5} I numeri reali: {irrazionali} Cioè i numeri naturali sono contenuti nei numeri interi che a loro volta sono contenuti nei numeri razionali. Quindi la divisione per i numeri razionali è un’operazione interna. Cioè ogni divisione in numeri razionali mi dà come risultato o numero razionale Per ogni a e b appartenenti all’insieme dei numeri razionali allora implica che esiste una C appartenente ai numeri razionali che è compreso tra a e b a≠b Quindi Sono formati dai numeri razionali uniti agli irrazionali Proprietà di densità V vi

• 1 (^1). 4 = 14 14 : 1000 10 = 1 10 10 10
• (^2) (^1) , 41 = 1 + : (^1000 10) = 1 = 1 4 = (^1 100 )
• 3 (^1) , 414 = 1 + (^414) = 1414 : 1000 10 = 1 1000 1000 1000 M (^1) = (^0). 3 = (^0). 33 .....^11 t^ + (^1) = 1 (^3) PERIODICO NON FINISCONO 3 3 3 (^0). 33 + (^0). 33 + (^0) , 33 = (^0) , 99 ... NON (^1) , NUMERO (^) INTERO (^2) Em -Em OE AUB^ oEAv oEB R (^) =~u

I numeri naturali dispari I numeri naturali pari {o} {n E : 40 A B = A {n E : 40 con m e n primi tra loro cioè m e n non sono entrambi pari perché devono essere numeri primi tra loro Eleviamo al quadrato e otteniamo Cioè porto m dall’altra parte è pari Ma se m è pari dalla prima premessa m pari => m è pari cioè m=2k Le due relazioni che abbiamo elevo al quadrato m = 4k Quindi le due relazioni sono Premesse m è pari => m è pari m è pari => m è pari di solito se dico m è pari vuol dire che m = 2k Se m è dispari m=2k+ Teorema Dimostrazione per assurdo cioè neghiamo la tesi ed arriviamo ad una contraddizione Negare la tesi significa dire che cioè Cioè è un numero pari Dalla prima premessa pari => pari Ho ottenuto che m,n sono entrambi pari questo è un assurdo in quanto m,n devo essere primi tra loro quindi B\A è l'insieme di tutti gli elementi che sono in B ma non in A B\A= {n E :n<-5} = {n E :n<-6} A,B due insiemi AxB= {(a;b);a E A,b E B} A= {1,2,3} B= {a,b} AxB= {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} BxA= {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)} AxB≠BxA non vuole la proprietà commutativa Dati due insiemi A e B una relazione R è un sottoinsieme dell’insieme AxB Se ho l’insieme A AxA={(a,b),a E A b E A} Esempio: A={1,2} AxA={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} Un sottoinsieme di AxA si chiama relazione binaria {(a,a):aEA}={(1,1),(2,2)} {(a,b):aEA, bEA a≠b}={(1,2),(2,1)} Teorema dimostrazione se il quadrato di un numero è pari anche il numero è pari, o viceversa Si scrive come multiplo di 2 Aggiungo sottraggo 1 al multiplo di 2 Conclusioni m è (^) pari allora (^) mi2K - Per Qualsiasi (^) VALORE Dik 2 PARI m (^) = 2x1 (^) = 2 2 m^ K^ m = 2x2 = 4 (^2 1) m (^) = 2x3 = 6 2

• REGOLA (^) m è dispari allora m (^) = 2k + 1 m m m^ =^ (2x1)+^1 =^2 +^1 =^3 = (2xa) + 1 = (^4) + 1 = 5 2 E (^) ~ RADICALL^ NON Appartenente DI NUMERI RAZIONAL Poichè^ È^ Un Numero Irrazionale^ *^3 a (^) m = (2x (^) 3)+ (^1) = 6 + 1 = 7 2E (^) v 2 = (^) m

2 =^ Vwe

mm

2 = ma 2 ma (^) = 2n (^) =) m 2 2 m= 22 (m)2= (2k)2) ma= ak (^2 ) m =^ 2k^ - m^ = = 2n^

• 2n2^ = 412 n2= 2k DIVIDENDO PER^2 ma= 2k^ =^ n N 2 N

a En

COME VOLEVA OPERAZIONI TRA (^) INSIEM C. V. D DIMOSTRARSI INSIEME CARTESIANO 1 % Osservazione

Una relazione binaria R si dice RIFLESSIVA se a è in relazione con se stesso a R a SIMMETRICA se a è in relazione con b implica b in relazione con a a Rb => b Ra TRANSITIVA se a è in relazione con b e b è in relazione con c allora a è in relazione con c aRb,bRc =>aRc Una relazione si dice di equivalenza se è: riflessiva, simmetrica e transitiva. Come si rappresenta R geometricamente?

• una retta a cui determina un punto 0 (origine)
• un verso di percorrenza
• un’unità di misura Unità di misura Ora posso identificare i numeri naturali, interi Come posso rappresentare i numeri razionali? Prendere l’intervallo 0 -1 e lo divido in 5 parti uguali, prendo la terza parte ed ho individuato i è la somma di Ogni punto della retta reale rappresenta un solo numero reale, viceversa dato un numero reale esiste un unico punto della retta reale che lo rappresenta
• anche l’insieme RxR = R= {a,b}:aE R, b E R} si può rappresentare graficamente: Piano cartesiano Individuo ogni punto del piano con una coppia (x;y) ordinata (verticale) Ascissa (orizzontale) Siamo A e B due insiemi non vuoti. Una funzione da A in B è una legge che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B È una F che va da A a B Dominio della funzione Coodominio della funzione Non è una relazione tra insiemi, bensì tra elementi degli insiemi U
• (^3) - 2 - (^1 1 ) Es: 3 (^5 ) 3 S 8 = +

1 1

= 2

·^ P

· on : A^ B X (^) fx

I numeri della X li scegliamo noi ma devono rispondere alla regola di sopra (parabola) Se ho elementi distinti del dominio ad essi corrispondono elementi distinti si dice funzione iniettiva Si dice iniettiva se Si può anche dire: Esempio: verifichiamo se la funzione (^) è iniettiva posso dividere x Semplifico (verifichiamo se è iniettiva) Diagramma di VEN su funzione iniettiva A ogni elemento di a deve corrispondere un ≠ elemento di B Esempio funzione non iniettiva non è iniettiva perché a elementi distinti corrispondono elementi uguali Non è iniettiva poiché incontra il grafico in due punti Per essere iniettiva deve incontrare il grafico in un solo punto fx =^ 2x^ -^1 f(x) =^ xa

X f(x) xf(x)

⑧ 0 - (^1 0 0) (1j1) (^) - (^) ( ; 1) 11 11

• 11 · f :^ A^ B^ Vx1^ , xa^ EAX1xwf(x)ff(xa)

f(x1) = f(xw) =) x1^ =^ xa

f: 2 - 2 f(x) = 2x

f(x1) =^ f(xz) 2x1 = 2xw

• X1 (^) = x

fx =^ 2x^ -^1

fx1 = (^) f(xz) 2x1 -^1 = (^) 2xa - 1 2x1 (^) = 2xa (^) = X1 = Xa A (^) B S S -

• (^) - f : R^ = R^ f(x) =^ xa f(- 1) (^) = 1

f(1) =^1

·

solo numeri naturali è iniettiva

• Diremo che :A -> B è suriettiva se (A)=B cioè che l’immagine coincide con il codominio. Non ci possono essere elementi di B che non sono colpiti da una freccia di A (se consideriamo diagramma di Eulero). È suriettiva se Una può essere resa suriettiva basta prendere il codominio come immagine è biettiva se e solo se è iniettiva e suriettiva Suriettiva: Iniettiva: Biettiva: esiste ed è uno solo, unico Il dominio di g è l’insieme immagine della funzione di. Perché voglio definire una nuova funzione Ad un elemento x E A vado a finire g di (x) Data :A -> B biettiva cioè Si può definire la funzione inversa Proprietà funzione inversa Esercizi Calcolare Ho una nuova funzione => funzione composta il cui dominio è A è il codominio è C fi f(n)^ =^ na ⑧ (^) > f f

VyEB]xEA:^ f(x)^ =^ Y

f f :^ (A) - f(t) TUTTI^ GLI^ ELEMENTI^ SONO^ COLPITI^ DA^ UNA^ FRECCIA

f :^ A^ B

VyEBJxA : f(x) = Y t

Vx1 (^) , XaEAxe = (^) Xa f(x1) (^) f(Xw) no elementi colpitida più (^) frecce

VyEB 5,xA :^ f(x) =^ Y

f : (^) A - B coE (^) g : (^) f(t)-C Attenzione (^) : (^) f

A f B

G C X f(x) =

Y J

g.^ f.^ A^ C^ f(x)^ =^ 2x^ g(y)^ =^ 2y^ -^1 X (^) glf(x) glf(x))= X 2x f (^) Y 2y-^1 = 2(ax)- 1 = aX - 1 f f(g(y)) = y 2y-^1 X 2x (^) = 2(2y- (^) 1) = (^) ay - (^2) VyEB f

f-B -> A^ f

• 1 f- f

ff

• (^1) 3

1. f(x)^ =^ 2x^ +^1 gy)^ =^ y2+^1 2)f(x) =^ 2x^ -^1 843Y
2. f(x)^ =^ x2^ g fo

Due grandezze si dicono inversamente proporzionali se x•y= k (^) k≠ 0 k= costante Addizioni e sottrazioni di frazioni Quando le frazioni hanno lo stesso denominatore avremo come risultato una frazione che ha per:

• denominatore lo stesso denominatore
• per denominatore la somma o la differenza dei numeratori Esempio Frazioni con denominatore: bisogna trovare frazioni equivalenti alle frazioni date ma con lo stesso denominatore (Calcolare m.c.m tra tutti i denominatori) Esempio Moltiplicazione tra frazioni Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori Esempio Semplificazione a X = Due frazioni sono reciproche se il loro prodotto è 1 (si inverte numeratore con denominatore)

2 + 5 = G - 3 =^25 =^ -^3 =^ -

m (^). c (^). m (^3) , 4 = 12 12 : 3 = 4

12 : 4 = 3

• m^.^ c^.^ m(3,^4 ,^ 5)^ =^60 (60 : (^) 3)x 40 + 15 -^36 = (60 : 4) x 160 : (^) 5)x 2 + 3 - 5 m. c. m(3, 5) = 15 (^30) +-5 = =
• 3 ⑳

- =^ =^1

La divisione tra frazioni Si moltiplica la prima X il reciproco della seconda Esempio La divisione è l’operazione che si usa per risolvere problemi di ripartizione e di contenenza. Ripartizione: distribuire in parti uguali e calcolare quanti in ogni parte. Esempio: Matteo ha 12 palline, le vuole distribuire in parti uguali a 3 amici. Quante palline devi dare a ogni amico? Contenenza: raggruppare e calcolare quante parti. Esempio: Chiara ha 20 palline. Ne vuole regalare 4 ai suoi amici. Quanti amici hanno le palline? : 12 : 3 (^20) : 4 = 5

*+^ E) -^ E+^ -^1 -^1 +^8 =

= 23 +^2 + 52 - 1 - 20

(^5) - (^) + 3 - E - = = 25 - (^17) +30- =

• (^) 125-42-2 20 E -^ + = 215 =- =-

5 - 5 +^ 2xz:^4 +^2 +^2 - 5)-

= 2 - 2 + 3x2X+ 2 + 65 - 5

= 5. (xX- 5 =

= (^) + 3x - 5 =

• (^54) -

=- =

Trovare il numero la cui metà sommata a 3 da 6 Teoria degli insiemi Diremo che è un insieme A è infinito se esiste una funzione biettiva tra A ed un suo sottoinsieme proprio Biettiva: è sia suriettiva che iniettiva Posso rendere qualsiasi funzione suriettiva, quindi dimostriamo l’iniettività Mai iniettiva Due elementi diversi hanno la stessa immagine è biettiva, quindi N è un insieme infinito Se N è infinito, siccome è contenuto da R, Z , Q anche loro sono infiniti Se A è un insieme |A| indico la CARDINALITÁ, cioè il numero di elementi di A Se |A|=n |P(A)|= Insieme delle parti di A, cioè l’insieme di tutti i sottoinsiemi di A 1x + (^3) =G 2 1x (^) = 6 - 3 2 1x =^3 X (^) = 6 P I 2n X (^) , Y X (^) Y (^) f(x)f(y) P (^) Q Non (^) (a) Now (^) (p)

DIMOSTRIAMO f(x) = f(y)x = y

↓ (n)^ =^ 2n^ f(n) = 2m^ ESERCIZIO: VERIFICARE^ f(X) = -X +^1 EINIETTIVA

f(m) =^ 2m^ f(x) Il +f(y)Il (^) = x = (^) y iniettiva f(x) =^ f(y)

2 = 2m-> =^ =^ m= EDENDOx^ X^ :^ -Y^ =XYX

f(n) =^ f(m) f(x) = x^ *^ - > Poiche f(- 1) =^1 f(1) =^1

f P

e 2m s

A = 3 PA = 23 = 8 esempio c = Pisan

(c = (^0) (P(c)) = 2 = axaxaxaxaxa = 04

Date Determinare Date le funzioni f(x)=x+2 e g(y)=6y , dopo aver verificato che f è iniettiva, calcolare g(f(x)) e f(g(y)) Date le funzioni f(x)= 1 x+4 e g(y)=2(y+1) , dopo aver verificato che f(x) è iniettiva, calcolare f(g(y)) e g(f(x)) Esercizi f(x) =^ -^ x^ +^ 1e^ g(y) =^ (y - 1)(y +^ 1)

g(f(x)) e^ f(g(y)

g(f(x)) =^ (-^ x^ +^ e^ -^ 1(

• x + 1 + 1) = - x(x + (^) 2) = x- 2x X (^) x + 1 Il Y (y-^ 1)(y+^ 1)^ = 2 f(g(y)) =^ - y +^2 Y (y^ -^ 1)(y^ +^ 1) Il X^ - x^ +^1
• (y - 1(y + 1) + 1 = - (y(1) + 1 = - y 2

f(x)=^ x^ +^2 - > Iniettiva

f(x) = f(y) X + (^2) = y + 2 - > X = (^) y iniettiva g(f(x)) =^ 6x4+^ 24x^ +^24 X (^) - X + 2 y -^ >6y2= 6(x^ +^ 2)2=^ 6(x^ 4x +^ 4) =^ 6x4+ 24x^ +^ wa f(g(y)) = 6y2+ 2 y (^) - Gy X - > x + 2 = (^) Gy+ 2 2

z

f(x)=^ - 2x+^4 - Inietva f(x) =^ f(y)

• Ex +^4 =^ - Ey +^4 =)^ X^ =^ y^ e^ iniettiva g(f(x)) = 2x-^ 10x^ +^50 X - ) - 1x + 4 yy2(y+^12 =^ 2)^ 2x+^4 +^ 1)=

= 2)- Ex+ 5)4 = 2(qx- 5x + 25) = 2x2 - 10x + 50

f(g(y)) =^ - y2- 2y +^3 Y > 2(y + 1) x (^) - - Ex+ 4 = - 2. 2(y+ (^) 1)2+ (^) u = = - (^) (y + 12 + 4 = - (^) (y* (^) 0y + 1 + (^4) = - (^) y2-2y- 1 + (^4) = y 2x + 3 (^515) : 1 - 8 Was e i

• i
• (^32 ) T 100